中考数学圆与相似(大题培优易错难题)及详细答案

1、求4BMC的面积;AB=3, AD=班,求证：AD= . BN .E为AD的中点时,点BAM=/ACD=90 , AM=CD , ABMACAD,BM=AD="城一恭=1 , CM=CA - AM=2 ,Sabcm=?CM?BA=中考数学圆与相似(大题培优易错难题)及详细答案一、相似1 .如图，在 4ABC 中，AB=AC, /BAC=90°, AHXBC 于点 H,过点 C 作 CD±AC,连接E.AD,点M为AC上一点，且 AM=CD,连接BM交AH于点N,交AD于点(1)若EG CNI,彳EQ± BC于 Q, EF)± BA 于 P.X

2、23=3(2)解：如图2中，连接1 . AE=ED ,/ACD=90 °, AE=CE=ED , / EAC=Z ECA ,-. ABMACAD ,Z ABM=Z CAD , ZABM=ZMCE ,/ Z AMB=Z EMC , . / CEM=/ BAM=90 ° ,2 .ABMAECM, 力 昂, .,/ ZAME=Z BMC, . AMEs BMC,，/AEM=/ ACB=45 °, ，/AEC=135 °, 易 知 / PEQ=135 °,. . / PEQ=/ AEC ,，/AEQ=/ EQC -/P=/ EQC=90,°

3、EPAEQC, . EP=EQ / EP± BP, EQ, BC .BE 平 分 / ABC,，/NBC=/ ABN=22.5 ； AH 垂 直平分 BC ,. NB=NC ,/ NCB=Z NBC=22.5 , °，/ ENC=Z NBC+/ NCB=45 ；. AENC 的等腰直角三角形，NC=/ EG . .AD=2EC, .2NC=k1' AD, . AD=、三 NC, / BN=NC, ，AD= BN.【解析】【分析】(1)首先利用 SAS判断出ABM ACAD,根据全等三角形对应边相等 得出BM=AD=根据勾股定理可以算出AM,根据线段的和差得出CM的长

4、，利用1Sabcm= :?CM?BA即可得出答案；(2)连接EG CN,作EQ± BC于Q, EP± BA于P.根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半得出 AE=CE=ED根据等边对等角得出 / EAC=Z ECA,根据全等三角形对应角相等 得出ZABM=ZCAD,从而得出 /ABM=/MCE,根据对顶角相等及三角形的内角和得出 /CEM=/BAM=90 ；从而判断出 ABMsECM,由相似三角形对应边成比例得出BM :CM= AM : EM,从而得出 BM : AM= CM ： EM,根据两边对应成比例及夹角相等得出 AMEABMC,故 / AEM=/ACB=45；

5、/AEC=135；易知 /PEQ=135；故 / PEQ=/ AEC, / AEQ=Z EQC,又/ P=/ EQC=90，。故 EPA EQQ故EP=EQ根据角平分线的判定得出 BE平分/ ABC,故/ NBC=Z ABN=22.5 °,根据中垂线定理得出NB=NC,根据等腰三角形的性质得出/ NCB=Z NBC=22.5 ,故/ ENC=Z NBC+Z NCB=45 , ENC的等腰直角三角形，根 据等腰直角三角形边之间的关系得出NC=亚EC,根据AD=2EC, 2NC=4三AD , AD=NC,又 BN=NC,故 AD= BN.2.如图，在ABC中，点N为AC边的任意一点，D为

6、线段AB上一点，若/ MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边 BC, AC交于点M、N,且/ MPN+/ACB=180°.(1)如图1,若AC=BC /ACB=90,且D为AB的中点时，求 ，请证明你的结论;出(2)如图2,若BC=m, AC=n, Z ACB=90 ,且D为AB的中点时，贝U召1 = M出(3)如图3,若-砧=k, BC=m, AC=n，请直接写出 巧 的值.(用k, m, n表示) 【答案】(1)解：如图1中，作PG± AC于G, PHI± BC于H,图1,. AC=BC, /ACB=90,° 且 D 为 AB 的中点, C

