求曲线方程的常用方法

1、求曲线方程时，应根据曲线的不同这种方法叫做定义法.率e 1，字，求点Q的纵坐标的取值范围.2'求曲线方程的常用方法 曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点.背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题.下面对其求法 进行探究.1定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程,例1如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点 M与点A重合，设折痕 m交线段CM于点N现. . . . 2 2 2 将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy

2、中，设圆C： (X + 1) + y= 4a (a>1) , A(1,0)，记点N的轨迹为曲线 E(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a= 2时该椭圆的标准方程;(2)设直线I过点C和椭圆E的上顶点B,点A关于直线I的对称点为点Q若椭圆E的离心解(1)依题意，直线 m为线段AM的垂直平分线,I NC + I NA = I NC + I NM = I CM = 2a>2, N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为 2a,焦距为2的椭圆.当a= 2时，长轴长为 2a= 4,焦距为2c= 2,2 2椭圆的标准方程为X4+ 3 =1-2 2X y设椭圆的标准方程为 a+ b= 1 ( a>b&

3、gt;0).占 b=- 1,4b消去X得y=乔T离心率 e 1，字， !e 2由(1)知：a b = 1.又 q 1,0),耳0 , b),直线I的方程为二1+ b= 1，即卩bxy + b= 0.设Qx, y) ,点Q与点A(1,0)关于直线I对称,<4,b= 1时取等号.b+b又当 b=y3时，y =(3；当 b=¥时，y=Q3.y<2.点Q的纵坐标的取值范围是h/3, 2 2.直接法若题设条件有明显的等量关系,或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法.例2已知直线l 1

4、： 2x3y +2= 0,l 2：3x 2y+ 3= 0.有一动圆M圆心和半径都在变动）与li, 12都相交，并且Ii, |2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M的轨迹方程.解 如图，设Mx, y)，圆半径为r, M到|1, |2的距离分别是d1, 则 d1 + 132= r2, d2+ 122= r2,- d2 d1= 25,3x 2y + 3 22x 3y + 2 2即一2 品2 = 25，化简得圆心M的轨迹方程是2 21) y = 65.点评若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解,即将这些关系直接转化成含有动点坐标 .待定系数法 若已知曲线（轨迹）的

5、形状，求曲线（轨迹）的方程时，可由待定系数法求解.例3已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6,且cos/ OFA= I，求椭圆的方程.解 椭圆的长轴长为6, cos/ OFA= 3, 所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点, 所以 |OF = c, |AF| = p|OA2+ I OF2 = pb2+ C2=a= 3, 3= |,所以 c= 2, b2 = 32 22= 5, x, y的方程即可.2 2 2 2故椭圆的方程为X+春=1或Xi+9=1.4.相关点法（或代入法）如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，

6、 借助 于点P的运动轨迹便可得到点 Q的运动轨迹.垂足为N,求线段QN勺中点P的轨迹方程.例4如图所示，从双曲线X2 y2= 1上一点Q引直线的坐标，然后代入双曲线方程即可.分析设P（X, y），因为P是QN的中点，为此需用解 设P点坐标为（X, y），双曲线上点 Q的坐标为（X0, yo）,点P是线段QN的中点, N点的坐标为(2x Xo,2y yo).又点N在直线X + y= 2上，.寫X xo+ 2y yo= 2, 即 Xo + yo = 2x + 2y 2.又 QNL I , kQN=了 = 1,2x 2xo即 Xo yo = X y.由，得 Xo= 2(3 X + y 2) , yo

7、 = 2( x + 3y 2).又点Q在双曲线上, 4(3 X + y 2)2X + 3y 2) 2= 1.1 2 1 2 1 化简，得 X 2 2 y22= 2.线段QN勺中点P的轨迹方程为1 2 1 2 1 x 2 y2 = 2.点评 本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P、Q两点坐标间的关系，用相关点法求解.5.参数法有时求动点满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点的 坐标（X, y）中的X, y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法.例5已知点P在直线X= 2上移动，直线I通过原点且与 OP垂直，通过点 A（1,o）及点P的直线m和直线I交于点Q求点Q的轨迹方程.解如图，设OP的斜率为k,则 P(2,2 k).当k M0