《双曲线及其标准方程》教学设计

1、双曲线及其标准方程教学设计1.设计理念 课标解读：普通高中数学课程标准（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学 探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思 维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、 归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生 对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（ 3）高中数学课程实施 应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的 难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学

2、课程提倡实现信息技术与课程内 容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技 术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容， 加强数学教学与信息技术的结合。（4） 高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果， 也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等 过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识的评价。2.基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授 法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。 高考解读：3.解析几何问题着重考查解析几何

3、的基本思想，利用代数的方法研究几何问题 是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行， 所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元 素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。 教材解读：本节课的教学内容是数学选修 2-1第二章圆锥曲线与方程§3.1 “双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许 多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时， 圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素

4、材，而双曲线是三种圆锥曲线中最复杂 的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分考虑到了知识学习由易到难的教学要 求。双曲线可以与椭圆类比学习，主要内容是：探求轨迹（双曲线）：学习双曲线概念；推导双曲线标准方程；学习标准方程的简单求法，在学习过程中四、五、1.2.3.1.2.1.2.3.应注意双曲线与椭圆的区别与联系。教学目标： 知识与技能：（1）能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；（2）能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。（3）能根据已知条件求双曲线的标准方程。 过程与方法：经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力。在双曲线定义和标准方程的学习过程

5、中培养类比推理能力、归纳能力，体 会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用。态度与价值观：经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美。 通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨。经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知 识的积极态度教学重点和难点：教学重点：（1）双曲线的定义。（2）双曲线的标准方程。教学难点（1）由双曲线的标准方程确定焦点位置。（2）根据条件求双曲线的标准方程。学习者分析知识结构：双曲线是圆锥曲线中最后学习的曲线，再此之前学生已经学习了椭圆 曲线，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲 线的定义

6、及标准方程不太困难。认知结构：高二学生已具备一定的类比转化及分析问题的能力， 的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用， 引领效果。授课班级学生特点：本节课教学对象是南校区文科普通班学生，(1)(2)(1)(2)(3)但对于复杂问题 体现教师的点拨学生的知识技能基础较弱，根据班级的整体水平以及对新课标的解读，双曲线标准方程的推导过 程不在课堂完成，而是设计为 A类学生的必做作业及其他学生的兴趣作业。内容分析:六、七、八、1.2.教学环节教师活动学生活动设计意图复习引入【知识复习】复习提问“椭圆的定义是 什么？”举手回答椭圆的定 义复习椭圆的定义 并引入新课题【新课引入】1.设问：

7、“若将椭圆定义中 的之和改为之差， 结果如何？理解问题，产生探究兴趣由和变差，快速引 入新课2.轨迹探究：设计的需要学生2.本节内容主要分为： 复习引入：复习椭圆的定义，提出问题“将椭圆定义中之和改为之差，轨迹是什 么？ ”。通过拉链动画演示探究双曲线的轨迹，引入课题“双曲线及其标准方程” 。 课程讲解：（1）双曲线的定义：在这一环节采用启发式教学法探究双曲线的定义，学生 要理解双曲线定义中“差的绝对值”和“常数大于 0小于两定点距离”的条件。（2）双曲线的标准方程：在这一环节进一步体会解析几何中求曲线方程的一般方法，根据本班的具体情况，弱化方程的推导过程，直接给出方程，让学生类 比椭圆的方程

8、进行理解学习，特别注意椭圆和双曲线焦点位置判断和a b、c关系的不同。3.知识应用：在这一环节通过例题向学生示范规范解题过程，通过练习检测巩固学生是否 突破难点：即通过双曲线的标准方程确定焦点位置和根据条件求双曲线的标准方 程。4.课堂小结：在这一环节要求学生回顾本节课主要内容， 考查学生对课堂目标的掌握情况， 同时展示学习目标，帮助每个学生反思是否完成学习目标。教学方法和评价本节课以探究性教学法和启发式教学法为主、讲授法为辅的教学方法，学生 主要通过自主探究和小组协作的方法完成学习。教学资源：1.传统的排式教室，投影仪和黑板。 课本及配套课件。教学过程（1）解释拉链探究轨迹原 理：拉链在拉开

9、和合拢过 程中，两边长度相等，现 将拉链的一边的端点固 定，另一边选择一点固定。引发学生思考：拉链 咬合处到固定的两点的长 度有什么关系？拉链在拉 开和合拢过程中咬合处到 两个固定点的距离如何变 化？说明现在拉链的咬 合处放一支笔，那么在拉 链拉开或合拢过程中笔尖 留下的轨迹上的点满足到 定点距离之差为定值。（2）动画演示双曲线轨 迹，说明点的轨迹是左右 两支曲线，取名双曲线3.引入课题并板书“双曲 线及标准方程”目标展示课件展示学习目标【双曲线的定义探究】1.提问：你能否给双曲线 下个定义？2.分析：右支是到定点Fi、思考发现：到一个定 点距离比另一个定 点距离长多余的那 一部分；距离在变大