7、D平分 / ACB, . PG± AC于 G, PH, BC于 H,PG=PH, / PGC=Z PHC=Z GCH=90 ；g G GPH=Z MPN=90 °,/ MPH=Z NPG, / PHM=Z PGN=90 ； .PHMAPGN,n他(3)解：如图 3 中，作 PG± AC于 G, PH, BC于 H, DT± AC于 T, DK, BC于 K,易证PMHsPGN,1-AC DTS A 2ADS1四 1甑-BC - DKDK kii 而 一 /血,. DT/PG, DK/ PH,PU CP 巴胸洛 M , ?PH DK knPM kii .而

8、一 71 疏【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PGJ± AC于G, PHI± BC于H,图2 / PGC4 PHC=Z GCH=90 ；/ GPH=Z MPN=90 °,/ MPH=Z NPG, / PHM=Z PGN=90 ； .PHMAPGN, . 风,. PHCAACB, PG=HC PM PH PH AC n 明加犷交曲，故答案为：用；【分析】（1）作PG±AC于G, PHI± BC于H,根据已知条件可证 4PHM和4PGN的两角对应相等，进而可得 PHMsPGN,由相似三角形的对应边成比例即可求出。（2）作PG±AC于G

9、, PHI±BC于H,由两角对应相等，可得 PHMsPGN,由相似三角形的对应边成比例可得 五=拓，由两角对应相等，可得 PH84ACB,又PG=HC相似三角形的对应边成比例及等量彳t换即可求出。（3）作PG± AC于G, PHI± BC于H, DTXACT T,DK±BC于K,由两角对应相等，PHMsPGN,由相似三角形的对应边成比例可得刖 PhDhPG 为月1 =巴，由4 a C D和 B C D的面积比及已知条件可得 扔，再由垂直于同一条直线的两 产CL条直线平行可得 DT/ PG, DK/ PH,根据平行线分线段成比例定理可得以盘据比例的基本性质

10、即可求出用的值。3.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A（-1, 0）, B（5, 0）两点，与y轴交与点C.(2)若点D是y轴上的点，且以 B、C、D为顶点的三角形与 4ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2, CE/X轴与抛物线相交于点 E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点 H 且与y轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F, G,试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点 H的坐标及最大面积.【答案】(1)解：把A(-1, 0), B(5, 0)代入y=ax2+bx-5可得(2)解：如图1,令x=0,则y=-5, C(0,-5),.OC

11、=OB,/ OBC=Z OCB=45 ；.AB=6,BC=5''，AB BC AB BC要使以B,C,D为顶点的三角形与4ABC相似，则有CD 取或无AB BC 当灰时,CD=AB=6,.D(0,1),.,. a、，即：D的坐标为(0,1)或(0, 3 );(3)解：设 H(t, t2-4t-5):“壁II x轴，：一咕二-齿，又因为点E在抛物线上，即-打 方=-5 ,解得|打工口J E(4f - 5)fJ 以二 i|I ：* B(5. ohc(or -到- BC所在直线解析式为y=x-5,“. HF = t - 5 - (t2 - 4t - 5)= 一炉 + 5t. I尸化F

12、 -励则5 国该愚的 - -£E , HI'二 而CE是定值，当HF的值最大时，四边形 CHEF有最大面积。A26当二:时，HF取得最大值 / ,四边形CHEF的最大面积为/125 支-CE HF X 4 X 二 T901 J?,435EBB-> BBSa此时hG：,)2)分两种情况，利 BC的解析式，进而求出四【解析】【分析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；(3)先求出直线边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；4.如图，在 ABC 中，/ACB=90°, AC=6cm, BC=8cm,点 D 从点

13、 C 出发，以 2cm/s 的速度沿折线 C-A-B向点B运动，同时点 E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运(2)若四边形CDEF是以CD DE为一组邻边的平行四边形， 设它的面积为S, 于t的函数关系式；是否存在某个时刻 t,使平行四边形 CDEF为菱形？若存在, 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：如图1,当/BED=90时，4BDE是直角三角形，求S关求出t图1贝U BE=t, AC+AD=2t,.BD=6+10-2t=16-2t, / BED=Z C=90 ；.DE/ AC,BE DEBC AC ,Jr，DE=DEsinB= 袤3t166*t=/ j .如图2,当

