电磁学压轴大题增分策略——突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点

1、第九章“冲刺双一流”深化内容电磁学压轴大题增分策略(三)突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点带电粒子在磁场中的运动形式很多，其中有一种是带电粒子在圆形磁场中的运动。当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。带电粒子在圆形磁场中的发散运动不同带电粒子在圆形磁场中从同一点沿不同方向出发，做发散运动，离开磁场后速度 方向都相同。例如：当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场， 如图所示。Ox例1 真空中有一半径为 r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里,为过边界上 O点的切线，如图所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，设电子

2、间相互作用忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征?解析如图所示，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何值，入射点 O出射点A、磁场圆心O和轨道圆心 Q, 定组成边长为r的菱形，因为 OO丄Ox所以OA丄Ox。而QA与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与 Ox轴正向相同。答案见解析例2如图所示，真空中有一个半径r = 0.5 m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B= 2X 10 7 T ,方向垂直于纸面向外，在x= 1 m和x = 2 m之间的区域内有一个方向沿 y轴正

3、向的匀强电场区域，电场强度E=x 103 N/C。在x = 3 m处有一垂直x轴方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷-=1X 109 C/kg ,my轴正方向射入磁场的粒子,R= r = 0.5 m，由且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿 恰能从磁场最右侧的 A点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求:沿y轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间;(2)速度方向与y轴正方向成e = 30°角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向;(3)(2)中的粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。解析(1)由题意可知，粒子在磁

4、场中做匀速圆周运动的轨道半径2mvBqv=m，可得粒子进入电场时的速度为v= qmR= 1x 109x 2X 10 -3x 0.5 m/s = 1X 10 6 m/s。 m在磁场中运动的时间为1 n m 711 = 4丁= 2Bq=错误！ s =x 10 s。 粒子的运动圆轨迹和磁场圆的交点O C以及两圆的圆心 O、Q组成菱形，CO和y轴平行，所以v和x轴平行向右，如图所示。(3)粒子在磁场中转过 120。角后从C点离开磁场，速度方向和x轴平行，做直线运动,再垂直电场线进入电场，如图所示:在电场中的加速度大小为:Eq392122a=x 10 X ix 10 m/s =x 10 m/s。m粒子穿

5、出电场时有: X6Vy= at2= ax=x 10 m/s , vVy、tan a =错误!=。vx在磁场中yi = = x 0.5 m =0.75 m。在电场中侧移为:1 26 m = 0.75 m。11V2= at22= xx 1012 Xy2 221 x 10飞出电场后粒子做匀速直线运动y3=A X tan a = 1 x 1.5 m = 1.5 m ,y= yi+ y2+ y3= 0.75 m + 0.75 m + 1.5 m = 3 m。则该发光点的坐标为(3 m,3 m)。a_ 7答案(1)1 X 10 m/s X 10s (2)与 x 轴平行向右(3)(3 m,3 m)带电粒子在

6、圆形磁场中的汇聚运动速度相同的不同带电粒子进入圆形匀强磁场后，汇聚于同一点。例如：当速度相同的粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图所 示。Ox例3 真空中有一半径为 r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里,Ox方向的不同电子，在磁场中运为过边界上O点的切线，如图所示，速率相同，方向都沿动的圆周轨迹半径也为r。进入圆形匀强磁场后，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置有何特征?解析由A点进入磁场的电子，其圆周轨道和圆形磁场的两交点以及两圆心组成边长为r的菱形，V0和AO垂直，所以 AO的对边也和V0垂直，即 AO的对边和 Ox方向垂直,所以AO的对边即为 OQ电子从O

7、点离开磁场，因此，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置都在 O点。答案见解析例4如图甲所示，平行金属板 A和B间的距离为d,现在A B板上加上如图乙所示的方波形电压，t = 0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为U0,反向值为一U0,现有质量为m带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从 AB的中点O以平行于金属板方向 OQ的速度。二遵凹射入，所有粒子在 AB间的飞行时间均为 T,不计重力影响。求:3dm(1) 粒子射出电场时位置离Q点的距离范围及对应的速度;(2) 若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感

