微积分II期末模拟试卷三套及答案

1、微积分II期末模拟试卷1 （满分：100分；测试时间：100分钟）一、填空题（3X5=15）n 11、哥级数 ' 的收敛区间为n 1 n22、由曲线y 3 x （2）求抛物线y x 4x 3及其在（0, 3）和（3,0）处的切线所围成图形的面积。及直线y 2x所围成平面区域的面积是 22x x23、改变 dx fdy的积分次序 12 x J4、微分方程y y 2y 0的通解y 3 -5、设 an - n 1 x 1x dx ,则极限 lim nan 等于 2 0n二、选择题(3X5=15)6、定积分x x exdx的值是()。2(A) 0 ;(B) 2 ;(C) 2e2+2;(D)-6

2、2e7、一曲线在其上任意一点（x,y）处的切线斜率等于处，这曲线是（）y（A）直线;（B）抛物线;(C)圆;（D）椭圆8、设函数z 丫 f xy ,其中f可微，则()xy x y2 , 、2(A) 2yf'(xy)(B)2yf'(xy) (C) f (xy) (D)- f (xy)xx9、设函数z f x, y的全微分为dz xdx ydy ,则点0,0 （）A不是f x, y的连续点. B不是f x, y的极值点.C是f x, y的极大值点. D是f x, y的极小值点10、设级数nan0,且 n an an 1收敛，则级数 an （）n 1n 1n 1（A）收敛（B）发散（

3、C）不定（D）与an有关三、计算题（5X10=50 ）11、计算下列定积分，/、23f 2（1） x v4 x dx ；07112、计算下列多元函数微积分设f ,g为连续可微函数,u f(x,xy), v g(x xy),求_u -v x x(2)设x2Z2 y z ,其中为可微函数，求一z.yy13、计算下列二重积分(1)计算xydxdy,其中D是由抛物线y2 x及直线y x 2所围成的闭区域D(2)计算ex y dxdy,其中D是由x2D14、处理下列级数,11(1) 求 sin 一的敛放性n 1 ln(n 2) n15、求解下列微分方程(1) (xy2 x)dx (y x2y)dy 02

4、y 4所围成的闭区域(2)求 n(n 1)xn的和函数n 1x(2) xy y xe四、综合题(2X10=20 )x2 y216、求函数f x, y xe 2的极值.17、设 y(x), y2(x), y3(x)都是方程 y P(x)y Q(x)y f(x)的特解，且 Yy2 不恒等 y2 y3于常数，证明y (1 G)y1 (C2 a)y2 02y3为方程的通解(其中 g,c2为任意常数)。微积分II期末模拟试卷2 (满分：100分；测试时间：100分钟) 一、填空题(3X5=15)1、71 sin xdx02、limlnn/(1 1)2(1马2|(1 I)2用积分形式表示为 n , n n

5、 n1 23、已知y "*)过(0,-),其上任一点处的切线斜率为 xln(1 x ),则f(x) =4、哥级数 (n 1)xn的和函数为 . n 15、设函数z z(x, y)由方程z e2x 3z 2y确定，则3-z . x y二、选择题(3X5=15)6、设an0(n1,2,),且 an 收敛，常数(0,-),则级数 (1)n(ntan)a2nn 12mn(A)绝对收敛(B)条件收敛(C) 发散(D)收敛性与有关7、曲线y y(x)经过点(0, 1),且满足微分方程y 2y 4x ,则当x 1时，y ()(A)0；(B)1；(C)2；(D)42 28、设Dk是圆域D (x, y

6、) | x y 1的第k象限的部分，记1k (y x)dxdy ,则Dk(A) I10(B) I20(C) I 30(D) I 409、设函数f (x, y)为可微函数，且对任意的*2都有一(0,(xM0,则使不等式xy5f (x1,yjf (x2,y2)成立的一个充分条件是(A)x1X2,Yiy2(B)XiX2,Yiy2(C)XiX2,Yi y2 (D)Xi X2，Yi y2“、儿4 tan x4 x10、设 I14dx, 124dx ,则0 x0 tan x(A)Ii I 21.(B)1 Ii I 2.(C) I2 Ii 1.(D) 1 I2 I1.三、计算题(5X10=50 )12、计算