14、/EDB=90时，BDE是直角三角形,贝U BE=t, BD=16-2t, BD BC 8cosB= BE AB 16 ,16 - 2t 8 t16 ,H. .t= 7 ;答：当BDE是直角三角形时，64 也t的值为五或下(2)解：如图3,当0vtw时，BE=t, CD=2t, CE=8-t, .S?cdef=2Sacde=2 乂 X 21(渴-t) =-2t2+16t,如图 4,当 3vt<8 时，BE=t, CE=8-t,过 D 作 DHL BC,垂足为 H,r BL 二元r 16 - 2(10S?cdef=2S>a cde=2L.汽 C CEX DH=CEX D8H=)X38

15、it+.S于t的函数关系式为：当0vtw时，S=-2t2+16t,384当 3vtv8 时，S= 412- I，囱 t+ 彳;存在，如图5,当？CDEF为菱形时，DHL CE .BH=BE+EH=t+1=即当t二:"时，？CDEF为菱形.【解析】【分析】（1）因为 BDE是直角三角形有两种情况: 当/BED=90 °时，可彳HDE/AC,根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得 丽乙SG,于是可得比例式将 DE邑用含t的代数式表示，再根据 sinB=句可得关于t的方程，解方程即可求解； 当/EDB=90。时，同理可求解；（2）

16、 当0Vt与时，S?cdef=2S acde可得s与t的关系式；当3Vt<8时， 过D作DH用含t的代数式DH ± BC ,垂足为H,根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，于是可得比例式将 表不，则S?CDEF =2S ZXCDE可得s与t的关系式；当3Vt<8时，同上； 存在，当？CDEF为菱形时，DHXCE,根据BH=BE+EH 可得关于t的方程，解方程 即可求解。5.在 RtABC中，/ACB=90°, AC=12.点 D在直线 CB上，以 CA , CD为边作矩形 ACDE ,直线AB与直线CE , D

17、E的交点分别为 F , G .(1)如图，点D在线段CB上，四边形 ACDE是正方形.若点G为DE中点，求FG的长.若DG=GF,求BC的长.(2)已知BO9,是否存在点 D ,使得4DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰 长；若不存在，试说明理由.【答案】(1)在正方形 ACDE中，有DG=GE=6在 RtAEG中，AG=/if + 的-/ 即. EG/ AC ， AC% AGEFFG EG . AFACAE=ED又 EF=EE .-.AAEFADEFZ 1 = Z2 (设为 x)VAE# BCZ b=Z 1=x -.GF=GDZ 3=Z 2=x在 Aclbf 中，Z 3+Z FDb+Z

18、b=180 -x+ (x+90 ) +x=180，解得 x=30Z B=30 °在 RtABC 中,BC an&T(2)在 RtABC 中,ab=M4/ + 蜡-十 $ -如图2,当点D在线段BC上时，此时只有 GF=GD. DG/ AC.BDGABCA设 BD=3x,贝U DG=4x, BG=5x，GF=GD=4x 贝U AF=15-9x1 . AE/ CB,2 .AEFABCFAE 护. .加一而9 - 3x 15 - 9x9 以,即F -仃t + 5二6 解得X1 = 1, X2=5 （舍去）腰长 GD=4x=4如图3,当点D在线段BC的延长线上，且直线AB , CE的

19、交点在 AE上方时，此时只有GF=Dg ,D C B (ffl 3)设 AE=3x ,则 EG=4x , AG=5x , .FG=DG=12+4x ,AE/ BC.AEFABCFAE AFBC 的3x 9x + 12：. g 9x j ,即 x2=4解得xi=2, X2=-2 （舍去） 腰长 GD=4x+12=20如图4,当点D在线段BC的延长线上，且直线 AB , EC的交点在BD下方时，此时只有DF=DG ,过点 D 作 DHFGo设 AE=3x ,则 EG=4x , AG=5x , DG=4x+12 (4x + 12) X - =AFH=GH=DG cos/ DGB=+ 组.GF=2GH

