幂级数在近似计算中的应剖析

1、谢文清 江权霞(指导老师：陈引兰)数学与统计学院1001班qQ摘要：形如 V an(x -Xo)n = a。 a/x -Xo) a 2(x - Xof 爲X - x oj-的函数n z0项级数称为幕级数，幕级数可以看成是一个“无限次多项式”它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具本文主要运用幕级数的展开式，对无理数二，e,ln 2等，利用计算机相关软件，进行近似计算关键词：幕级数、近似计算1.理论依据以某个幕级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项rn(x)估计.我们先给出一些基本初等函数的幕级数展开式及它们对应的余项nx+n!-

2、 n23X“ xx1 xn!2!3!n 2xrn ：(n 1)! (n 2)!00 1)nJLx2 arctanx 八 () -n二2n -1n 2n：1n 1 2n：；3(1) x (1) x rn :2n 12n 3 arcsinx 二x +(2n 川n=1 (2n)!(2n +1)! x2n卅十(2n+3)! 邛 _ (2n 2)! 2n 3(2n 4)!n n2(1) xxx -n23n 1 n 2(-1) Xn +2ex八n z0n 1x In(1+x)二n 4n n 1 (-1) x rn ： n +12 .二的近似计算35n 1 2njjx x(1) x=X 3!5!2n12n

3、1 x2n 12n 3x2n 53nJ nx (-1) x"I * * # I I * *n本节利用两个函数的幕级数展开式来近似计算二，在相同的误差条件下,取不同的x，若取级数的前n项和作为二的近似值，对应的n值不一样，这就为幕级数在近似计算中的应用提供了很大的空间由函数y =arctanx的幕级数展开式知arctanxn2n-1衆(j) Xn d 2n -1若取x =1时,一=1_ 1 -(_1)n 143 52n-1(1)1 1 1=二-4(1+(-1)n)352n 1等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n项之和作为二的近似值1 1 1

4、即一 4（q*）n），其误差为n2n 12n+1为了保证误差不超过10-，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算 量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctanx展开式而言，当x越小收敛越快，恰恰在端点x=1收敛最慢.以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快现若取x=f带入展开式得 (6、33.3(r)5( -1)心 一(1)2n5、3A二2出（1一3nJ 11 1 丄-1 丄(-1)2n 11尹)若取级数的前n项和作为二的近似值，其误差为rn11111-： - 2.3(1 1 11丄一12(一1严 1_3 35327332n -1 3nJ1)2.3<(2n+1) 3nF面实

5、现 式的计算，若要求误差小于10（计算二的程序见附录1）当n=8时,19 39理=2、.3(1 -131现取X二-211! - 1!，1!) =3.141673 5 32 7 3315 371口口兀，:询ct形，显见4,记 '蔦，而1 - 1 tan ：二 ta n( ) ，所以：二 arcta n 433兀11 二 arc tan arc tan 42，就是111 1 1 二 4(一2 3 235 25+13 213+ 1丄+1 丄 + +($413 3 335 3513 313)F面实现 的计算，若要求误差小于10*（计算二的程序见附录2）当n=7时,: =4（- -11 45 .

6、 亠 1 一1 1 1 丄.（一1严 亠）=3.141562 3 235 2513 23 3 335 313 3对于y=arctanx ,误差一样（如要求误差小于10二）,取不同的x，对应部分和的项数n与近似计算的二值如下表x1312n20000873.141673.141561对于arc sin x的展开式而言，取 -二1 丄（2n-1）!1十匚62 nA （2n 川 2n 1F面实现 的计算，若要求误差小于10*（计算二的程序见附录3）当n=4时,7!98! 9 2:10*二 11!3!= I !622! 3 234! 5 25 5!6! 7 27= 3.14115综上，知当误差确定时，对

7、相同的幕级数展开式， x的取值不同，所取部分 和的项数不同，近似计算二的值也不同，对不同的幕级数展开式结果亦然.当然, 当误差改变时，我们同样可以利用幕级数展开式估算出 二的值，其精确度更高.3.数e的近似计算以ex的幕级数展开式为基础进行讨论n23nex二 1 卜 x 诩n为 n!2!3!n!11当x=1时，e =1 1 亠 亠 亠 2!n!11rn = e -(1 1)2!n! 亠亠.(n 1)! (n 2)! (n 3)!1(1丄) (n 1)! ' (n 2) (n 2)(n 3)1 “ 1(1(1 2 )(n 1)! n 1 (n 1)n!n11所以取11 丄丄作为近似值，则