7、下列定积分1 一: xarcsinx . 21tdx ; (2)求y cosx sin x, y 0(0 x 一)绕x轴旋转的旋转体体积2 .1 X2412、计算下列多元微积分(1)设 z fx2y, (xy),其中f(u, v)具有二阶连续偏导数,(u)二阶可导,求 f(x y, yz,z x) 0,求 dz.(1)试确定n3n(2)把 f(x)xln(1 x)0 xdx展成x的哥级数。13、计算下列二重积分(1)设平面区域 D是由曲线x 3y, y 3x,x y 8所围成，求x2dxdy .D一一,一22 一(2)求二重积分x y dxdy,其中 D x, y x 1 y 12, y xD

8、14、处理下列级数n2nx 1 的收敛半径、收敛区间和收敛区域。15、求解下列微分方程2x yy (y) y ; (2) y 2y y xe o四、综合题(2X10=20 )1 x .16、设 f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导且 f'(x) 0,求证：F(x) f(t)dtx a a17、求曲线x3 xy y3在(a, b)内也 F'(x) 0.1(x 0, y 0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。微积分II期末模拟试卷3 （满分：100分；测试时间：100分钟）、填空题（3X5=15）71、x= 1-teu2du曲线 0在（0, 0）处的切线方程为2、3、

9、4、5、y t2ln(2 t2)xy y设z y x微分方程ysin(nn 1(1,2)-2满足初始条件yx 0 1,y x 03的特解1 x）的敛散性为 n设D是顶点分别为 0,0 , 1,0 , 1,2 , 0,1的直边梯形，计算1 x yd二、选择题(3X5=15) k 2,6、设 1k o ex sinxdx,( k 1,2,3)，则有(A) I1 I2 I3 (B)13 I2 I1(C)I2 I3 I1(D)I2 I1 I 37、设函数f连续，若F（u,v）f(x2y2)dxdy,其中区域Duv为图中阴影部分，则一FuA vf(u2)f(u2)C vf (u)D f (u)u8、二元

10、函数f（x,y）在点(x,y)m0,0 f(x,y)(B)lxm0(C)(D)0,0处可微的一个充要条件是f(0,0)0.f(x,0)f(0,0)(x,yl)m0,00,且 ym0f(0,y) f(0,0)0.lxm0fxf (x,y)f(0, 0)22-,x y(x,0)fx (0,0)0,且limy 0fy (0, y) fy (0,0)9、设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数， 且f(X) 0,令Unf (n),则下列结论正确17的是:(A)若 UiU2 ,则Un必收敛.(B)若UiU2 ,则Un必发散(C)若UiU2 ,则Un必收敛.(D) 若UiU2 ,则Un必发散.10、微分方程

11、y y x2 i sin x的特解形式可设为2(A) yax bx c x(Asinx Bcosx).2(B) yx(ax bx c Asin x Bcosx)./、2(C) y ax bx c Asinx.(D) y2.ax bxc Acosx三、综合题(7X10=70)ii、求函数 f ( x )2X /2(xi 't2t)e t dt的单调区间与极值。i2、222设函数uf(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42 i2 52 0.xx y y2确定a, b的值，使等式在变换 x ay, x by下简化 0 2i3、求微分方程y (x y ) y满足初始条件y(i)y(i) i

12、的特解.i4、将函数fi ,一 一在x i处展开为哥级数，并求 xn i(i) n2ni5、设函数y(x)由参数方程x x(t)2ln(iu)du确定，其中x(t)是初值问题dx 2texdtxt0 02 的解.求2.xy 2 0,当曲线y y x过原点i6、设非负函数y y x x 0满足微分方程xy时，其与直线x i及y 0围成平面区域 D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。i7、求证：若 x + y + z = 6,则 x2 y2z2i2, (x 0, y 0, z 0).微积分II期末模拟试卷1答案12345232T11TV 1dyfdx02 yx2xyGec2e3(1 e1)1

13、67r 89r 10CDADA1、解.limnan 1anlimn1(n 1)2n12、3232x交点为(3,6),(1,2),取x微积分变量则3、2dx131(3x2)2x x22xfdy2xdx 3x21132x3-11 y2 10 2 y fdx4、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为0 ,解得特征根ri1/22,x2x从而通解为yC1ec2e。(13e1)21【分析】先用换元法计算积分，再求极限因为ann nx 0n 1 , 1 xndx =2nxnd(1=1(1n3n 2x )211 n1，可见limnnan = nim 11(11.6、选(C)22(|x|x)|x|e

14、dx00dx22xexdx2xex|2 2ex|22e27、选(D)；按题意有dydx2xydy2xdx ,i i 12积分得一y 2,可见，该曲线是椭圆。2f'(xy) xx f(xy)yf'(xy) 2yf'(xy) .应该选(A).D【解析】因dz xdx ydy 可得zx, yy1,B0,CACB210、解:1 ,又在（0, 0）处,0, 0y0 故（0,0）为函数f （x, y）的一个极小值点.Skanan 1Skaia0a3a24 a4 a3k akak 1Ska0a。akSk则命题（A正确。11、解:12、(2)aiIII kakSk-2 3.(1)解：0