20、= 5,32x 十 96 7x -f- 96.AF=GF-AG= 5,1. AC/ DG.ACFAGEF71VTJ1274解得xi= 7 , x2=7 (舍去)84十朝名腰长 GD=4x+12='如图5,当点D在线段Cb的延长线上时，此时只有 DF=Dg,过点D作DhAG ,Cffi 5)设 AE=3x ,则 EG=4x , AG=5x , DG=4x-12416x(4x - 12) X . FH=GH=DG cos/ DGB=32x - 96 96-7大-5T.AF=AG- FG=广£ I. AC/ EG.ACFAGEF12414解得xi= 7 , x2=*（舍去）- 84

21、 + 4Sf74,腰长 GD=4x-12=7 I84 + W7| 一冽十姐M综上所述，等腰 4DFG的腰长为4, 20,7,7【解析】【分析】（1）此小题考查相似三角形的判定与性质；由正方形的性质可得AG/EG,则ACQ4GEF,即可得 FG: AF=EG: AC=1:2,则只要由勾股定理求出AG即可； 由正方形性的对称性，不难得出/1 = /2,而由 GF=GD可知/3=/2,在4BDF中，由三角形内角和为180度，不难求出/b的度数，可知是一个特殊角的度数，从而求出BC即可；（2）因为BC=9,所以B是定点，动点是 D,因为点D是直线BC上一点，随着点 D 的位置的变化，E和F点的位置也跟

22、着变化；需要分类计论点 D在线段BC上，点D在BC的延长线和点 D在CB的延长线上，再逐个分析等腰三角形的存在性，根据相似三角形的性及三角函数分析解答即可.6.如图，已知一次函数 y=- J x+4的图象是直线1,设直线l分别与y轴、x轴交于点A、(1)求线段AB的长度；(2)设点M在射线AB上，将点 M绕点A按逆时针方向旋转 90°到点N,以点N为圆 心，NA的长为半径作 ON.当。N与x轴相切时，求点 M的坐标；在的条件下，设直线 AN与x轴交于点C,与。N的另一个交点为 D,连接MD交x 轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线1交于点P、Q,当 APQ与 CDE相似时，求 点P

23、的坐标.【答案】(1)解：当x=0时，y=4,A (0, 4),.OA=4,4当 y=0 时，-x+4=0,x=3,.B (3, 0),.OB=3,由勾股定理得：AB=5(2)解：如图1,过N作NHy轴于H,过M作MEy轴于E,OB EM 3 tan Z OAB= OA AE 4, 设 EM=3x, AE=4x,贝U AM=5x,.M (3x, -4x+4),由旋转得：AM=AN , /MAN=90 , / EAM+Z HAN=90 ； / EAM+Z AME=90 ;/ HAN=Z AME, / AHN=Z AEM=90 ；.-.ahnamea,.AH=EM=3x,.ON与x轴相切，设切点为

24、 G,连接NG,则NG±x轴, .NG=OH, 则 5x=3x+4,2x=4,x=2, .M (6, -4);如图2,由知N (8, 10), . AN=DN, A (0, 4), .D (16, 16), 设直线 DM： y=kx+b, 把 D (16, 16)和 M (6, -4)代入得：, b=16:能=-i , -k=2 解得：， 直线DM的解析式为：y=2x-16, 直线DM交x轴于E, 当 y=0 时，2x-16=0,x=8, E (8, 0),由 知：ON与x轴相切，切点为 G,且G (8, 0), .E与切点G重合， / QAP=/ OAB=Z DCE.APQ与CDE

25、相似时，顶点 C必与顶点 A对应， 分两种情况：i)当DC上QAP 时，如图 2, /AQP=/ NDE, / QNA=Z DNF,/ NFD=Z QAN=90 ；1. AO/ NE,.ACOANCE, AO _CGI：.-00= 3|,连接BN,.AB=BE=5, Z BAN=Z BEN=90 ,Z ANB=Z ENB,.EN=ND,Z NDE=Z NED,Z CNE士 NDE+Z NED,Z ANB=Z NDE,. BN II DE,J Si _寸RR ABN 中，BN八'/VAB _A7sinZANB=Z NDE= BN ,5 _凶 一冗,NF=2 ', 1. DF=4

