割线定理,托勒密定理

1、fl）精锐个性化%叁濯哈依北女网英创立一精锐教育学科教师辅导教案学员编号:级：年级课时数:学员姓名:辅导科目：数学学科教师:课程主题:授课时间:学习目标教学内容11 ,如图2, P是正4ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），求证：PA=PB+PC.2,如图，PT切。于T, PBA、PDC为。的割线，则下列等式成立的是（a PBBA=PDPC .PA _BD二-B.一一D.二二三二丁二 5：G精锐个性化 、芭1，哈依北女网英创立3,已知PA切。于A, PBC交。于B、C,且PB=BC,若PA=6,则PB长为（A. / B. 1 C. 3 D.二托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的

2、乘积 （两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘 积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 ）.设四边形ABCD内接于圆，则有：即：AB CD AD BC AC BD ；定理：在四边形ABCD中，有：AB CD AD BC AC BD 并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立；证：在四边形ABCD内取点E,使 BAE贝U: ABE和ACD相似CAD, ABE ACDAB BE AB CD AC BEAC CD又空 AE且bac EADAC ADABC和AED相似BC EDAC AD AB CD AD BCAB CD AD BCAD BC AC EDAC (BE ED)A

3、C BD且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立;m精锐个性化、尊夕哈廨北大英创立切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比 例中项。是圆幕定理的一种。几何语言：.PT切。于点T, PBA是。的割线PT的平方=PA - PB （切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：. PBA, PDC是。的割线PD PC=PA - PB （切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT的平方=PA - PB=PC - PD证明切割线定理证明：设ABP是。的一条割线，PT是。的一条切线

4、，切点为T,则PT²=PA - PB证明：连接AT, BT3精锐个性化苔，哈依北女网英创立 : / PTB=/ PAT（弦切角定理）/P=/P（公共角）.PBTs/XPTA（两角对应相等，两三角形相似）WJPB: PT=PT: AP即：PT²=PB PA备量秋稀饼一、完善图形借助托勒密定理例1,证明“勾股定理”：在 RtABC 中，/ B=90 ,求证：AC2=AB2 + BC27争精锐,个性化内伊哈称北女网英创立例2,如图，在 ABC中，/ A的平分线交外接/圆于D,连结BD,求证: AD BC=BD(AB +AC).二、构造图形 借助托勒密定理例 3,若 a、b、x、y

5、 是实数,且 a2+ b2=1, x2 + y2=1.求证：ax+ by 1.三、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例4,已知a、b c是4ABC的三边，且a2=b(b+c),求证：/ A=2/B.分析：将a2=b(b+ c)变形为a - a=b - b+bc,从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯 形，使两腰为b,两对角线为a, 一底边为c.fl）精锐，个性化答哈依北大懵英创立CM=MD 。例7,如图，AC=BD, CE、DF切。于E、F两点，连EF,求证:若 OC=BD=4cm,例8,已知PT切。于T, PBA为割线，交OC于D, CT为直径, AD=3cm,求 PB 长。与精锐个性化Il

6、S#哈儡北大网英创立例9,两圆交于 A、B, AC、AD切两圆于A,交两圆于C、D,连CB,延长交AD于E,圆 于 F,若 BC=9, AE=6, DE=2,求 AC 长。例10, P为弦AB上一点，C在圆。上，OPLPC,求证:（1）依：取期（2）若 CM=MO=3 , OP=4,求 AP例11,如图，AB切。于B, OB交割线ACD于E, AC=CE=3, OE=-,求AB长。例12,如图，。中直径AEBF, M为OE中点，BM延长交。于C,连AC,求 中三个内角的正切值。#精锐个性化哈离北大修英创立例13,如图，已知AASC中NWCE=9Q 以C为圆心，作圆与ab相切于点D,且AD=9

7、,BD=16(1)求。C的半径11精锐个性化/哈儡北大英创立、在求最值中的应用许多题目如果能够使用该定理，可以改进解题过程，减少运算量，为考试赢得宝贵的答题时 问，下面的例子略去了原来比较复杂的解答(如三角换元、利用基本不等式等)，直接给出简 略的解答，以说明切割线定理在解题中的作用.例14,某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图 2所示，塔高BC 80米，塔所在的山高OB为220米，OA=200米，图中所示的山坡可视为直线1 ,且点P在直线1上，1与1 tan水平地面的夹角为 ，2,试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角 BPC最大(不计此人的身高)？13、在求交点中的应用例15,

8、已知f(x) (x 2005)(x 2006)的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是(A. （0b. （0，2）斡精锐,个性化W哈依北大清英创立# BC01.已知4ABC 中，/B=2/C。求证：AC2=AB2+AB2,已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7 。求证： i 1。 1G精锐-个性化、妄，哈依北大网英创立3 .由ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL和PN,求证：BCPKAC ABPL PM#4 . PAB 为。的割线，PO交。于 C,若 PC=CO,则 PA=4, AB=5 ,则 OC=(

9、)A. : 1 B. C. ： - D. 65 .如图，PA、PB切。于A、B, AO延长线与PB延长线相交于C,若。半径为3,BC=4,则。弁“*三（）332A. 3 B. 4 C.工 D. 26 .已知PA为。的切线，A为切点，PO交。于B,若PA=*cm, PB=5cm,那么。半 径为（）A. 15cm B. 10cm C. 5cm D. Cm cm要豆做托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.即：若四边形ABCD 内接于圆，贝U有 BDAC=BC AD+CD AB.托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接 于圆。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。是圆幕定理的一种。推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等多精锐个性化飞，*哈/北大网英创立三温故知新1,如图，设I和O分别是ABCZ AIO的内心和外心，求