15、 x M40%sin3t 2cost1532(-cos x5切线方程分别为x解.akkSkkakak1a02 ,x dx 令 x2 costdt1cos3t)2 34x3264152sint(cos2 x2 .1) cos td cost其交点坐标是302 (4x 3)dx解.(1v原式两边对2z yf12x 6)dxf2y，- xy)g'(f1' f2'y)y求导.z-y y2y，2一 .(x 4x 3)dxg'(1y）.所以所以y 2yz y ' 713、（1）计算 xydxdy,其中D是由抛物线x及直线x 2所围成的闭区域。解： xydxdyD2

16、y 21 y2 xydx dy2dy6 y651(2)计算Ddxdy,其中D是由4所围成的闭区域。解：ex2Dy dxdy2er2rdro14、(1)解.因为limnln(n 2).1 sin 一n1n ln n1,所以n11 «sin 和1 ln(n 2) n有相同的n 1 n ln n敛散性.又因为21.dx发放,xln x由积分判别法知1n 1 nln-发散.所以原级数发散. n(2)解.lim n(n 1)|x|n |x|1收敛.当n(n 1)及1(1)nn(n 1)n 1都发散.所以收敛区域为（一1,1）.n(nn 11)xnx n(nn 11)xn1积分二次2x(1 x)

17、3,X ( - 1, 1)15、（1）解：变量分离得,ydyxdx一 2)1 x 119两边积分得，-ln（y1)1231n(x2 1)从而方程通解为c(x2 1)（2）解：整理得,1一y xex,可见该方程是一阶线性方程,利用公式得通解为2dx y e x (1dxx dx c)1( xxexdx c)1(xex ex c)。 x16、【解析】：fx,y22x yxe 2先求函数的驻点：令fx x, yfy x, yxyefxx2 x3 e-y2解得驻点为1,0 ,1,0.又 fxy对点1,0，有 Afxx1,0fyy12e,B11,00,G fyy1,01所以，AC1 B；0,A 0,故f

18、 x, y在点1,0处取得极大值f 1,0e2.11对点 1,0,有 A2fxx1,0 2e2,B2fxy1,00,C2fyy1,0 e21所以，A2c2 B22 0,A2 0,故f x,y在点1,0处取得极小值f 1,0e.P(x)y Q(x)y f(x)的特解,17、证明：因为y(x), y2(x), y3(x)都是方程y所以y y2和y2 y3都是方程y P(x)y Q(x)y f(x)对应齐次方程的解,又因Yy2不恒等于常数，所以 y1 y2和y2 '3线性无关， y2 y从而对应齐次方程的通解为 Y C|(y1 y2) c2(y2 y3),所以原方程的通解为y Y y1 Ci

19、(y1 y2) c2(y2 y3) y1,即 y (1 Sy (C2 g)'2 c2y3。微积分II期末模拟试卷2答案123454( <2 1)22 ln xdx1122y -(1 x )ln( 1 x ) 1222 x1,11 x2678910ABBDB1、4H21）原式/ x x 2x x0 ( (sin 2 cos?) dx o |sin cos- | dx2 x x0 (cos- sin -)dxxx22(sin - cos -) |0 22x x2 (sin -cos- )dx(cos- sin)| 2 4(、2 1)222、212ln xdx【详解】lim nn 1

20、22 2lnn(1) (1)(1-)* 2 nlim nln(1-)(1 nn) nlim nln(11) nln(12) nIII(1n) nlimnn2 ln(1i 1A1101n(1x)dx 1 x2lntdt221ln xdx3、解.由题设得微分方程dydxxln(1x2)x2)d(12. 一.x ).所以12y 2(1 x)ln(1212x) 2(1x)c.代入初始条件，得y(0)是c = 0.得特解y2(1)ln( 114、解.(nn 11)xnn 22(n 1)x x22x2 .该等式(1 x)2在（一1,1）中成立.当x =1时，得到的数项级数的通项不趋于0.所以(n 1)xn