26、'6， Z QNA=Z DNF,tan Z QNA=tan Z DNF= ' 川5 AC，城二“ .AQ=20, 3 4,. tan Z QAH=tan Z OAB=V A 设 QH=3x, AH=4x,则 AQ=5x, 5x=20,x=4, 1.QH=3x=12, AH=16, Q (-12, 20),同理易得：直线NQ的解析式: P (0, 14);y=- x+14,3,ii)当DC&PAQ时，如图/ APN=Z CDE, / ANB=Z CDE1. AP/ NG,/ APN=Z PNE,/ APN=Z PNE=Z ANB, .B与Q重合，.AN=AP=10, .O

27、P=AP-OA=10-4=6 P （0, -6）;综上所述，APQ与CDE相似时，点P的坐标的坐标（0, 14）或（0,-6）【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB0B闽 J的长度；（2）根据同角的三角函数得：tan/OAB=R! AE 也设EM=3x, AE=4x,则 AM=5x,得 M （3x, -4x+4）,证明AHNMEA,则 AH=EM=3x,根据 NG=OH,列式可 得x的值，计算M的坐标即可； 如图2,先计算 E与G重合，易得 /QAP=/ OAB=Z DCE,所以4APQ与4CDE相似时， 顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：

28、i）当DCaQAP时，证明AC84NCE,列比例式可得CO= 3 ,根据三角函数得：DF眼g 磔tan Z QNA=tanZ DNF=4产 心,AQ=20,则 tan Z QAH=tan Z OAB=41* ,设 QH=3x ,AH=4x,贝U AQ=5x,求出 x 的值，得 P （0, 14）;ii）当DC上PAQ时，如图3,先证明B与Q重合，由AN=AP可得P （0, -6）.7.问题提出;(1)如图1,矩形ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点P为BC上的动点,CP=时， APE的周长最小.(2)如图2,矩形 ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点

29、 P、点Q为BC上的动 点，且PQ= 2,当四边形APQE的周长最小时，请确定点 P的位置(即BP的长) 问题解决；(3)如图3,某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部(不包括边界)点 P处修一 个凉亭，设计要求 PA长为100米，同时点 M, N分别是水域 AB, AC边上的动点，连接 P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形 AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形 AMPN面积的最大值是多少？【答案】(1)三(2)解：点A向右平移2个单位到 M,点E关于BC的对称点F,连接MF ,交BC于Q,此时MQ+EQ最小, . PQ=3, DE= CE= 2, AE= 2短；，要使四边形APQ

30、E的周长最小，只要 AP+EQ最小就行,即 AP+EQ= MQ+EQ,过 M 作 MNBC于 N, .MN / CD .MNQs"CQcf a二.协2 6 NQ 1 NQ.NQ=4.BP= BQ- PQ= 4+2- 2=4(3)解:如图，作点 P关于AB的对称点 G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB, AC于点M, N,此时 APMN的周长最小ALc.-.AP = AG= AH=100 米，/GAM=/PAM, Z HAN = Z PAN, / PAM+Z PAN= 60 °,/ GAH= 120 ;且 AG= AH,/ AGH= ZAHG= 30 °,

31、过点A作AOXGH, .AO=50 米，HO= GO=50米，.GH= 100 3 米，/ Saagh= 一 GH X AO 2500 4 平方米，- S 四边形 ampn= Saagm+Sa anh= S/agh Saamn , Saamn的值最小时，S四边形ampn的值最大，.MN = GM=NH= 3 时/. s四边形AMPN = Saagh Saamn = 2500 '=:平方米.【解析】【解答】（1） 四边形ABCD是矩形，Z D= 90=/ABC, AB=CA4, BC= AD= 8, .E为CD中点, .DE=CE= 2,在RtADE中，由勾股定理得：AE= /庐+优&q

