河南省洛阳市2016届高三数学第二次统一考试试题理

1、2015-2016学年高中三年级第二次统一考试数学(理)试卷一、选择题：1.设复数Z满足(z4)(1+i)=2(i为虚数单位)，则Izl=A.1B.5C.D.【答案】C【考点】复数运算，复数的模【解析】因式展开得z(l+i)=>(1+i)3 +i从而复数z,分母实数化得到z=234 +i因此故选c【点评】：分式形式的复数运算，注意分母实数化的步骤，分子分母要求同乘分母的共胡复数；求模运算注意正确选取实部和虚部；本题属于基本题型2.若命题p:VxW(0+=°),log2(x+-1-)1,命题q:3xoR,xo2-xo+l<0,则下列命X题为真命题的是A.pvqB.pAqC.

2、1p)丫qD.(p?q)【答案】A【考点】命题的逻辑运算，基本不等式，对数运算，二次函数【解析】命题p,由基本不等式可判定为真命题关于命题q,使用配方法可得(xo-)计3>0,故为假命题24综上可知，选项A为正解【点评】：命题的逻辑运算并不难，但首先要对命题做出基本判断；本题属于基本题型13.若f(x)=ae工e，为奇函数，则f(x-IKJ的解集为eA.B,t*,2)C.(2,+a)D.(0产)【答案】D【考点】函数奇偶性和单调性的综合运用【解析】根据奇函数特性得aex-x=ex-arx即a=l得到f(x)-ex,f'(x)=-<0因此这是单调递减函数，f(x-l)<

3、一1=f(1)e故x弓>1-即x>0【点评】：严格按照定义挖掘已知条件，注意观察函数特殊值；本题属于中档题134 .执行如图所示的程序框图，则输出i的值为A.4B.5C.6D.55【答案】B【考点】流程图，平方数列前n项和公式【解析】本程序作用是对平方数列求和Sn=1。22+.=n2n(01)(2:1)6容易得到S4=30,S4=55>50,故输出5【点评】：注意识记典型数列前n项和公式；本题属于基本题型5 .已知f(x)=s(x+90X於II满足)f(冷)2Tg(x)=2cMX在区间0上的最大值为2A.4'B.VIC.lD.-2【答案】Bit【考点】三角函数的频率、

4、相位及初相，诱导公式【解析】由f(0)确定三角函数的初相，sin=-M21T中=-(结束)f,(7),则22sin(ox+)=-sin(x+)+1-6263冗由诱导公式可知=n=3=22717T71/因此g(x)=2cos(2x+)且2k一=l6666故gmax(X)=2COS=G6【点评】：考查三角函数相关知识，属于基本题型在矩形ABCD中,6.AB=3,BC=MbMBiayj=*二,则*3,BE2EC,点f在边cd上，若ABAF3aebf的值为A.4B.3C.OD.-4【答案】D【考点】平面向量，建系知识一一22J3【解析】如图所示，=BE2既BE=BC=33ABAF3=AFco*=F以A

5、为原点建立平面直角坐标系,DF=1AD为x轴，AB为y轴,贝B(0,3),F(3,1),E(3,3),因此BF(3,2)=-32264【点评】：平面解析几何问题，可以使用三角函数，也可以使用建系方法，利用平面向量的坐标运算，统一处理；属于中档题型京0I一7.设D为不等式对Fy-0表示的平面区域，圆C:(x5)斗y?=1上的点与区<2x+y-翼0域D上的点之间的距离的取值范围是5小A.2一1,a/34+1)B.34+1C.V17,D.17-i,Ft】【答案】bd =J(x-5)2 +y2【考点】简单线性规划，点与圆位置关系【解析】首先求解平面区域的顶点，确定各顶点到圆心的距离最后求出最小距