21、n 12x2 , x(1 x)2属于(一1,1).23【解析】利用全微分公式，得dz e2x3z(2dx 3dz) 2dy2x 3z ,2e dx2dy 3e2x 3zdz(13e2x3z)dz 2e2x3z ,dx2dyc 2x 3z, 2e .dz xwdx1 3e2_1 3e2x2e2x 3z1 3e2x 3z21 3e2x 3z从而3 x6、A解.因为an收敛，所以n 1a2n收敛.n 1limnn(tan - )a2nna2n.所以(ntan-)a2n和a2n有相同的敛散性.所以原级数绝对收敛.7、选殴；方程y 2y4x为一阶线性微分方程，其通解2dx2dxy e ( 4xe dxc

22、) 2x 1 ce 2x0,所以曲线为y 2x1,由此，当x 1时y 1。8、B【详解】由极坐标系卜二重积分的计算可知Ik(y x)dxdyDksin cosk 2(k 1)2k|2|k 121(sin cos0)r 2drki21 (sin sin )dT所以IiI30,I2,I42 ,应该选(B).3f (x, y)x量y是单调递减的。因此,：(D)f(S 0表示函数f(x,y)关于变量x是单调递增的，关于变 yx x2,y y2时，必有 f(x1,y1) f (x2, y?),故选 D.10、B【分析】 直接计算I1,I2是困难的，可应用不等式 tanx>x, x>0.【详解

23、】 因为当x>0时，有tanx>x,于是tan xtan xtan xIi 4 dx0 x4 dx0 tan xI1 I 2且I 2,可排除4(A),(C),(D),故应选(B).【评注】本题没有必要去证明1 ,因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B)定为正确选项11、解:12 x arcsin x2 -jdx12)arcsin xd , 1 x22Ji x2 arcsin x12121212(2)解:12、2 .(cosx sin x) dx(1 2sinxcosx)dx解.2xf1'x2y,(xy)yf2x2y, (xy)(xy)2xf11xf12&#

24、39;f2xyf2' ' f1f1所以 dz(xy '')f2' 2xfn"(2x2 y) ' f12'' xy(')2f22''dxx13、(1)【详解】f3(1f2(1-dyy2 ,2 ,dxdy x dxdyDi(2)【解析】由(x1)2(x y)dxdy所以 xf1' f3'f2' f3')0,所以 yf1' f2'f2' f3'(f1' f3')dx (f1'2 .x dxdyD2(y 1)2d 2(

25、sinf2')dyf2' f3'cos3xdx x dy32(sin)(rcoscos2dx8 x416)dy t33rsin )rdr1(cos 3sin2(sin0cos )8(cos 3sin(sincos)(sincos)2d8(cos 3sin(sincos)3d4 (sincos)3d (sincos )1(sin4cos3)4 714、(1)解：令n_ n3n2收敛半径:收敛区间:收敛区域:anlim n an n令n 2k3nnimnnn3n2nim 2k132k 4k收敛;故收敛区域为(2)解.见1n3n 243,3n2 n3-发散。1)n1)n 1,

26、125f(x)xln(1 x), dx0 xn 1 n 1 X(1) dx n nn1)n13n由于n1,人， ，收敛，所以当1 n1时上述级数都收敛所以f(x)xln(1 x), dx0 x1)n1 x,-1, 1 n15、 ( 1)解：方程中不显含自变量p( y)，dp、口p上，代入方程得, dydp yp dydpdy,y积分得C1即y变量分离并积分得yC1 ln(yC1)x C2 ,此即为原方程的通解。(2)解：由特征方程r2 2r0解得特征根1所以对应齐次方程的通解为Y(c1x c2)e x。又因为xex中1不是特征根,所以可设原方程的特解为xy (ax b)e ,代入原方程并整理得

27、，4ax 4a 4b x,y 1(x 1)ex。4所以原方程的通解为y(c1x c2)e x1x(x 1)e416、证明：因为f'(x)0,所以f(x)单减.1F(x) Fxa f(t)dtaf (x) =1(x a)x.1af(t)dt+”f(x)dt1(x a)2xaf(x) af(t)dt2917、【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法.【详解】构造函数L(x,y) x2 y2(x3 xy y3 1)00,得唯一驻点 x 1, y 1 ,即 Mi(1,1).一2x(3x2y)x-L_2令一2y(3yx)y33(x xy y 1考虑边界上的点，M2(0，1)，M3(1Q)

28、;距离函数f (x, y) <x2 y2在三点的取值分别为f(1,1)42 f (0,1)1, f (1,0) 1,所以最长距离为 < 2 ,最短距离为1.微积分II期末模拟试卷3答案12345y 2x (in 2 1) 23y= x 3x 1条件收敛73678910DACDA1、【答案】y 2x【解析】dy 2tln(2 t2) t2 -2 t 12出2 t2dX e(1t)2 ( 1)ti 1dt所以dy 2dx所以切线方程为y 2x.2、【答案】-l(ln2 1)【详解】设u y,v C则z uvy in u2ux y x y所以v 1 y vu (2)x_y xy 1x y

