点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

1、1、点集拓扑学期末考试、单项选择题（每题1分）已知2、3、已知4、5、已知6、7、已知Xa,b,c,d,e,下列集族中，(）是X上的拓扑.X,a, a,b, a,c,eTX, ,a,b,c, a,b,d, a,b,c,eX,a, a, bTX, ,a,b,c,d,e答案：a,b,c，下列集族中,()是X上的拓扑.X,a, a,b, cTX,a, a, b, a,cX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：Xa,b,c,d,下列集族中，（(）是X上的拓扑.X,a, a, b, a,c,dTX, ,a,b,c, a,b,dX,a, b, a,c,dTX, ,a,b答案：a,b,c，下列集族中

2、,()是X上的拓扑.X,b,c,a,bTX,a, b, a,b,a,cX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：Xa,b,c,d,下列集族中，（(）是X上的拓扑.X,a,b, a,c,dTX, ,a,b,a,c,dX,a, b, a,c,dTX, ,a,c, a,c答案：a,b,c，下列集族中，()是X上的拓扑.X,a,b,b,cTX, ,a,b, b,cX, a, a, cTX,a,b,c答案：Xa,b,c,d，拓扌卜 TX,a,则b=()bb,c, d答案：8、已知Xa,b,Gd，拓扑 T X, ,a,则b,c,d=()©Xbb,c, d9、已知Xa,b，拓扑 T X, ,

3、a,则a=()©Xab10、已知Xa,b，拓扑 T X, ,a,则b=()©Xab11、已知Xa,b,c,d，拓扑 TX, ,a,则a=(©Xa,bb, c,d答案：12、已知Xa,b,c,d，拓扑 TX, ,a,则c=(©Xa,cb,c, d答案：)13、设X a,b,c,d,拓扑T X, ,a,b,c,d,则X的既开又闭的非空真子集个数答案：答案：答案：14、设 X a,b,c，拓扑TX,a, b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为答案：15、设 X a,b,c，拓扑TX,b, b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为答案：16、设 X a,b

4、，拓扑TX,b,则X的既开又闭的子集的个数为(答案：17、设 X a,b，拓扑TX, ,a, b,则X的既开又闭的子集的个数为(4 答案：18、设 X a,b,c，拓扑 TX, ,a, b, a,b, b,c , X的既开又闭的非空真子集个数4 答案：19、在实数空间中,3有理数集Q的内部QP是(R -QR 答案：20、在实数空间中,有理数集Q的边界(Q)是(R -QR答案：21、在实数空间中,整数集Z的内部ZH是（R-Z R 答案22、在实数空间中,整数集Z的边界（Z）是（R-Z R23、在实数空间中,区间0,1）的边界是（0,10,1(0,1)答案：24、在实数空间中,区间2,3）的边界是

5、（2,32,3(2,3)答案：25、在实数空间中,区间0,1）的内部是（0,10,1(0,1)答案：26、设X是一个拓扑空间,d(AB) d(A) d(B)A, B是X的子集，则下列关系中错误的是（ A_B A Bd(AB) d(A) d(B)答案：27、设 X是一个拓扑空间,A, B是X的子集，则下列关系中正确的是（d(AB) d(A) d(B)d(AB) d(A) d(B)答案：28、设X是一个拓扑空间,A, B是X的子集，则下列关系中正确的是（d(AB) A Bd(AB) d(A) d(B) d(d(A) A d(A)答案：29、已知X是一个离散拓扑空间,A是X的子集，则下列结论中正确的

6、是（ d(A) d(A) d(A) d(A)答案：30、已知X是一个平庸拓扑空间,若A ,则d（A）A是X的子集，则下列结论中不正确的是（若 A x0,则 d(A) X A若 A=x1,x2,则 d(A) X若A X ,则d（A） X答案：31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（若A ,则d（A）若 A xo,则 d(A) X若 A=xi,X2,则 d(A) XA 若 A x1,X2,则 d(A) A答案：32、设 Xa,b,c,d，令 B a,b,c, c, d,则由B产生的X上的拓扑是（） X,， c, d, c, d,a, b, c X, c, d, c, d

