数值分析课后题答案

1、第二章2.当 X 1, 1,2 时，f(x)解:X01,X11,X20,f (X1)f(Xo)2,3,f(X2)12(X)(XX1)(XX2)(X0X1)(X0X2)(XX0)(XX2)(X1X0)(X,X2)(XX0)(XX1)lo(X)li(x)(X2 Xo)(X2 X1)则二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)ykik(x)k 06设(1)证明(1)数值分析0, 3,4,求f(X)的二次插值多项式。4；1-(X 1)(x 2)23(x3l0(x) 4l2(x)1 4 -(X 1)(x 2) -(X2 35 2 -X637-X 一231)(x1)(x1)(x2)1)1)Xj, J0,1,L

2、n为互异节点，求证:Xjkl j (X) Xkj 0(k0,1 L , n);(Xjx)klj(x) 00(k 0,1,L ,n);令 f(x) xk若插值节点为xJ, J 0,1,L,n，n k则函数f (X)的n次插值多项式为 J(x)xklj(x)。j 0插值余项为Rn(x)f(x)Ln(x)(n 1)!n 1(X)又Q k n,f(n1)()Rn(x)0nxklj(x)j 0xk (k 0,1,L ,n);n(Xj x)klj(x)j 0n n(C?xj( x)ki)lj(x)j 0 i 0 nnik iiCk( X) (Xjlj(x)i 0又Q0 in 由上题结论可知nxfl j (

3、x)j 0原式i(X X)k0i ,、k i iCk( x) x得证。7 设 f（X）2C2 a,b 且 f (a) f (b)0,求证:max f (x)a x b-(b a) max f (x).8a x b解：令X0a, Xib,以此为插值节点，则线性插值多项式为xx,f(x 10)x0 x1f(a)Ta bf(b)-ax a又 Q f (a) f(b) 0 Li(x)01插值余项为 R(x) f (x) l_1(x) - f (x)(x x0)(x x,)又Q (x X0)(x Xi)2 (x xo)(Xi2x)4(x1Xo)24(ba)2maxa x bf(x)a)2 maxi f(

4、x)&在4 X4上给出f（x） ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10 6，问使用函数表的步长 h应取多少?解：若插值节点为 x 1,xi和xi 1，则分段二次插值多项式的插值余项为i 1,1Rdx)3! f ( )(x Xi 1)(x X)(x Xi 1)3!(X Xi 1)(X6R2（X）x)(x Xi 1)max f (x)设步长为h,即 xi 1 xih,x 1 Xi hR2（X）1e4 2h36 3/3若截断误差不超过10 6，&(x)| 10 6Vs 4 36e h 1027h 0.0065.9.若 yn 2n,求 4yn及4yn.

5、，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。yn 2n44yn (E 1) yn44(j 04(j 04(j 01)j1)j1)j(21)4ynE4 jyny4 n24 jynyn2n14yn (E21E 2)4yn1(E 2)4(E 1)4ynE24ynyn2n16. f(x)X7X43x1,求 F 20,21,L ,27 及 F 20,21,L ,28 。解：Q f(x)X7X4 3x 1若 x 2i,i0,1,L,8则 f Xo,Xi,L,Xnf(n)()n!f Xo,Xi,L,X7(7)()7!7! 1 7!f X0,X1,L ,X8f(8)()8!19 . 求一个次数不高于

6、4次的多项式 P ( X)， 使它满足P(0) P (0)0,P(1) P (1) 0,P(2)解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式X 0,X11y。0, y1 1m。 0,m,1H3(x)yj j(x)mj j(x)j 0j 0具有3次代数精度。i(X)(30(X)i(X)X(X 1)2(X 1)x22 2H3(x)(3 2x)x (X 1)xX32X22设 P(x) H3(x) A(x X0)(XXi)2o(x)(121)( j)2Xo Xi Xo Xi(1 2x)( X 1)2(1 21)( j2 Xi Xo Xi Xo2x)x2其中，A为待定常数QP(2)1P(x)X3

7、2X2 Ax2(x 1)2从而P(X)lx2(x 3)2解法二：采用牛顿插值，作均差表:一阶均差二阶均差00111210-1/2又由得 所以第四章1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度：hh f(x)dx2h2hf(x)dxiif(x)dxh0 f(x)dxAif( h) A0f(O) Af(h)；Aif(f( 1)hf(O)h) Aof(O) Af(h)；2f(xi) 3f(X2)/3;f(h)/2 ah2 f (0) f (h);解：m的多项求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过式均能准确地成立，但

8、对于m+i次多项式就不准确成立，进行验证性求解。h(i )若(i) f (x)dx Aif( h) Ajf (0) Af(h)hf(x)则 2h Ai A Aif(x)f(x)则Ih3h2Ai h2Ai从而解得令 f (X)AoAiAix34h-h3ih3f (x)dx：x3dx 0Aif( h) Aof(O) Aif(h)f(x)dxif(h)Ajf (0) Af(h)成立。令 f (x)x4hhf(x)dxhx4dx2h55Aif (h)Af (0)Aif(h)Ih5故此时,hhf(x)dxAif(h) A0f(0) A,f(h)A1h Ahh故 h f (x)dx A if ( h) A