29、1 in x所以zx (1,2) (in 221)2xy3、万程y，中不显含未知函数 y ,因此作变重代换令 y p(x),则y p (x),1 x代入方程得p2xp2 一2、2-,变重分离法解此方程得p C1(1 x ),即y c(1 x ),代入初 1 x3_x 3x C2 ,代入初始条，-2始条件y x 0 3得C13 ,于是y 3(1 x ),两边积分得y件y x o 1得a 1,所以所求特解为 y x3 3x 1。4、【答案】条件收敛n1n1【解析】解.sin(n ) n(1)n sin-. n因为lim nsin n,又因为1)n-条件收敛,所以原级数条件收敛.5、分析:ydydy

30、dx2 .x dx2xdx - 36、(D)由于当,2)时 sinx0,可知sin xdx 0 ,也即I1。又由于x2sin xdx2 ex2sin xdx3 x2e sin xdx ，对2x2esin xdx做变量代换t xsin xdx2sin tdt2 t 2e sin tdt2sin xdx ,*e sin xdxx2xe esin xdx 由于当 x ( ,2)时x2xsinx 0,e ex2esin xdx0,也即I3Ii可知I3综上所述有I2 I1I3 ,故选(D).7、【答案】A【详解】用极坐标得f u22vv一 dudv dv20vfprdr1 rF vf u8、C【分析】本

31、题考查二元函数可微的充分条件 的关系.利用可微的判定条件及可微与连续，偏导【详解】本题也可用排除法，(A)是函数在 0,0连续的定义；(B)是函数在 0,0处偏导数存在的条件；(D)说明一阶偏导数fx(0,0), fy(0,0)存在，但不能推导出两个一阶偏导函数fx(x, y), fy(x,y)在点(0,0)处连续，所以(A) (B) (D)均不能保证f(x, y)在点0,0处可微.故应选(C).事实上，由 lim f(x,y) f(0,0) 0可得(x,y) 0,0, x2 y2limf(x,0)f(0,0)limf(x,0) f(0,0)g °,即 fx(0,0)0,同理有x 0

32、 xx 0,X2 02xfy(0,0) 0.从而lim0f( x, y) f(0,0) (fx(0,0) x fy(0,0) y)0.lim f( x, y) f(0,0) lim f( x, y) f(0,0)00.( x)2 ( y)2根据可微的判定条件可知函数f(x, y)在点0,0处可微，故应选(C)9、D【分析】本题依据函数f(x)的性质，判断数列unf(n).由于含有抽象函数，禾I用赋值法举反例更易得出结果.1【详斛】选(D).取 f (x) ln x, f (x) 0 , u1 ln1 0 In 2 u2，而 x1-、6八 ，1一f (n) ln n发散，则可排除(A);取 f

33、(x) , f (x) 0 , u1 1 四，而 xx4一 .122f (n)=收敛，则可排除(B)；取 f(x) x , f (x) 2 0,u1 1 4 止，而 f(n) nn发散，则可排除(C);故选(D).事实上，若u1 u2,则也一u1 f(2) f(1) f ( 1) 0. 2 12 1对任意x 1, ，因为f (x) 0,所以f(x) f ( 1) c 0,对任意21,f(x) f( 1) f ( 2) x 1 (x ).故选(D).10、 A【详解】对应齐次方程y y 0的特征方程为 2 1 0,特征根为i ,-2,0,2对y y x 1 e (x 1)而言，因0不是特征根，从

34、而其特解形式可设为y1ax2 bx c对y y sinx 1mgix),因i为特征根，从而其特解形式可设为y2 x( Asin x B cosx)从而y y x2 1 sin x的特解形式可设为2y ax bx c x(Asin x B cosx)11、X 2x 2斛：f(x)的je义域(，)，由于 f(x) x 1 e dt 1 te dt, 2 t2f (x) 2x 1 e dt,所以驻点为 x 0, 1.x(,1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)f (x)-0+0-0+f(x)极小极大极小pn列表讨论如下:因此，f(x)的单调增加区间为(-1,0),单调递减区间为及(1,从而C2339,-1)及(0,1)f(1)0,极大值为f(0)1t2te dt0e 1).2u2 x12、ux解：y将以上各式代入原等式2 u-2 x2abb2