7、 X, c, a, b, cX, , d, b, c, b, d, b, c, d答案：33、设X是至少含有两个元素的集合,p X , T G X | p G 是 X 的拓扑，则()是T的基. B p,x| x X p B x| x X B p,x| x XB x| x X p答案：34、设X a,b,c,则下列X的拓扑中()以 S X,a为子基X , a, a, cX, aX , a, b, a, bX ,答案：35、离散空间的任一子集为（)开集闭集即开又闭非开非闭答案：36、平庸空间的任一非空真子集为（）开集37、实数空间开集38、实数空间©R39、在实数空间闭集即开又闭R中的任

8、一单点集是（闭集既开又闭1 1R 的子集 A =1,-,-,23 AU 0）非开非闭1 -,贝y A = 4R 中,下列集合是闭集的是（非开非闭答案:答案：整数集a,bA答案：）有理数集无理数集答案：40、在实数空间整数集Z无理数集R 中,下列集合是开集的是（） 有理数集整数集Z的补集Z答案：41、已知X 1,2,3上的拓扑T X, ,1,则点1的邻域个数是（答案：答案：）个答案： X T , T当T T时，ukjX T ,T 当T T时,答案：45、在实数下限拓扑空间R中，区间a,b）是（开集闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：46、设 X是一个拓扑空间，A, B X ,且满足d（A） B

9、 A,则B是（ ）开集闭集 既是开集又是闭集非开非闭答案：47、设 X1,2,3 , T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 1,2,则X的子空间A的拓扑 ,2, 1,2 T ,X,1,2, 1,2 T ,A,1,2 T ,X,1,2答案：48、设 X 1,2,3 , T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 1,3,则X的子空间A的拓扑 T ,1,3, 1,3 T ,A,1 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：42、已知X a,b,则X上的所有可能的拓扑有（ 1个 2个 3个 4个43、已知X =a, b, c,则X上的含有4个元素的拓扑有（3579 44、设（X,T

10、 ）为拓扑空间,则下列叙述正确的为为() T ,2, 1,2 T ,AA 2,3,则X的子空间A的拓扑 ,A,2,3 T ,X,2,3,2,3 T ,X,3答案：49、设 X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑, T ,3,2,3A 1,则X的子空间A的拓扑为50、设 X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑, T ,1 T ,A,1,2 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：51、设 X 1,2,3 ,T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A 2,则 X 的子空间 A 的拓扑 T ,X,2 T ,X,1,2答案：52、

11、设 X 1,2,3 , T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A 3,则 X 的子空间 A 的拓扑 T ,2, 1,2 T ,X,1,3 T ,X,3 T ,3答案：53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（） T ,Z T P(Z)T Z 答案：54、设 X Xi X2 卅X6是拓扑空间（）单射满的连续闭映射Xi,X2j,X6的积空间.P是X到Xi的投射，则连续的单射满的连续开映射答案：55、设 X Xi X2（） 单射满的连续闭映射56、设 X Xi X2IIIX6是拓扑空间Xi,X2,X6的积空间.P2是X到X2的投射，则P?是（）单射满的连续闭映射57、设

12、X Xi X2（）单射满的连续闭映射58、设 X Xi X2III（ ）单射满的连续闭映射59、设 X Xi X2III（）单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：|）,X6的积空间.F3是X到X3的投射，则连续的单射满的连续开映射答案：|,X6的积空间.P4是X到X4的投射，则X6是拓扑空间Xi, X2,X6是拓扑空间Xi,X2,连续的单射满的连续开映射答案：|）,X6的积空间.Ps是X到Xs的投射，则X6是拓扑空间Xi,X2,连续的单射满的连续开映射答案：|）,X6的积空间.Ps是X到X6的投射，则X6是拓扑空间Xi, X2,连续的单射满的连续开映射答案:F3是F4是F5是60、设

13、Xi和X2是两个拓扑空间，Xi X2是它们的积空间Xi，BX2，则有（ 、a A B A B A B A B (A B* A B”(A B)（A）（B）答案：6i、有理数集Q是实数空间R的一个（）不连通子集开集连通子集以上都不对答案：）连通子集 以上都不对62、整数集Z是实数空间R的一个（不连通子集 开集70、答案:63、无理数集是实数空间不连通子集开集R的一个（）连通子集 以上都不对答案:Z Y,64、设丫为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y不连通子集连通子集 闭集 开集答案：65、设Xi,X2是平庸空间，则积空间Xi X2是（离散空间不一定是平庸空间不连通空间 平庸空间 答案：66、