6、离减半径和最大距离加半径，即为所求范围交占->*J、(0,0)(0,3)(1,1)距离d5341【点评】：锁定目标函数，完成线性规划；本题属于中档题型所求范围7171,8 .如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.57+24nB.57+15叮C.48+15冗D.48+24【答案】D【考点】三视图，简单空间组合体【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积Xn56/2=15圆锥底面圆，S=兀r2=g直四棱柱侧面积，xx34448总面积为48+24兀【点评】：简单空间组合体，注意表面积可用投影法求得，不易误算；本题属于基本题型FF9 .已知

7、双曲线C：2_乎2=的左右焦点分别是L2,过F的直线1与C的左右两支分x812别交于A,B两点，且曲1|二BF|,则AB|二A.XZB.3C.4D.【答案】：C【考点】：双曲线的概念【解析】：由双曲线定义可知：|AF2|AFi|=2a,|BFi|BF2=2a；两式相加得：AF2|-|AFi|+|BFj-|BF2|=4a又AFi|=|BFi|,A式可变为AF2；BF21=4a=4即件B=4【点评】：属于基本题，考查学生的转化能力.10.设等比数列!n）的公比为q，其前项之积为Tn,并且满足条件：al,aaa_1 >20152016>1,2W51<。.给出下列结论：（1）0<

8、;q匕（2）a2015a2017-1>0；a_2016J（3）T2016的值是Tn中最大的（4）使Tn>1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为A.（1）,（3）B.（2）,（3）C.（1）,（4）D.（2）,（4）【答案】：C【考点】：等比数列性质a2015_1【解析】：由<0可知：a20i5<1或&2016<1.a_20161<><<0=如果a2oi51,那么a2oi61,若a2oi50,则q-又因为a20i6aiq2015,所以&2016应>若 q 1 ,则 U2015确. a a a 2015 2017

9、 2016与ai异号，即H2016<0，这假设矛盾，所以q衿.>a><<1且20161,与退出的结论矛盾，所以0q1,故（1）正2<1,故（2）错误.由结论（1）可知A2015U2016<1，所以数列从2016项开始小于1,所以12015最大.故（3）错误.2=（a）由结论（1）可知数列从2016项开始小于1,而Tnaia2a3an,所以当Tn2015时,求得Tn>1对应的自然数为4030,故（4）正确【点评】：本题难度中等，解题的关键是熟练等比数列的性质.11,已知正四面体S-ABC的外接球O的半径为，'6，过AB中点E作球O的截面，则

10、截面面积的最小值为A. 4r B.6 兀 C.16471 D. 71【答案】：A【考点】：正四面体的特征，圆的面积公式以及空间想象能力【解析】：由正四面体的外接球的半径R与棱长a关系可知：R6a.=即匚6=6r肥厂44以正四面体的棱长a=4.因为过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的面积有最小值.此时截面圆的半径r=2,截面面积S=Jir2=4兀【点评】：本题属于基础题目，正四面体外接球的半径与棱长关系是解题的关键.12.若函数fxex付)=ax(b/极值"点,i,X2xixqxi=则关于x的方程f2(x)+(2+a)f(x)+a+b=0的不同实根个数为

11、A.0-B.3C.4D.5答案：B【考点】：导数、解一元二次方程、分析转化与数形结合能力【解析】：函数f(x用两个不相同的极值点，即f/(x)=eX限2+(2)x14有两个不相同的实数根XI,X2,也就是方程X2+(寸a)x+a+b=0有两个不相同的实数根，所22以V=(?(+>0,由于方程f(x)+(2)f(x)+a+b=0的判别式VLV,故此方程的两个解为f(x)=xi或f(x)=X2.由于函数y=f(x)的图像和直线y天1的交点个数即为方程f(x)=xi的解的个数，函数=f仅)=x=xy的图像和直线y2的交点个数即为方程f(x)2的解的个数.根据函数的单调性以及f(xi)=XI,我