32、uot;A =25, 即 APE的边AE的长一定，要 APE的周长最小，只要 AP+PE最小即可，延长AB到M ,使BM = AB= 4,则A和M关于BC对称，时连接EM交BC于P ,此时AP+EP的值最小,四边形ABCD是矩形， .AB/ CD ,.,.ECFAMBP ,ce a而一万占.CP=故答案为:【分析】（1）延长AB至1J M ,使BM=AB,则A和M关于BC对称，连接 EM交BC于P, 此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩彩f质得出 AB/ CD,推出 ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出 CP长；（2）点A向右平移2个单位到 M, 点E关于BC的对称点F,

33、连接 MF,交BC于Q,要使四边形 APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证 MNQsFCQ即可求BP的长；（3）作点P关于AB的对称点 G, 作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB, AC于点M, N,此时 PMN的周长最小.S四 边形 AMPN=SAGM+SkANH=SaAGH-Sk AMN , 即 Sa AMN 的值最小时，S 四边形AMPN的值最大.8.如图，点E, F分别在矩形 ABCD的边AB, BC上，连接EF,将4BEF沿直线EF翻折得 至MHEF, AB= 8, BC= 6, AE: EB= 3: 1.A_D AD <,3（1）如图1,当/BEF= 45

34、76;时，EH的延长线交 DC于点M,求HM的长；（2）如图2,当FH的延长线经过点 D时，求tan/FEH的值；（3）如图3,连接AH, HC,当点F在线段BC上运动时，试探究四边形 AHCD的面积是否 存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：如图1中，/D当上加F二6|时，易知四边形 座圈是正方形,(2)解：如图2中，连接班.在 Ri 四中，r ZA 90 y AD .出 W , : DE -2 ?在Rl /四中，DU房一加;人可设RF = FH -，贝U DF 、,上川匚，F 6 工，在Ri WT.中,犷二邮， : C17 * x）2

35、= W, + （6 -, : A ='，-），FH y7r - d : tanZ胡-2 1(3)解：如图3中，连接次，作上讨二出于否.:&铲 /加，乙处上8 3 " 施 s£ ABC ,AE Ek二AC 应W，序 b, 18 二 EM = - e r S6 X 8 = 24S四酉题伙）=3 d再第'5 9，2,二|当 34fz的面积最小时，四边形，切目的面积最小，188:. |当届与昌重合时，点五到直线-M的距离最小，最小值 '二一彳，；8.- -X 10 y - - S一力才疗的面积的最小值 25 ,：|四边形T时的面积的最小值为 忸+e

36、32 .【解析】【分析】（1）当/BEF=45时，易知四边形 EBFH是正方形，求出 EM, EH的长即可解决问题.（2）如图2中，连接DE利用勾股定理求出 DE, DH,设BF=FH=x在RtA DFC中，利用勾股定理即可解决问题 .（3）如图3中，连接AC,彳EMLAC于M.利用相似三角I形的性质求出 EM,由S四边形ahcd=Saach+Saadc , Saacd= -" X 6X 8=24出当ZACH的面积最小时，四边形 AHCD的面积最小，可知当 EH与EM重合时，点 H到直线AC的距离最小， 由此即可解决问题.的中、圆的综合9.如图，已知 4ABC内接于。O, AB是。的

37、直径，点 F在。上，且点 C 点，过点C作。的切线交AB的延长线于点 D,交AF的延长线于点 E.（1）求证：AE± DE;【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】Fvl_ M试题分析：（1）首先连接 OC,由OC=OA 77r = Fr,易证得OC/ AE,又由DE切。O于 点C,易证得AE± DE;（2）由AB是。的直径，可得4ABC是直角三角形，易得 4AEC为直角三角形，根据IIAE=3求得AC的长，然后连接 OF,可得4OAF为等边三角形，知 AF=OA=AB,在4ACB中，利用已知条件求得答案.试题解析：（1）证明：连接OC,Z BAC=Z OCA3 M二&qu