14、设X1, X2是离散空间，则积空间X1 X2是（离散空间不一定是离散空间平庸空间 答案：连通空间67、设Xi,X2是连通空间，则积空间Xi X2是（离散空间不一定是连通空间平庸空间 答案：连通空间68、实数空间R中的连通子集E为（）区间 以上都不对开区间 闭区间 答案：69、实数空间R中的不少于两点的连通子集开区间闭区间区间以上都不对答案：实数空间R中的连通子集E为（开区间 闭区间区间区间或一点答案：下列叙述中正确的个数为（I）单位圆周S1是连通的;(n)R 0是连通的(m) R2 (0,0)是连通的(W) R2和R同胚1 2答案：1、设X a,b,则X的平庸拓扑为答案：T X, 2、设X a

15、,b,则X的离散拓扑为答案：T X, ,a,b3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 在实数空间R中，有理数集Q的导集是4、 答案：拓扑不变性质.答案：R5、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有答案:U (Ax)6、设A是有限补空间中的一个无限子集，则d(A) =答案：X7、设A是有限补空间中的一个无限子集，贝U A =答案：X设A是可数补空间中的一个不可数子集，则d(A) =答案:9、设A是可数补空间中的一个不可数子集，则答案：X10、设 X 1,2,3,X 的拓扑 T X, ,2,2,3,则X的子集A1,2答案：211、设 X 1,2,3 , X 的拓扑 T X, ,1,2,3,则X的子集A

16、1,312、；答案：1设X 1,2,3 , X的拓扑TX, ,1,2,3,则X的子集A 1,2的内部为答案:13、1设X 1,2,3 , X的拓扑TX, ,2,2,3,则X的子集A 1,3的内部答案:14、设X a,b,c,则X的平庸拓扑为答案：T X, 15、设X a,b,c,则X的离散拓扑为-答案：TX,a, b, c, a,b, a,c, b,c16、设 X 1,2,3 , X 的拓扑 TX, ,2,3,2,3X的子集A 1,3的内部答案:17、设X 1,2,3 , X的拓扑TX, ,1,3, 1,3，则X的子集A 1,2 的内部答案:118、f :X 丫是拓扑空间X到丫的一个映射，若它

17、是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是答案：嵌入19、f :X 丫是拓扑空间X到丫的一个映射，如果它是一个满射，并且丫的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个答案：商映射20、设X,丫是两个拓扑空间，f : X Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f (U)是丫中的一个开集，则称映射f是一个答案：开映射21、设X, Y是两个拓扑空间，f ：X Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是丫中的一个闭集，贝U称映射f是答案：闭映射22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B,使得A B,A;答案：不连通空间23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得

18、A B,A个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则 X是一个25、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足丫 Z 丫，则Z也是X的答案：不连通空间个; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ;答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案：可商性质28、若任意n 1个拓扑空间X1,X2,II，Xn,都具有性质P,则积空间Xi X2 P，则性质P称为； 答案：有限可积性质29、设

19、X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集 A,B,使得A BXn也具有性质一个 ;答案：不连通空间.三.判断(每题4分，判断1分，理由3分) 1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 ()理由：设X是离散空间，丫是拓扑空间，f ：X 丫是连续映射，因为对任意A 丫，都有f (A) X ,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f 1(A)是 中的开集，所以f ：X Y 是连续的.2、设T1,T2是集合X的两个拓扑，贝U T1 T2不一定是集合X的拓扑() 答案：X理由：因为(1) Ti,T2是X的拓扑，故X,T1，X, T2，从而 X ,T 1 T2 ；(2)对任意的A,B Ti T

20、2,则有A,BTi且A,B T 2 ,由于Ti, T2是X的拓扑，故A B T1 且 A B T2，从而 A BT1T 2；(3)对任意的TT1 T2，则TT1,TT2，由于T1, T2是X的拓扑，从而 UtU Ti,u TUT2,故u tU T1 T 2 ;综上有T1 T2也是X的拓扑.3、从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射( 理由：设f :X 丫是任一满足条件的映射，由于丫是平庸空间，它中的开集只有Y,们在f下的原象分别是X,均为X中的开集，从而f ：X 丫连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A()答案:V理由：设P为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集,