12、们作出函数的大致图像.由图可知y=f(x)的图像和直线yXI的交点个数为2,y=f(。的图像和直线y=X2的交点个数为1.所以f(x)=xi或f(x)=X2共有三个不同的实数根，即关于x的方程f2(x)+(2+a)f(x)+a+b=0的不同实根个数为3【点评】：本题难度中等偏上，是导数单调性、极值点与解一元二次方程的综合题目，求解的关键是判断出函数的单调性，画出大致图像，并将方程解的个数问题转化为函数图像的交点个数问题.二、填空题(1丫1.l+x+的展开式中常数项为.X./【答案】141【考点】二项式定理.【解析】将原式看做6,由二项式定理可得展开式的通项为的 展 开 式 通 项 为Tm+=C

13、m*xE1乎二c”-xfm,则取常数项时rWm，由题可知,对应的r分别为r虫1,2,3,4,5,6,81,2,3,4,5,6,则m的可能取值为0,1,2,30,2,4,6.m=0,r=0时，常数项为1；m=1,干2时，常数项为30；m=2,r=4时，常90201309020141数项为；m=3,尸6时，常数项为；故原式常数项为+=【点评】：利用已知的二项式定理，将多项式合理组合，变形为二项式，进而再用公式逐步分析.2. 已知F为抛物线y2 4x的焦点,IPF1与x轴的交点，当最小时，点P（）X, y 是该抛物线上的动点，点 A是抛物线的准线的坐标为4x44=W所以X 。，则1 ' 6x

14、 ' x2 十+2 66 X>4-且取最小值时 X 1 ,此时点P的坐标为（1； ） .PA 2【答案】（,玄）【考点】抛物线焦半径公式，基本不等式.【解析】由题可知焦半体PH=x+l,则222PA1=（x方）+y2=（x+l）+4xV+6x1|1pf1）JNx.=1%x_L4x=1_生,因为点qx,在抛物线上,1|pa|J1书x文21节x产力6/x21即=2（当且仅当x1时取等号），则【点评】：会利用焦半径公式将几何意义转化为函数运算，分式型最值要善于变形，联想基本不等式.3.如图所示，若在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为.【答案

15、】【考点】定积分，几何概型.=x=y=【解析】由图可知正方形关于直线y对称，又yex与yInx图象也关于直线x对e1x21称，如下图，则Injqdx)=ee尸xL正方形面积为e,则概率为一？10eye;fix-eKi，JfixMnxo.1«f'JT【点评】：遇到较难的指数或对数函数问题，可以先联系反函数，被积函数为对数函数时不好求，可根据图象特征等价转化为指数函数.a_4.对于数列疝，若Vm,MN*(mMn)都有“丁"t为常数城立，则称数列n-m，且具有性质P(0,)()可知an具有性质P1).若数列an的通项公式为an=n2-则实数a的取值范围是【答案】卜6,&#

16、165;)【考点】全称命题，推理运算.【解析】由数列通项公式且数列具有性质P1012a)怛成立，则数列)nn0I2oji?_10n-a，为单调递增数列，则有(nH)-(#1)-a-n2-10na>0恒成in，n+1In，立，化简得a>_ni+b(2n_9),由数轴标根法作图观察可知n=3时最值成立，则带入可得a>36.【点评】：恒成立问题一般转化为求最值，构造新的数列形式后要利用递推关系建立不等式.三、解答题(本小题满分12分)1.在ABB中,角A,B,C所对的边分别为a,b,ccosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=°，C=(1)求角C的大小；(2)求

17、sinA-sinB的最大值.笠3【答案】(1)三(2)_34【考点】正弦定理，三角恒等变换【解析】(1尸cosBsinC+(a-sinB)cos(A+0cosBsinC(a-sinB)cosC=0，sin(B+C)-acosC=0sinA=acosC.q='=J.一=6sinAcosCsinCtanC=J3；C.3Zi1兀1(2)sinAsinB=sinAsin(A)=-sin(2A-)1-3264./八孑、-an/TTk、A(0,2A-6(),36661 7T13sin(2A-一)+=(g.2 6443,sinAsinBw(0,.4【点评】：正确使用正弦定理和三角恒等变换是解决问题的