8、应强度是多大?解析(1)当粒子由t = nT时刻进入电场，向下侧移最大, quo 2Z 2 quo 2T T quo T 2 7quoT2则：Sl = 2dm 3 + dm 3 3 2dm 3 = 18dm。当粒子由t = nT+F时刻进入电场，向上侧移最大,3则S2徑T2 =逝则 s 2dm3 = 18dm在距离C2中点下方7qum至上方qum的范围内有粒子射出。打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为uoq T uoqTg dm' 3 = 3dm°所以射出速度大小为V=寸 Vo? + v；=/3uoqT 2 UoqT 2 2UoqT+ =:。3dm3dm 3dm

9、 °设速度方向与V0的夹角为e ,1VyVo0 = 30°。(2)要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等,粒子宽度D= (si + S2)cos 304quoT2即 D= "9而 cos 30 ° =2护qipT9dm 。故磁场区域的最小半径为D JsquoT2r 二 _ I 。29dm而粒子在磁场中做圆周运动有2c V qvB=叶。 r解得B=警答案(1)见解析 (2) 退竺工 纽309dmqT提能增分集训1. 电子质量为 m电荷量为e,从坐标原点 O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速xOy平面度方向不同，速

10、度大小均为 V0,如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于的匀强磁场，磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN±,荧光屏与y轴平行，求:(1)荧光屏上光斑的长度;所加磁场范围的最小面积。解析：(1)如图所示，初速度沿 x轴正方向的电子，沿弧 OB运动到P点，为荧光屏上光斑的最高点，初速度沿 y轴正方向的电子，沿弧 OC运动到Q点，为荧光屏上光斑的最低点,2电子在磁场中，由 evomvR= eB，光斑长度pc= R= "eB。(2)所加磁场的最小面积是以0'为圆心、R为半径的斜线部分，其面积大小为322 12 n mv 2s= 4n R + R4n

11、 R = w+1 eB 。“宀 mvnmv0 2答案：丽(2)迈+1琵2. 如图所示，质量 m=x 1025 kg、电荷量q=x 10 15 C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于 30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为 vo=x 107m/s。现在某一区域内加一垂直于 xOy平面的匀强磁场,磁感应强度大小为 B= T,若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏 MN上，并且当把荧光屏 MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。求：(n =(1)粒子从y轴穿过的范围;(2)荧光屏上光斑的长度; 从最高点和最低点打到荧光屏

12、MN上的粒子运动的时间差; 画出所加磁场的最小范围 (用阴影表示)。解析：设粒子在磁场中运动的半径为R,由牛顿第二定律得2 vo qvoB= mR,解得R= 0.1当把荧光屏Mh向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子出射方向平行,且都沿一x方向,所加磁场为圆形，半径为R= 0.1 m。(1)如图所示，初速度沿y轴正方向的粒子直接过 y轴。速度方向与x轴正方向成30°角的粒子，转过的圆心角/OOB为150°,则/ OOA= 120°粒子从y轴穿过的范围为0 V3r即 0 0.17 m。(2)初速度沿y轴正方向的粒子，yc= R由(1)知/ OOA= 0 =

13、 30°yB= R+ Rcos 0则荧光屏上光斑的长度I = yB yc= 0.09 m。(3) 粒子运动的周期T= 2nR= 2nm=nx 10 -8 sVoqB从B点和C点射出的粒子在磁场中运动的时间差ti= At- 71246出磁场后，打到荧光屏上的时间差Rt尸 2V；从最高点和最低点打到荧光屏MNh的粒子运动的时间差t = t1 +12=x 10 9 s。(4)如图阴影部分所示。答案：(1)0 0.17 m (2)0.09 m (3) x 10 - 9 s(4) 见解析3. 设在某一平面内有 P、F2两点，由P点向平面内各个方向发射速率均为V0的电子。请设计一种匀强磁场分布，使得由P点发出的所有电子都能够汇集到P2点。电子电量为 e,解析：如图所示，过 P点做2个圆，和直线 PiP2相切于Pi点，圆的半径都是 F。圆内分