21、所以p是X的开子集，且有PA p ，即p d A ,从而d(A)5、设A为平庸空间X ( X多于一点)的一个单点集，贝U d A()答案:理由：设A y,则对于任意x X,x y,x有唯一的一个邻域 X，且有y X (Ax),从而X (A x)，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有 X (Ay)，所以有d AXA6设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，贝U d A X ()答案：V(A x)理由：对于任意x X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X因此x是A的一个凝聚点，即x d(A)，所以有d A X .7、设X是一个不连通空间，则 X中存在两个非空的闭子集

22、A,B,使得A B()答案：V理由：设X是一个不连通空间，设 A, B是X的两个非空的隔离子集使得ACB ，并且这时有:B B X (B A) (B B) B从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了 A,B满足A B ,A B X .8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则 X是一个不连通空间() V 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B A，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A B X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A B .试说明d(A) d(B

23、).答案：对于任意x d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U (A x),由于A B，从而U (B x) U (A x) ，因此 x d(B)，故 d(A) d(B).2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X Y, g:Y Z都是连续映射，试说明f :X Z也是连续映射.答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y Z是一个连续映射，从而g 1(W)是丫的一个开集，由f : X Y是连续映射,故 f 1(g 1(W)是 X 的一开集，因此(gi：| f) 1(W) f 1(g 1(W)是X的开集，所以gi|f:X3、设X是一个拓扑空间，A答案：对于x A ,则x A，Z是连续映射.X.试说明：若A是

24、一个闭集，则A的补集A是一个开集. 由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U (A X)因此U A ，即U A,所以对任何x A, A是x的一个邻域，这说明A是一个开集.4、设X是一个拓扑空间，A X .试说明：若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.答案：设x A,则x A,由于A是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足A A ,因此x A,从而A A,即有A A，这说明A是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系:x yx,y (,1)或者 x,y 1,2)或者 x,y 2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 0,1,2,试写出丫的商拓扑T.答案：T ，丫,0,0,16、在实数空间R中

25、给定如下等价关系：x yx,y (,1或者 X, y (1,2或者 X, y (2,)设在这个等价关系下得到的商集 Y 1, 2, 3,试写出丫的商拓扑T .答案：T ,Y,3,2,37、在实数空间R中给定如下等价关系:x yX,y (,1)或者 X,y 1,2)或者 X,y 2,)设在这个等价关系下得到的商集 Y 1,1,2,试写出丫的商拓扑T.答案：T ,Y, 1,1,18、在实数空间R中给定如下等价关系:x yX,y (,1)或者 x,y 1,2)或者 x,y 2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 2,1,2,试写出丫的商拓扑T.答案：T ,Y, 2,2,19、在实数空间R中给定如下等价

26、关系：x yx,y (,1或者 X, y (1,2或者 X, y(2,)，试写出丫的商拓扑T .设在这个等价关系下得到的商集Y 0,2,3答案：T ,Y,3,2,310、在实数空间R中给定如下等价关系：x yX, y (,1或者 X, y (1,2或者 x, y(2,)，试写出丫的商拓扑T .设在这个等价关系下得到的商集Y 0,2,4答案：T ,Y,4,2,411、在实数空间R中给定如下等价关系：x yX, y (,1或者 X, y (1,2或者 x, y(2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 1,2,4,试写出丫的商拓扑T .答案：T ,Y,4,2,4六、证明题(每题8分) 1、设f ：X Y是从连通空间X到拓扑空间丫的一个连续映射.则f(X)是丫的一个连通子集.如果f(X)是丫的一个不连通子集，则存在丫的非空隔离子集A,B使得f(X)A B 于是f1(A), f 1(B)是X的非空子集，并且:(f 1(A)(f 1(A) f 1(Af 1(B)f 1(B) B)(A1(B) f(f 1(B)B)(f11(A) f 1(A)所以 f 1(A), f1(B)离子集f 1(A) f 1(B) f1(AB) f 1(f(X)这说明X不连通，矛盾.从而f (X)是丫的个连通子