动态几何之面动形成的最值问题

1、第一步： 部分不再使用第二步：一点M，线段BC上任意取一点 N，沿MN将梯形纸片 GBCH剪成两部分; 第三步：如图，将MN左侧纸片绕 将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转 片EBC面积相等的四边形纸片.（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠G点按顺时针方向旋转180°,使线段GB与GE重合,180°,使线段HC与HE重合,拼成一个与三角形纸则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为cm,最大值为三、解答题1.（ 2013年天津市10分）在平面直角坐标系中,OB 上，且/ OAE= / OBA .（1）（2） 设 当已知点A (- 2, 0)，点B ( 0, 4)，点 E 在如图，

2、求点 E的坐标；如图，将 AEO沿x轴向右平移得到AA =m，其中0V m < 2，试用含 m的式子表示，0，连接 A B、并求岀使取得最小值时点BE .E的坐标;A B+BE '取得最小值时，求点 E'的坐标（直接写岀结果即可）动态几何之面动形成的最值问题一、选择题二、填空题1. （2012四川成都4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm , AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图： 如图，在线段 AD上任意取一点 E，沿EB , EC剪下一个三角形纸片 EBC（余下）；如图，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取BC边上有一动点 P.A

3、P的长；2 （.2. （ 2013年广东梅州11分）用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中 已标岀），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在（1）当点P运动到/ CFB的角平分线上时，连接 AP,求线段 的度数.ABP时，求/ FC=AP在运动的过程中岀现 P）当点DEF的顶点D放在 ABC的BC边上的中点处，并以点 D为旋转中心旋 的两直角边与 ABC的两直角边分别交于 M、N两点，连接 MN .在旋转 AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求岀它的最小值；若不存在，请探究二：如图，将转厶DEF，使 DEF DEF的过程中， 说明理由.过

4、点A作AG丄BC于点G,贝y AG=BC=, PG=CG - CP= - 1 =。在Rt APG中，由勾股定理得：。（2 ）由（1）可知，FC=.在Rt AMN中，由勾股定理得： AMN 的周长为： AM+AN+MN= 。当 x= 时，有最小值，最小值为。 AMN 周长的最小值为。3. ( 2013年四川自贡12分)将两块全等的三角板如图摆放，其中/ ACB= / ACB=90 °，/A= / A=30 ° .111 (1)将图中的 ABC顺时针旋转 45 °得图，点 P是AC与AB的交点，点Q是AB与BC的交点，111111求证：CP=CQ ; 1 ( 2)在图

5、中，若 AP=2，则CQ等于多少？1 ( 3)如图，在 BC上取一点E，连接BE、PE,设BC=1，当BE丄PB时，求 PBE面积的最 大值. 111111111T 在【答案】 解答：(1)证明：/ BCB=45 °，/ BCA=90 °，/ BCQ= / BCP=45 °。 BCQ 和 BCP 中，11.A BCQBCP (ASA )。 CQ=C P。 1114. ( 2012浙江衢州12分)如图，把两个全等的Rt AOB和Rt COD分别置于平面直角坐标系中，使直2+bxax+c、EF.抛物线y=轴、(xOB角边、OD在轴上.已知点 A1，2,过AC两 点的直

6、线分别交 xy轴于点经过 O、A、C三点.( 1 )求该抛物线的函数解析式；(2 )点P为线段OC上一个动点，过点 P作y轴的平行线交抛物线于点 M,交x轴于点N，问 是否存在 的坐标；若不存在，请说明理由.P为等腰梯形？若存在，求岀此时点 ABPM，使得四边形P这样的点.(3 )若 AOB沿AC方向平移(点 A始终在线段 AC上，且不与点 C重合)， AOB在平移过 程中与 COD重叠部分面积记为 S.试探究S是否存在最大值？若存在，求岀这个最大值；若 不存在，请说明理由.当 AG=BH 时，四边形 ABPM 为等腰梯形，2 - 8t+4=03t。 ,化简得解得 t=2 (不合题意，舍去)，