38、ot;口 -Z BAC=Z EACZ EAC玄 OCA, .OC/ AE,.DE切。O于点C, OCX DE, AEXDE;(2)解：.AB是。的直径， .ABC是直角三角形， / CBA=60 ,°/ BAC=Z EAC=30 , ° AEC为直角三角形， AE=3,.,.ac=2P,连接OF, , OF=OA, / OAF=Z BAC+/ EAC=60 ,°.OAF为等边三角形，II.AF=OA= AB,在 RtA ACB 中,AC=2v , tan / CBA/3BC=2,.AB=4,.AF=2.考点：切线的性质.10.如图，已知。的半径为1, PQ是。的直

39、径，n个相同的正三角形沿 PQ排成一列, 所有正三角形都关于 PQ对称，其中第一个 AiBiCi的顶点Ai与点P重合，第二个 A2B2。的顶点A2是BiCi与PQ的交点，最后一个AnBnCn的顶点Bn、O在圆上.如图1,当n=1时，正三角形的边长 ai=；如图2,当n=2时，正三角形的边长;如图3,正三角形的边长(用含n的代数式表示).P3)巴A)Q图28 34;32i3 i 3n2分析：(1)设PQ与BiCi交于点D,连接BQ ,得出OD=AiD -O A ,用含ai的代数式表【解析】示OD,在AOBiD中，根据勾股定理求出正三角形的边长ai； (2)设PQ与B2c2交于点E,连接B2O,得

40、出OE=AiE-OAi,用含a2的代数式表示 OE,在AOBzE中，根据勾股定理求出正三角形的边长 a2； (3)设PQ与BnCn交于点F,连接BnO,得出OF=AF-OAi,用含an的代数式表示 OF,在408口5中，根据勾股定理求出正三角形的边长an.本题解析：3 =易知AiBiCi的高为一，则边长为 J3 ,2ai = 33 .(2)设AiBiCi的高为h,则A2O= i-h,连结 B2O,设B2c2与PQ交于点F,则有 OF= 2h i.2. B2O2=OF2+ B2F2,i= (2hi)2+ -a22h= -3a2, . i= (173 a2i)2+； a22, 解得a2= 8叵.i

41、3(3)同(2),连结BnO,设BnCn 与 PQ 交于点 F,则有 BnO2= OF2+BnF2, 2即 i = (nh i)2+ a2an2 +、.3nann i2解得an=仝纨3n2 i11.如图，AB是圆。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 /PDA=/ PBD.延长 PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由；(2)如果 / BED=60°, PD=J3,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆。上，如图2,求证：四 边形DFBE为菱形.【答案】(1)证明见解析；(2) 1; (3)证明见解析.【解

42、析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆。的直径可得/ADB=90,进而求得/ ADO+/PDA=90 ,即可得 出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得Z P=30° ,再由PD为。的切线，得 /PDO=90 ；根据三角函数的定义求得 OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圆。的直径，得 Z ADB=90 , 设/ PBD=X，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四

43、边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：如图1,连接OD,勖 .AB是圆。的直径，/ ADB=90 ； / ADO+Z BDO=90 ； 又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=Z PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 点D在。O上， 直线PD为。的切线；(2) BE是。的切线，/ EBA=90 ,° / BED=60 ；/ P=30 ,° .PD为。的切线,/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30°, PD=>/3 ,。 OD -，tan 30,

44、解得 OD=1,PDPO PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2 - 1=1;(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ,°设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90 +x°, / DBF=2x , 四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,°即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z

45、ABF=30 ,°.BE、ED是。的切线， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,°4BDE是等边三角形，bd=de=be又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60°, .BDF是等边三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF四边形DFBE为菱形.本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档 题，难度较大.DA、DC分别切。于点A, C,且AB=AD.BE.BC=1 ,求CH的长.12.如图，AB为。的直径，(1)求 tan/AOD 的值.(2) AC, 0D