18、关键，解题时要注意三角形内角和的应用.本题考查学生逻辑推理能力和灵活运用知识的能力.(本小题满分12分)2.如图1,在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，沿EF将矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小为90°(如图2)，点G是CD的中点.(1)若M为棱AD上一点，且正=4赢，求证：DE，平面MFC；(2)求二面角E-FG-B的余弦值【考点】：(1)线面垂直；(2)空间向量求二面角余弦值e【解析】：解法一(几何法)：一(1)证明：F在矩形ADFE中，AD=FE=4,AE=DF=2,由得:MD = 125又由勾股定理得：DE=275,MF所以:sinZADE

19、= AE DE所以:ZADE +ZDMF =ABCD为正方形，二面角所以：CF，面MFC ；f.DE 1CF故有：DE IMFVCF 门 MF = F解法二（坐标法）（略） （2）以F为坐标原点，分:J，COS /DMF = MD5MF,BP： DE ,MF2A壬F B为直二面角， 所以：CF 1 DE,所以，DE上而MFCE、F为中点FD,FC,FE 为 x,y,z 轴,如图所示构建空间直角坐标系，贝小E(0,0,4,F/0,0,)Gl<l,0,)BO,4,4)FE=(0,0,4),FG=(1J,0,FB(0,2,4)设面EFG的法向量为m=(x,y,z),而BFG的法向量为n=(x,

20、y,z),则有:111222fmTE=0'nWB=0jnYG=0,n¥G=04zi=0&y2+4z2=0即：，«<xi+yi=0x2i+y2=0故可取：m=（h1,0）,ri=（2,-2,-T-一mY2r2丽=3【点评】：（1）本小题考察巧妙，打破一部分同学认为证明题无需计算的思维误区，同互余角三角函数关系证明垂直；（2）常规向量法求二面角余弦值，同学们在备考中要注意：图形中二面角锐钝不明显的情况（本小题满分12分）3.已知某水库近5。年来年入流量X（单位：亿立方米）的频数分布如下表：年入流量40<X<8080<X<120-X&

21、gt;120年数10355将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.现计划在该水库建一座至多安装3台发电机组的水电站，已知每年发电机组最多可运行台数Y受当年年入流量X的限制，并有如下关系:年入流量40<X<8080<X<120X>120最多运行台数123（1）求随机变量Y的数学期望；（2）若某台发电机组正常运行，则该台发电机组年利润为500。万元；若某台发电机组未运行，则该台发电机组年亏损800万元.为使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电【答案】（1）1.9(2) 2 台【考点】离散随机变量的分布【解析】（）依题意，100.2

22、.pi =p(40 < X 80> 50机组多少台？-35P2=p(80»3120)=、=0.75P3=p(X之120)=0.1.50记水电站总利润为 Z （单位：万元）安装1台发电机的情形.由于水库年流入量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Z=5000,E(Z)=5000¥=5000.安装2台发电机的情形.-800= 4200,因此依题意，当40X<80时，一台发电机运行，此时Z5000=80时，两台发电机运行，此时P(Z=4200)=P(40<X<80广0.2；当X之Z=50002=10000,因此P（Z=10000）于（

23、X之80）力.8.由此Z的分布列如下:Z420010000P0.20.8E(Z)=4200x0.20000x0.8=8840.安装3台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Z=500。1600=3400,因此P(Z=3400)=P(40<XV80尸0.2；当8彷X壬20时，两台发电机运行，此时Z=500j2-800=9200,因此P(Z=9200P(80'X412070.7.当X>120时，三台发电机运行，此z=5000X3=15000,因此P包15000P(X>120>0.1.由此Z的分布列如下:z40<X<80

24、XW120X>120p0.20.70.1E(Z)=3400>0.2+9200也715000048620.综上，欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机2台.【点评】正确理解题意是基础，准确写出各分布列是关键.本题考查学生逻辑推理能力和离散随机变量的分布.(本小题满分12分)X2214.已知椭圆C:_+=l(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,右焦点为F,离心率e=_,a2b22点P是椭圆C上异于A,B两点的动点，APB的面积最大值为2g(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AP与直线X2交于点D,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并作出证明.【考点】(1)椭