8、误差为 2!n!1 11例如:精确到丄，则需要rn :： 1110n! n鬲蔚=心0（见附录4）.e =1 T 111 =2.7182818 .2!3!10!扩广：利用幕级数推导e是无理数.0 ：e-(1 1 丄 x2!n!=0 ： n! n e-(1 1 n!n|L丄工）-n!:12!令k,ne -(1 1 丄IL2!.0 ： k : 1n! n1 1e二1亠1亠2!1=11-2!n!n!n1xn1不厂)n!反证法：假设e是有理数，则p,q N,（p, q）=1,p qe二卫才丄.丄丄=.卫心 q 2!n! n!nn!n(1+1 +丄 + +丄)+ k q2! n!等式左边是一个整数，右端第

9、一项是整数，而k是小数；即右端不是整数，矛盾.故e是无理数.4.对数的计算利用对数的幕级数展开式，作对数的近似计算。根据对数的特征，只要计算 出正整数的特征，那么由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了 以In(1+x)的麦克劳林级数作为出发点nd n23n_1n(-1) x x x(-1) xIn(1+ x)=x -n23n1 1 1当 x=1 时，In 2 =1 _ _2 34当取前n项作为其近似值，其误差Rn =ln2-(1- 1 1ln2t 3V 57 1 _丄 (一1)x)234n如要精确到10-就要截取一万项来计算，另外上面的展开式的收敛域为-1乞x ： 1,这就不能直接用它来计算

10、其它整数的对数F面用一个收敛较快的幕级数来计算In21+x利用In的幕级数展开式23x xIn(1 _x)二 _x _231 -xn352n 4x xx.Inln(1 x) -1n(1 - x) = 2(x)1 -x352n -11亠x1令=2,即X带入(5),有1 -x3.1 )(2n_1) 322估计余项如下rn =2( (2n+1) 32n+1 + (2n+3) 32n+3<2n+1(2n+1) 32 “ 1 1(1 + 22+32+)=4(2n+1)32n-1如要精确到10*，即使rn：10二只要n =4(见附录5)1111ln 2 ： 2(357)3 3 35 '37

11、3=2(0.33333+0.02135+0.00084+0.00007) =0.69311 + x11拓展:令x2N 1，有1 1 1 1In(1 ) = 2(3弓亠 亠N 2N +1 3 (2N +1) 5 (2N +1)(2n- 1)(2N+1)=In(1 N) =l nN 2(1135)2N +1 3 (2N+1)52N+1)(2n -1)，(2N+1)这是一个递推公式,所以据此可求任何正整数的对数，相应的也可求有理数的对数.1如:当N=2时，即x=，51 訂)=1.09861 1 In 3 =In 2 2(3-53 535 52（k=1丽尹的结果见附录6）1当N=4时，即x=，有91

12、1 1In 5 =2In 2 2(3 弓 )=1.609493 95 9（Jy的结果见附录7）k=1 （2k-1）9（ ）如此进行下去，可得In6,ln7,的值In x利用上述计算方法，通过换底公式，我们可以计算得到了 g “而的一些近似计算结果并与数学用表中Igx值进行比较（见表）表 Igx的幕级数近似计算结果与数学用表中数值的比较12345678910幕级00.301030.477060.602060.69870.778090.845040.900900.954121数算数学用表00.30100.47710.60210.69900.77820.84510.90310.95421通过此表，知

13、幕级数作为近似计算的工具，结果与真实值很相近参考文献1 董延闿级数M.上海：上海科学技术出版社，1982.2 华东师范大学数学系.数学分析.M.北京:高等教育出版社,19993 周晓阳.数学实验与Matlab.武汉：华中科技大学出版社,2002附录1. s=0; n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=(-1F(门-1)*2*3八(1/2)/(2* n-1)*3( n-1)+s;n=n+1;ends,n程序所得结果为s=3.14167431n = 8即为使计算结果精确到小数后第四位，只需求对应级数前7项的和利用Matlab软件算得7 (-1严 2、32-7n =1

14、 2n T3n 一1syms ksymsum(-1F(k-1)*xA(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8)ans =x-1/3*xA3+1/5*xA5-1/7*xA7+1/9*xA9-1/11*xA11+1/13*xA13-1/15*xA15syms kf=6*(-1)A(k-1)*(1/sqrt(3)A(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)结果为ans =3.141674312. s=0; n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=4*(-1)A( n-1)/(2* n-1)*1/2A(2* n-1)+1/3A(2* n-1)+s;n=

15、n+1;ends,n计算结果为s =3.141561583. s=3 ;n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=(2* n-1)!/(2* n)!*(2* n+1)*2(2* n+1)+s;n=n+1;ends,n计算结果为s=3.14115n=44. ff=sym('n*n!=10八7');solve(ff,' n') ans =1010 1先算1k=i k!syms k nsymsum(1/sym('k!'), k ,1,10) ans =1.718281810 1则 e=1+、=2.7182818k=1 k!5. ff=