7、t=,存在点P (),使得四边形 ABPM为等腰梯形。【考点】二次函数综合题， 二次函数的图象和性质， 待定系数法， 二次函数的最值， 等腰梯形的性质， 相似三角形的判定和性质， 积的求法。2+bx+c经过点0、=axA、C,利用待定系数法求抛物线的解析式。21 点p的坐标为()。曲线上点的坐标与方程的关系， 图形平移的性质以及几何图形面根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出 的值,从而可解。结论：存在点( 3)求出得重叠部分面积5. ( 2012 江苏宿迁 12 分) 如图,在平面直角坐标系 相交于点2iM，直线( 2) 在矩形 ABCD 每秒 1

8、 个 单位长度的速度移动 点 0 重合时开始计时，分析】 ( 1)抛物线 y( 2)tP (),使得四边形 ABPM为等腰梯形。S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得 xoy 中，已知直线 l与x轴相较于点 N. 2( 1) 求M , N的坐标； 中，已知 AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形S 的最大值。l:y=x 与直线 l ：y= x+6ABCD 沿 x 轴自左向右以.设矩形到点ABCD 与 OMN的重叠部分的面积为 S.移动的时间为(从点B与 A 与点 N 重合时计时结束) 。直接写岀 S 与自变量 t 之间的函数关系式(不需要给出解答过程)t 为何值时， S 的值最大？并求出最

9、大值( 3) 在( 2)的条件下，当(3)当0W t < 1时，S的最大值为，此时 t=1。 当1< t < 4时，S的最大值为，此时 t=4。【考点】值。【分析】的情况：一次函数综合题，平移问题，1）联立两直线方程即可求得t）先求各关键位置，自变量直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最M 的坐标，在 y= x+6 中令 y=0 即可求得 N 的坐标。 2（起始位置时，t=0 ;当点A与点O重合时，如图1，t=1 ;当点C与点M重合时，如图2，t=4 ; 当点D与点M重合时，如图3，t=5;当点B与点N重合时，如图4，t=6;结束位置时，点 A 与点 N 重合，

10、t=7。6.（2012四川广安 10分）AOB=，将 OAB绕着原点 旋转180 °，得到 的解析式.（2）在第三象限内，（ 3 ）在第三象限内，OAB，如图，在平面直角坐标系 xOy中，AB丄x轴于点B , AB=3 , tan/ O逆时针旋转90 °，得到 OAB ;再将 OAB绕着线段 OB的中点 11111122+bx+c （a工0）经过点=axB、B、A . 抛物线y2i （1）求抛物线抛物线上的点P在什么位置时， PBB的面积最大？求岀这时点P的坐标.抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB的距离为？若存在，求岀点Q的坐标; 1若不存在，请说明理由.: B （-

11、4, 0 ），B （0，- 4），A A，21:，解得。抛物线的解析式为： 。【答案】 解：（1 ） AB 丄 x 轴，AB=3，tan/ AOB=，: OB=4。（3，0 ）。212+bx+c （ a工 0）经过点 B、B 抛物线 y=ax、QQQQ7. （ 2012 四川南充 8 分）在 Rt POQ 中，OP=OQ=4,MM 处，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两A、B，当 x= 1 时，y= 4;当 x= 3 时,y= 2。是 PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点 直角边与 POQ的两直角边分别交于点（1）求证： MA=MB（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中， AOB

12、的周长是否存在最小值，若存在，求岀最 小值，若不存在。请说明理由。【答案】 解：( 1 )证明：连接 OM 。/ Rt POQ 中，OP=OQ=4，M 是 PQ 的中点，0。 BOM / =/ P=45，/ PM=4 ： PQ, OM=PQ=2POM= v/ PMA+ / AMO= / OMB+ / AMO， / PMA= / OMB 。MB=MA ）。 ASA （ OMB PMA （2） AOB 的周长存在最小值。理由如下 :8.（ 2012四川南充 8分）如图，O C的内接 AOB中，AB=AO=4,tan / AOB=,抛物线经过点A（4 ， 0）与点（ -2， 6）（ 1 ）求抛物线的

