新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案

1、第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1.选择题：(1)对弧长的曲线积分的计算公式Lf(x,y)ds f (t), (t)J 2(t)求(C)2(t)dt中要(x y)dsL1xdx012II )(B)(C)(2)设光滑曲线L的弧长为，则L6dS(B)(A)( B) 6(C)2.计算下列对弧长的曲线积分:12(1) (X y)ds，其中 L 为LI)以0(0,0), A(1,0), B(1,1)为顶点的三角形的边界;II )上半圆周x2 y2 R2 ；(x y)dsOA10(1y)dy(x y)ds (x y)dsABBO2V2xdx0722 42(xLR2sin ty)ds 0

2、 (Rcost2cost0 2RRs in t)a(x)2 (y)2dt yds,L解：其中L为y22x上点(2,2)与点(1,J2)之间的一段弧;ydsL13(1应 yjl(X)2 dyy2)3/2爲 1(卮 727)3(x2 y2)dx，其中L为从点A(0,0)经上半圆周(x 1)2y21*(3)(x2y2)ds，其中 为螺旋线 x a cost, y a sint,z bt ;第二节对坐标的曲线积分解:*(4)解:ds(0 t1.填空题(1)对坐标的曲线积分的计算公式(x22 1/2y2)ds0 a2 (a2 sin2t a2 cos21 b2) dta2dt 2 a%/a207x&qu

3、ot; ds，其中 L 为 x2LL的极坐标方程为r2sin ,b2y22y ；2 ，则ijr (r )2 d。p sL22rd2 rjr2 (r)2d24si nd8rU4sin24cos2 dLP(x,y)dx Q(x,y)dy= P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt中，下限对应于L的对应于L的终占*八、，(2)第二类曲线积分JP(X, y)cos dx线L在点(X, y)处的LP (x,y)dxQ(x, y)cos切向量2.选择题：(1)对坐标的曲线积分与曲线的方向(A)无关，(B)有关；Q(x, y)dy化为第一类曲线积分是ds，其中，为有向光滑曲(B) 若P

4、(x,y)，Q(x, y)在有向光滑曲线L上连续，则(A)L P(x, y)dx Q(x, y)dylP(x,y)dx Q(x, y)dy ,(B) L P(x,y)dx Q(x,y)dyLP(x,y)dx Q(x, y)dy.3.计算下列对坐标的曲线积分：(1)L(y0)到点B(1,1)的一段弧;L 的方程为1 (x 1)2x: 0*(4)y2dx xydy zxdz,其中 为从点 O(0,0,0)到点 C(1,1)，沿着I )直线段；II )有向折线(1,0,0)、(1,1,0)、(1,1,1)OABC ,这里的O、A、B、C依次为点(0,0,0)、x2y2)dx；x2 1 (x1)212

5、xdx 10解：I)的参数方程为1，则xdyLydx，其中L为y2x上从点B(1,1)到点A( 1,1)的一段弧;1原式=0(t2 t2 t2)dt解:xdyL1ydx xg2xdxx2dx2dx1II)OA:x2ydx y3xdy，其中 L 为 y21所围成区域的整个边界(按逆时针方向绕行)解：L1: x y2, y :11,y ：11,则BC:1;AB:23? x ydx y xdy L1y5g2y y5)dyx2 ydx y3xdyx2 ydx y3xdyL1L2131641y3dy1 2y6dy7原式=OA1.ABy2dx xydyBCzxdzt 1;1tdt01tdt 10第五节 对

6、坐标的曲面积分 (x+1)dydz ydzdx dxdy，其中 为y z 1在第一卦限的1.(1)选择题对坐标的曲面积分与曲面的方向(A)无关(B)有关已知 R(x, y, z)dxdy存在，则(B)R(x,y,z)dxdy+ R(x, y, z)dxdy(A)2.(1)(A) 0(B) 2 R(x,y,z)dxdy计算下列对坐标的曲面积分：y2)zdxdy,其中 为曲面z 1 x2 y2在第一卦限部分的(x2解：由Dxy ( x, y)|0知，在xoy面的投影区域为:2x ,0 x 1(r, )|0 r 1,0原式=(x2Dxyy2)(1y2)dxdyo2d: r2(1 r2)rdr1原式=

7、01 ydy。(2y z)dz11 x11dx (1 x z)dzdx0 0、 / 0 0xdy*3 .把xdydzydzdx (xz) dxdy化为对面积的曲面积分,其中平面2x2y z2第一卦限部分的上侧.解：因取上侧，故法向量rn与z轴正向夹角为锐角，方向余弦为221 cos-,cos一，cos,从而333原式=(2 1 (G - y111-x -z)dS -(3x 2yz)dS在三坐标面上的投影为为部分且取法线的方向与 解：由已知得，平面与 等腰直角三角形，故z轴的夹角为锐角. x,y轴的夹角也为锐角,4 O3第六节Gauss公式*通量与散度1.利用高斯公式计算下列曲面积分：32(1) O (x yz)dydz 2x ydzdx zdxdy，其中 为平面0,y0,z0,x1, y 1,z1围成的立方体的表面外侧;*(3)的上侧;解：由Gauss公式，得原式=(3x2 2x2 1)dxdydz dz10dy'(x20 1)dxxdydz解：设1为zGauss公式，得 O (x y)dxdy x(y z)dydz，其中由x29,z0, z 1 所ydzdx zdxdy，其中 为上半球面z J a2C/2220(x +ya)的下侧， 与1围成的闭区域为x2，由围空间闭区域的整个边界曲面的