10、 或者变小，但距离之 差不变。理解拉链画 双曲线的原理。观看轨迹的形成过 程及结果了解学习目标双曲线下定义理解双曲线定义中思考的两个问题 是拉链画双曲线 轨迹中两个很关 键的点，通过这 两个思考问题，理 解借助拉链画出 来的轨迹上的点 满足到定点的距 离之差是常数，从 而能够顺利的理 解后面的双曲线 的定义。使用动画既能形 象直观的展示轨 迹形成过程，帮助 学生顺利理解双 曲线上点的特点， 同时节省了时间。学生了解学习目 标，目标做指引， 学习更高效学生在下定义时 会错误的给出“距 离之差是常数”， 设计让学生先试误，对知识记忆深 刻。通过对错误的更常数是“差的绝对值”正，学生对定义中 “差的

11、绝对值”理 解更深刻。F2距离之差为2a的点的 集合，左支是距离之差为 -2a的点的集合，两支则为 距离之差的绝对值为2a定值的点的集合。新课讲解3.双曲线定义（1）给出双曲线的初步定 义“平面内到两个定点Fi、思考并回答：常数要F2距离之差的绝对值是常 数的点的集合叫双曲线”。（2）提问：类比椭圆定义， 椭圆中要求常数大于FiF2 之间距离，双曲线定义中 的常数有没有条件限制？（3）提问：等于FiF2的 轨迹是什么？（4）思考：若常数为0， 轨迹是什么？（5）课件展示双曲线的完 整定义，同时给出焦点和 焦距的定义。【双曲线标准方程探究】1. 回忆求曲线方程的一般 步骤2. 双曲线焦点在x轴的

12、标 准方程的探究（1）建系：提问：双曲线 如何建系？分析Fi、F2点 的坐标（-C, 0）（C, 0）（2）设点：设 M （x，y） 为双曲线上任意一点（3）列式：首先给出定义式 |MFi I MF22a ，由定小于FiF2；并解释原 因：三角形中两边之 差小于第三边。思考回答：两条射线 思考回答线段 FiF2的中垂线理解掌握：双曲线定义及焦点焦距概念 回答：一般步骤：建 系、设点、列式、化 简 回答：“以FiF2所在 直线为x轴，以FiF2 中垂线为y轴建立 直角坐标系”的建系 过程。根据建构主义的 学习观，学生对知 识理解后才能自 主建构为自己的 知识。设计的这几 个思考问题能帮 助学生理

13、解双曲 线定义中常数的 条件。对于条件限 制，由学生先猜 想，再分析不满足 条件时点的轨迹， 证明猜想，培养学 生严谨的数学思 维。通过双曲线的建 系说明进一步体 会对称建系的原 则义带入点坐标列式。(4)化简：分析和椭圆列 式的异同点，点拨化简思， 给出化简结果。3.双曲线方程与标准方程 的比较：提出问题：比较 双曲线与椭圆A.标准方程 有何异同点；B.a，b，c 的关系有何异同点？4.双曲线焦点在y轴的标 准方程：给出方程，要求 A类学生和其他感兴趣的 同学课下证明。5. 焦点在x轴和在y轴的 两类双曲线方程比较：课 件给出双曲线的两类方 程，板书同时提问：如何 通过双曲线的方程判断焦 点

14、的位置。6. 巩固练习课件展示练习 双曲线的焦点坐标和椭圆列式比较，发 现异同点，回忆椭圆 方程的化简思路，感 兴趣的同学课后推 导。回答标准方程的：相 同点：形式一样 不同点：两式运算一 减一加，a始终对应 系数为正的一式a,b,c关系：相同点：都有一数平 方等于另两数平方 和关系 不同点：双曲线中 c2=a2+b2，c 值最大， a b大小关系不确 定;椭圆中a2=b2+c2， a值最大，b、c大小 关系不确定 根据建构主义学 习观，采用先行组 织者策略，将新知 识与所学知识建 立联系，学生能够 更顺利的学习新 知识，同时建立清 晰的知识网络关 系。通过练习检测是 否突破难点：由双 曲线方

15、程判断焦 点位置【例题讲解】例1.已知双曲线的焦点习题练习为 F1(-2,0)、F2(2,0),双曲线过点(3, 旋), 求双曲线思考并分析解题过 程。观看规范书写。的标准方程。分析解题过 程并板书示范规范解答过 程。通过规范书写示 范，帮助学生养成 良好的规范解题 习惯。1.练习2：1.检测学生是否掌已知双曲线的焦点为握用定义求双曲(0,-4),(0,4),双曲线上任意线方程的方法。一点P到焦点的距离之差2.通过练习加深学的绝对值为6，求双曲线一学生上黑板完成，生对双曲线定义的标准方程。其他学生练习本上的理解。完成3.黑板演示具有将2.高考链接：问题暴露或者良已知双曲线与椭圆好示范性的效果。的焦点相同，双曲线任意一点P到焦点的距离之差练习高考题将课堂练习提升的绝对值为6，求双曲线到高考高度的标准方程。【习题练习】课堂小结1. 本节课你收获了什么?2. 学习目标照应学生回顾本节所学知识学生对照学习目标, 反思达成程度反思收获能够帮 助学生梳理总结 本节所学内容 对照学习目标，反 思完成度，以便查 漏补缺。作业布置1. 个人作业：课本 P43习 题2-3 A组