13、函数解析式（2）直线m与O C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O岀发向点B运动; 同时动点Q在线段DA上，从点D岀发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速 度为每秒2个单位长，当 PQ丄AD时，求运动时间t的值（3 ）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点 R的坐标.答案】 解：（1）把点 A（4 ，0）与点（ -2，6）代入抛物线，得：，解得，。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次 方程组，直线与圆相切的性质，弦和弧的关系，垂径定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定 义，勾股定理，一元二次方程根的判别式

14、。0)与点A的2+bx，得方程组，解之即可得岀解析式。y , 6)代入抛物线=ax【分析】(1)将点A(4 ,(-29.( 2012辽宁丹东14分)已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点坐标是(1, 0), O是坐标原点，且.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 直接写岀直线 BC的函数表达式；ODEFODEF 与 OBC重叠部(3) 如图1, D为y轴的负半轴上的一点， 且OD=2 ,以OD为边作正方形 ODEF.将正方形 以每秒1个单位的速度沿 x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形 分的面积为S,运动的时间为 t秒(0V t< 2).求：S与t之间的函数关系式；在运动

15、过程中，S是否存在最大值？如果存在，直接写岀这个最大值；如果不存在，请说明理由.M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以M点坐标；若不存在，请说明理由(4)如图2,点P (1 , k)在直线 BC上，点M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写岀/ 1 解:3），(【答案】.）O 3，- 0 （ C，； ,） 0，1 （-A ） 抛物线经过 A （- 1，0） ,C （0, ，解得。y【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐2 2x =x3。抛物线的函数表达式标与方程的关系，正方形的性质，二次函数的性质，平行四边形的判定。【分析】(1)求岀点C的坐标，即可根据A , C的坐标用待定

16、系数法求岀抛物线的函数表达式。(2) 求岀点B的坐标(3, 0),即可由待定系数法求岀直线BC的函数表达式。(3) 分0V t< 1和1< t < 2讨论即可。分)如图所示，现有一张边长为 4的正方形纸片 ABCD，点P为正方形 A、点D重合)将正方形纸片折叠， 使点B落在P处，点C落在G处， EF，连接 BP、BH .由于在0< t< 2上随t的增大而增大，从而在运动过程中，S是存在最大值：当t =2秒时, S有最大值，最大值为。10.( 2012山东德州12AD边上的一点(不与点PG交DC于H，折痕为(1) 求证：Z APB= Z BPH ；EFGP的面积为S

17、,求岀S与x的函数关系式, 若不存在，请说明理由.(2) 当点P在边AD上移动时， PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；试问S是否存在最小值?(3 )设AP为x ,四边形 若存在，求岀这个最小值；1 , PE=BE ,/ EBP= / EPB .【答案】解：（1）如图又/ EPH= / EBC=90 ° ,/ EPH -/ EPB= / EBC -Z EBP,即/ PBC= / BPH。，PHD的周长不变为定值 8APB= BP , =90 ° , BP=。BPHAPB= / BC， / APB= / PBC。；/ 又 丁 AD II。证明如下： (2 ) O,垂足为

18、 QBQ，过B作丄PH如图2，/ BPH由(1)知/又/ A= / BQP °=BQAB )。二 AP=QP ,( ABP QBPAAS BQ °BC=，/. BC=又丁 AB BH=， =90 ° C 又/ = / BQH，BH。QH=CH。二)HL ( BQHBCH . PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 。(3)如图3,过F作FM丄AB，垂足为 M，贝FM=BC=AB。又 EF为折痕， EF丄BP。/ EFM+ / MEF= / ABP+ / BEF=90 ° oZ EFM= / ABP。又/ A= / EMF=90 ° ,AB=ME，：. EFM BPA (ASA )。x. EM=AP= 222 ，即o与四边形 O o 6时，的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理