极限计算方法总结(简洁版)

1、极限计算方法总结（简洁版）1.一、极限定义、运算法则和一些结果1.定义：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不 说明：明，例如:叙述）。（1） 一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证0，当|q| 1时不存在，当| q | 1时lim 0 (a,b为常数且 a 0) ； lim(3x 1) 5 ； lim qnn anx 2n等等(1)(2) lim f (x)g(x) A B（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2.极限运算法则定理1已知lim f （x），limg（x）都存在，极限

2、值分别为A，B，则下面极限都存在，且有lifA,（此时需B 0成立）B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3.两个重要极限(1) lim 沁x 0 x1 lim (1x)x e .lim (1 1)xex 0，Xx说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介：靳一东，男,（1964），副教授。11，lim(1 2x) 2xX 0 /十sin3x例如：limx 0 3x4.等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是lim(1xx号）3 e;等等。0）。定理3当x 0时，下列函数都是无穷小（即极限

3、是0），且相互等价，即有:x si n X tanx arcs in x arctanx ln(1x)ex 1 。说明：当上面每个函数中的自变量x换成g（x）时（g（x）0），仍有上面的等价3x 片关系成立，例如：当x 0时，e 13x ；ln(1 x2)定理4如果函数f (x), g(x), fi(x),gi(x)都是xXo时的无穷小，且f（x）f1（x），g（x）fi(x)1八/f (x)g1(x), 则当lim 一 存在时，lim = 也x x°g1(x)x x g(x)fi(x)存在且等于f(x) lim ,即x x0g1(x)lim 空 lim 迪。x x0 g(x) x

4、x0 g1(x)5.洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数 f (x)和 g(x)满足：(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;(2)f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；lim 丄凶 存在(或是无穷大)； g (x)limdlimd。g(x) g (x)则极限lim ¥4也一定存在，且等于lim丄*，即g(x)g (x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比 达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“0 ”型或“一”型；条件0(2) 般都满足，而条件(3)则

5、在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但 每次使用之前都需要注意条件。X0是函数f (x)的定义去间内的一点,6.连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果则有！叫0心)f(x。)。7极限存在准则定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。定理8 (准则2)已知Xn ,yn ,Zn为三个数列，且满足:(1)Zn , (n 1,2,3,)(2)lim yn a, lim z.ann则极限lim xn 一定存在，且极限值也是a，即lim xnnn求极限方法举例用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限3x 3解：原式=lim(忆lim3。x 1 (x 1)( J

6、3x 12) x 1 (x 1)(J3x 12)4注：本题也可以用洛比达法则。例 2 lim Jn(Jn 2 Vn1) 7n(n 2) (n 1)分子分母同除以、币解：原式=nim亦Vnlimn例 3 limn(1)n 3n"I3-解：原式上下同除以3nlimn2(|)n2. 利用函数的连续性(定理求极限例 4 lim xx 212ex12 X解：因为x02是函数f(x)x ex的一个连续点,1所以原式= 22e24je3.利用两个重要极限求极限1 cosx lim 2 x 0 3x2si n2x解：原式=lim 严x 0 3x22si n2 仝212 (f)2注：本题也可以用洛比达

7、法则。2例 6 lim (1 3sin x)xx 0解：原式=lim (1 3sin x) 3sinxx 01 6sin xxlim(1x 03sin x) 3sinx6sin xx例 7 lim ()n n 1解：原式=lim (1n3 口空3 )3 n 1nVlim(1nn 1 3n产n14.利用定理2求极限2例 8 lim xx 0.1sin x解：原式=0 （定理2的结果）。5.利用等价无穷小代换（定理 4）求极限例 9 lim0x-x 0 arctan(x )解:2 2X0时，ln(1 3x)3x, arctan(x )x ,原式= XimX sin Xe e例 10 lim -X

8、0 Xsin x解：原式=00sin X . X sin xe (e 1)X sin Xsin X . e (x sin x), lim 1。x 0 X sinx注：下面的解法是错误的:,X八/ sin X(e1)(e原式= limx 01x sin xlim xsinx1。x 0 xsin X正如下面例题解法错误一样:tanx sinx lim 3 limX 0X,3X 0例11tan(X2 sin -) limxx 0sin x解:0 时,X2 sin丄x是无穷小，tan（x2sin1）与x2 sin等价，xx2 . 1X sin 所以，原式= limxx 0 Xxwi*0。（最后一步用到

9、定理2）6.说明：当所求极限中的函数比较复杂时, 洛比达法则还可以连续使用。利用洛比达法则求极限也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,例12 lim弋仝x 0 3x2（例 4）解：原式“x叫詈1-。（最后一步用到了重要极限）6x cos 例 13 lim 2x 1 x解：原式=01xSi n 2 21sin xxx例 14 lim 一x 01 cosx 解：原式=limx 02- lim3x2x 0 6xsin x 16。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 x叫sin xxcosx2 ' x sin x解:原式li叫例 18 lim x 0 x解：错误解法:正确

10、解法:sin x xcosx2 xxsin x3x2ln(1 x)原式Jimi1 c x丄xcosx (cosx xsin X)3x2原式 lim ln(1 X)Xx 0 xln(1 x)丄1lim 1xlimlim ln(1 x)x 01 02应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。x 0 2x x 0 2x(1 x)例 19 limx 3x cosx解：易见：该极限是“-”型，但用洛比达法则后得到:01 2 cosxlim，此极限x 3 si nx不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:“ 2sinx1 原式=lim X (分子、分母同时除以X 3 cosXX1X)=-3（利用定理1和定理2）7. 利用极限存在准则求极限例20已知X1,Xn 1v2xn , (n1,2,)，求 limnXn解:易证：数列Xn单调递增，且有界（0< Xn<2），由准则1极限limnxn存在，设 lim Xnn对已知的递推公式Xn 1Xn两边求极限,得:V2a，解得:（不合题意，舍去）。所以l