25、圆基本量；(2)联消判韦，点线距离，线圆位置关系，分类讨论【解析】(1)由题意得,M =b2 +c2二2cl乙解得：c=1x2y2所以，椭圆方程为：二+工=1.43(2)以BD为直径的圆与直线PF相切.证明：设直线AP：y后x(+21k¥0),贝ij：D(2,4k),BD的中点为M为(2,2k)x2+y2一+J-1V联立3，消去)整理得：(3+4k2)x2+16k216k2-ITO_2xo = 16k 2 12,3+ 4k212kyo = k( x()+23 4kly"x+2)设P«o,yo),由韦达定理得：用牛1寸：xo=68fcr，故有:3+4k1又F |,0

26、),所以当k = ±_时,2(3P 1,±工 2，D 2力振时PF_L x 轴,2以BD为直径的圆(x"2 )+(y2-1)=1与直线PF相切.1 yo4k当k#±时，,f=2-,2 xo-114k所以直线PF：_4k(_v,即：4kX4k_,丫1-4k2X1l-4k2丫1-4k2°8k4kl_4k2_2k-l_4k：所以点E到直线PF的距离d=r=一=2k(D2-h1Vl-4k2而BD=4k,即知：d=-l|BD|,所以以BD为直径的圆与直线PF相切2【点评】：解法常规，难度适当(本小题满分12分)J1为函数f(X)的极值5.设函数f(x)=

27、aInx+X2-bx(a,b七R,aH0),x=点.2(1)若x=1为函数f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用a表示)；(2)若函数f(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围.【点评】：本题属于导数问题的中档题，主要考查导数和函数单调性、零点问题，涉及的主a)要思路是对参数范围的分类讨论，其中f(a)=a(lna-1一-的正负问题用到构造函数再求2导分析，难度不大.【解析】：由题意可得：定义域为x10,于一bx+a,;f(x)=/且XT为极值点，二f(i)=b+ae-b=1ax1 ，一一故f(x)=alnx+-X2-(i0)x且f(x)a=1)2 x(1)=X=1为函数f(x)的极大值点

28、a>1当x飞0,1)时，f(x)的单调递增；(l,a)时，f(x)的单调递减；xW(a,)时，f(x)的单调递增.(2)若a<0时，f(x)在xW(0,l)的单调递减；在xW(1/)时单调递增11t(X)恰有一个零点，f(X)min-f(1)=(1+3)-a22若0<a<1时，f(x)在xe(0,a)单调递增；在x己(a,l)单调递减；在x云(1产)单调递增.a,x=a为极大值点f(a)=a(lanL)v°x=1为极小值点2f(l)=-(a+L)<02又丫f(2a+2)=aIn(2a+2)>0,f(x)恰有一个零点若a>1时，f(x)在(0,

29、1)单调递增；在x(1,a)单调递减；在乒(a,+%)单调递增.,.x=1为极大值点f(1)=-(a+)<0=xa为极小值点f(a)=a(In-aI-3-)22X11设g(x)=lnx4一一则g(X)=，故g(X)max=g(2)=In202x2f(a)=a(lna_l_a)<02又丫f(2击2)=aIn(2a+2)>0,f(x)恰有一个零点综上所述：若函数f(x)恰有一个零点，则实数a«0,1)U(l2四、选做题(本小题满分10分)1.选修41：几何证明选讲如图所示，已知圆。外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点，过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点，连

30、接PA并延长，交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若MC=BC.(1)求证：APMAABP；(2)求证：四边形PMCD是平行四边形.【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定.【解析】(1)丁PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，PNNA MN2=PN2=NANB,A-=,NBPN又,.,NPNA=NBNP,/.PNAABNP, NAPN=NPBN,即NAPM=NPBA.MC=BC,AZMAC=ZBAC,AZMAP=ZPAB, APMAABP.(2)./ACD=NPBN,NACD=NPBN=NAPN,即NPCD=NCPM,APM/CD,VAAPMAABP,.nPMA=NBPA,PM是圆O的切线，AZPMA=ZMCP,NPMA=NBPA=NMCP,