9、0f(0) Af(h)(2 )若2hf (x)dx2hA1f( h) AJ(0) A1f(h)令 f (x)1，则 4hA1A0A1令 f (x)x，则0A1h Ah令f(x)2 x16 32?则一h3h2A1 h2A134h3从而解得Ai8h38h3f(x)x32h2hf(x)dx2h x3dx 02hAif( h) Aof (0) Af(h) 02h2hf(x)dxAif(h) Aof(O)A1f(h)成立。f (x) x4，则2h2h f(x)dx2h .x4dx2hAif(h) Aof(O)Af(h)1fh5故此时,2h2hf(x)dxAif( h) Aof(O)Af(h)因此,2h2

10、h f (x)dx A1f( h) A0f (0) Af(h)具有3次代数精度。(3 )若11f(x)dx f( 1) 2f(X1)3f(X2)/3f(x)11，则 1 f (x)dx2f( 1) 2f(x,)3f (X2)/3f(x)2x1 3x2f(x)x2，则 212 22x1 3x2从而解得为 0.2899亠或X?0.5266XiX20.68990.1266令 f(x)3x，则11 f (x)dx'x3dx 01f( 1) 2f(xi) 3f(X2)/ 3 03f (x2)/ 3不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。h(4 )若0 f(x)dxhf(O) f(h)/2ah2

11、 f (0) f (h)令 f (x)1，则h0 f (x)dxh,hf(0)f(h)/2 ah2 f (0) f (h) h令 f (x)h0 f(x)dxhxdx0Ih22h f (0)f(h)/22ah f (0)f (h)1h2令 f (x)，则h0 f(x)dxhx2dx -h303h f (0) f (h)/ 2 ah2 f (0)f (h)1 3 2-h 2ah2故有1h31 32-h 2ah2丄12f(x)x3，则h0 f(x)dx3dx0h f (0)丄h441 2f(h)/2 -h2f(0)12f (h)2h44h41h44令 f(x)，则h 4 .1.5x dx - h0

12、51 2 hf(0) f(h)/2 12hf(0)h0 f(x)dxf (h)1h5»51h5故此时，h0 f (x)dx h f (0)f(h)/21 2h2f (0) f 12h12因此，0f(x)dx hf(0) f(h)/2 -h2f(0) f(h)(h),具有3次代数精度。7。若用复化梯形公式计算积分1I eXdx，问区间0,1应多少等分才能使截断误差不超过010 6 ？解:采用复化梯形公式时，余项为R(f)b a 2h2f12()，(a,b)eXdx0故 f(x)ex, f (x) ex,a0,b1-h2 f ()12旦h212110 6，则当对区间0,1进行等分时，h丄

13、,若 |Rn fnRn(f)1因此，将区间476等分时可以满足误差要求第五章2.用改进的欧拉方法解初值问题取步长h=计算，并与准确解相比较。近似解准确解近似解准确解3、解：改进的欧拉法为1yn1jmXnyn) f(Xn1'yn hf(Xn'yn)将 f(X, y)X2y代入上式，得同理，梯形法公式为h -yn2h 1 hxn11 XiXi2yn 12Jh2 hyn 丸Xn(1 Xn) Xn1(1 X. J0,0-1 代入上二式，计算结果见表9 5表9 5x n改进欧拉yn|y(Xn) Yn l梯形法yn|y(xn) yn |0. 10. 0055000. 00523809540

14、. 20 . 00.337418036 10 30 . 00.755132781 100. 30 . 030 . 030. 40 . 00.658253078 100 . 00.136648778 100. 50 . 70 . 80.962608182 10 30.185459653 10 30.125071672 10 20.223738443 10 30.152291668 10 20.253048087 10 3可见梯形方法比改进的欧拉法精确。4、用梯形方法解初值问题证明其近似解为 并证明当时，它原初值问题的准确解。证明：梯形公式为yn 1hyn hf(xn，yn)f 1' 1)

15、代 f (x, y)y入上式，得解得yn 12(2hh)yn因为y。，故ynyn 1 yn h2 h 2(齐)yn 1h)n(2 hyn yn l2 h n 1(订)y0以h为步长经n步运算可求得 y(x) 的近似值yn ,故nh, nxh'代入上式有yn (| h2 h - h叫yn阿订)h2h2h 刽 2h x2h )2h 2Th2 h)10.证明解的下列差分公式是二阶的，并求出截断误差的首项。,代入得，截断误差首项为。12.将下列方程化为一阶方程组:1) (1)，其中。2) (2)，其中。第六早1、用二分法求方程的正根，要求误差小于.解 设，故1,2为的有根区间.又，故当时，单增

16、，当时单增.而，由单调性知的惟一正根.根据 二分法的误差估计式知要求误差小于，只需，解得，故至少应二分6次.具体计算结果见表7-7.表7-7012-12+2+3-4-5-即.3、为求在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1) ，迭代公式；(2) ，迭代公式；(3) ，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解取的邻域，来考察.(1) 当时”故迭代公式在上整体收敛.(2) 当时故在,上整体收敛.故发散.由于(2)的L叫小，故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字，只需取计算结果见表7-8.表7-8123456由于,故可取7、用下列方法求在附近的根.根的准确值，要求计算结果准确到四位有效数字(1)用牛顿法；用弦截法，取；(3)用抛物线法，取.解，对(1)取,用牛顿迭代法 计算得，故.(2)取,利用弦截法 得”故取.(3)