46、交于点E,连结求/ AEB的度数；连结BD交。0于点H,若【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得 / BAD=90 ,(2) 根据切线长定理可得 AD=CD,由题意可得AD=2A0,即可求tan/AOD的值;DOXAC, AE=CE根据圆周角定理可求0D平分/ADC,根据等腰三角形的性质可得/ACB=90°,即可证 /ABC=/ CAD,根据 “AAS"证【答案】(1) 2； (2) ZAEB= 135。； CH ABCA DAE：,可得 AE=BC=EC 可求 / BEC=45；即可求 /AEB 的度数；由BC=1,可求AE=EC=1 BE 亚,根据等腰直角三角形的性质

47、可求/ ABE=/ HBC,可证AB&4HBC,可求CH的长.【详解】(1) DA是。O 切线，./BAD=90.,. AB=AD, AB=2AO, . . AD=2AO, ，tan/AOD 幽 2；AO(2)DA、DC 分别切。O 于点 A, C,AD=CD, OD 平分 / ADC, . DO, AC,AE=CE AB 是直径，/ ACB=90 ,° / BAC+/ ABC=90，且/ BAC+/ CAD=90 ；，/ABC=/ CAD,且 AB=AD, / ACB=/ AED=90 AB8 DAE (AAS) , . CB=AE . CE=CB 且 / ACB=90 ,

48、°/ BEC=45=2 EBC,. / AEB=135 ,° 如图，BC=1,且 BC=AE=CE . . AE=EC=BC=1 . . BE 72 AD=AB, / BAD=90/ ABD=45，且/ EBC=45,/ ABE=Z HBC,且 / BAC=Z CHB,1,2CH2,.CH 212本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识 是解题的关键.13.如图，AB是e O的直径，DF切e O于点D, BF DF于F ,过点A作AC /BF 交BD的延长线

49、于点C.(1)求证：ABC C;(2)设CA的延长线交e O于E, BF交e O于G ,若DG的度数等于60。，试简要说明 点D和点E关于直线AB对称的理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1)作辅助线，连接 OD,由DF为。的切线，可得 ODL DF,又BF, DF, AC/ BF,所 以 OD/ AC, / ODB=Z C,由 OB=OD得 / ABD=Z ODB,从而可证 / ABC=/ C；(2)连接 OG, OD, AD,由 BF/ OD, Gd=60°,可求证?G =Gd Ad=60°,由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出Z OHD=9

50、0,由垂径定理便可得出结论.【详解】(1)连接OD, . DF为。O的切线， ODIDF. . BFXDF, AC/ BF, .OD/AC/ BF./ ODB=Z C.OB=OD,/ ABD=Z ODB./ ABC=Z C. 连接 OG, OD, AD, DE, DE 交 AB 于 H,1. BF/ OD,，/OBG=/ AOD, /OGB=/ DOG,Gd Ad =Bg -Gd =60,Bg=Gd Ad =60,/ ABC=Z C=Z E=30 ；.OD/CE/ ODE=Z E=30 :在 ODH 中,/ ODE=30 , / AOD=60 ,/ OHD=90 ； ABIDE.点D和点E关于

51、直线AB对称.【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用 数形结合解答.14.如图，在4ABC中，AB= AC,以AC为直径作。交BC于点D,过点D作F已AB于点E, (1),求EB的长.交AC的延长线于点F. 求证：EF与。相切；【解析】【分析】2通过解直角VAEF可以求得AF 10.设e O的半径为r,由已知可得 FODsFAE,OF OD 口. 10 r继而得到,即AFAE10153EB AB AE 6 一.22【详解】r -则易求AB AC615 一2r 一，所以2(1)如图，连接OD,1如图，欲证明EF与e O相切，只需证得 OD EF.Q OC OD , OCD ODC.QAB AC ,ACBB ,ODCB ,OD/AB , ODF AEF , Q EF AB , ODF AEF 90o ，OD EF,QOD是e O的半径，EF与e O相切；2 由 1 知，OD/ /AB , OD EF.AE 3在 RtVAEF 中，sin CFD 工 3, AE 6, AF 5则 AF 10,Q OD/AB ,.FODAFAEOF OD，AF AE设e O的半径为r,10 r r106 '-115解得，r ,4一15ABAC2r,2153EBABAE 6 -.22【点睛】本题考查了