旋转模型专题

1、旋转模型专题、等线段共点、按图形分类1、等腰三角形， 2 、等边三角形， 3 、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型 2 、角含半角模型3 、对角互补模型4、与勾股定理结合5 、费马点问题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形常见结论：1) AN BM2) CD CE3) CF 平分 AFB(4) CDE是等边三角形.(5)/ AFM=60且保持不变2、如图，在凸四边形 ABCD 中， BCD 30 , DAB 60 , AD AB .求证： AC2 CD2 BC23、已知 ABC ，以 AC 为边在 ABC 外作等腰

2、ACD ，其中 AC AD 。如图，若 DAC 2 ABC , AC BC ,四边形ABCD是平行四边形，则ABC如图，若 ABC 30， ACD是等边三角形，AB 3，BC 4，求BD的长;如图，若 ACD为锐角，作AH BC于H，当BD2 4AH2 BC2时，DAC 2 ABC 是否成立？若不成立， 请说明你的理由； 若成立， 证明你的结论。二、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC中， BAC 90 , AB AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 DAE 45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使

3、问题 得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题: 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证 明; 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明.5、在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC CD上，且/ EAFK CEF=45，(1)将 ADF绕着点A顺时针旋转90,得到 ABG如图1, 求证： AEG AEF(2)若直线EF与AB AD的延长线分别交于点 M,N,如图2, 求证：EF2 ME2 NF2(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，B

4、E DF之间的数量关系。6在等边 ABC的两边AB AC所在直线上分别有两点 M N, D为ABC外一点,且 MDN 60 , BDC 120 , BD CD ,探究:当点M N分别爱直线AB,AC上移动时,BM NC MN之间的数量关系及 AMN的周长与等边 ABC的周长L的关系.如图,当点M N在边AB AC上 ,且DM=DNe ,BM NC MN之间的数量关系式如图,当点 M N在边AB AC上 ,且DM DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;如图,当点M N分别在边AB, CA的延长线上时,若AN=x则C=（用x,L表示）图（1）图（2）图（3）三、对角互补类

5、7、已知： MAN，AC平分在图1中，若MANDCB90，证明：AB AD42AC .在图2中，若MAN关系，并给出证明；120，DCB 60，探究 AB、AD、AC三者之间的数量在图3中：若MAN180 )， DCB 180，J则 AB ADAC（用含 的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）8、如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB 于 F， QM 交 AD 于 E .猜想：ME与MF的数量关系 如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且M B，其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明.如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形

6、”，且AB:BC 1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由.如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且MB，AB:BC m，其它条件不变，求出ME:MF的值（直接写出答案）四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角 ABC中， ACB 90。，AC BC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQ MP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化.10、等腰直角三角形 ABC， ABC 90 , AB 2 ,0为AC中点， EOF 45，求 BEF的周长.11、已知 Rt ABC中, AC=BC/ 0=90, D为 AB边的中点，/ EDF=90,/ EDF绕D点

7、旋转，它的两边分别交 AC CB（或延长线）于E、F.当/ EDF绕D点旋转到当/ EDF绕D点旋转到DEI AC于 E时（如图1）,易证丄S DEF S CEF 2 S ABC论是否成立？若成立，请给予图1DE和的数量关系？请写出你的猜想,五、等线段共点12、如图所示，P是等边ABC内部一点，PC 3，PA 4， PB 5，求ABC的 边长.S ABPS ABCS BPCS APC3、P 为等边 ABC 内一点， APB 113 , APC 1230，求证：以 AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数14、如图，P为正方形ABCD内一点，P心1,2, PG=

8、3,将PAD绕着D点 按逆时针旋转90到DCM的位置(1)求APD的度数。(2) 求正方形的边长六、费马点问题15、阅读下列材料 对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点 P，若PA PB PC有最小值,则取到最小值时，点 P 为该三角形的费马点。若三角形内有一个内角大于或等于 120 ，这个内角的顶点就是费马点 若三角形内角均小于120，则满足条件 APB BPC APC 120时，点P既为费马点 解决问题： 如图，ABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边 ABD、证明：ACE，连接CD、BE交于点P ，点 P 为 ABC 的 费 马 点 。 （ 即 证 明 APB

9、 BPC APC 120 ） 且PA PBPC CD如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC若 ABC 30，AB 3，BC 4，直接写出PA PB PC的最小值16、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意 一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN .求证： AMB也ENB当M点在何处时，AM CM的值最小;当M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由;当AM BM CM的最小值为73 1时，求正方形的边长.17、阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1, ABC中,/ AC&30O，BC=6

10、, AC=5,在 ABC内部有一点P,连接PA PB PC求PA+P&PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2，将 APC绕点C顺时针旋转600,得到 EDC连接PD BE贝U BE的长即为所求.(1)请你写出图2中，PZ+PBfPC的最小值为(2)参考小华的思考问题的方法，解决下列问题:如图3,菱形ABCD中,/ AB(=60o，在菱形A

11、BCD内部有一点P,请 在图3中画出并指明长度等于PZ+PBfPC最小值的线段(保留画图痕迹, 画出一条即可)；若中菱形 ABCD的边长为4，请直接写出当PAhPBfPC值最小时PB的长.七、最值问题18、已知：PA渥，PB 4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.如图，当 APB 45时，求AB及PD的长;当APB变化，且其它条件不变时，求 PD的最大值及相应 APB的大小.19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D是BC的中点.作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG .试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论.

12、将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，小于或等于360。），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？ 如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.若BC DE 2，在的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.八、综合应用20、已知：在 Rt ABC 中，AB BC，在 Rt ADE 中，AD DE，连结 EC，取 EC 的中点M，连结DM和BM .若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明; 如果将图中的 ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立,