强大导数知识点各种题型归纳方法总结

1、导数的基础知识一.导数的定义：2.利用定义求导数的步骤:求函数的增量:yf (x0x)f(X0)；求平均变化率:f(X0X) f (X0)取极限得导数：f '(x0) lim X 0 X(下面内容必记)二、导数的运算：(1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式:n 1/1 Mnx ; (7)sin X1 (a xln aC' 0(C为常数):(xn)'(Xn)'nx n(拓(Xm"n)'mm - 1Xn0,且 a 1);(sin x)' cosx ;(cosx)'(In X)'1;X1： f(x)2： f(x)3：空

2、'2g(x)g(x)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号(2)复合函数y f(g(x)的导数求法：换元，题型一、题型二：(log a X)'(eX)'(ax)'ax In a(a0,且 a 1)法则法则法则g(X)'g(X)' f '(X) g(X) f (X) g'(X)( 口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号 f'(X) g(X) f(X) g'(x)(g(x)0)f'(X)g'(x)；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).1、已知令u g(X)，则y

3、f (u)分别求导再相乘 y' g(X) ' f(u)'回代u g(X)导数定义的理解导数运算fX X2 2xsin，则 f' 0exsinx，贝f3. f (x) =ax3+3x2+2 , f (三. 导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻即有V f t0 。2、若f1)4 ，则 a=(t。时的瞬时速度 V就是物体运动规律 S f t在t t。时的导数f t。=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四. 导数的几何意义：函数f X在X0处导数的几何意义，曲线y f X在点P X0, f X0处切线的斜率是k f X0。 方程是：讨 y f X0

4、X X0。题型三.用导数求曲线的切线注意两种情况：(1) 曲线y f X在点PX),fx0处切线：性质：k切线fX)。相应的切线方程是：yy0(2) 曲线y f X过点P x0,y0处切线：先设切点， 切点为Q(a,b),则斜率k= f '(a)，切点 y f X上，切点Q(a,b)在切线y y0 f a x x0上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b 程组来确定切点，最后求 斜率k= f '(a)，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析：(1) k y'lx X。3x02 6x0 6 3(x0 1)2 3 当

5、 xo=-1 时，k有最小值 3, 此时P的坐标为(-1 , -14 )故所求切线的方程为 3x-y-11=0 函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导，f '(X) 0f(x)该区间内为增函数；f '(X) 0f (X)该区间内为减函数；当f'(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时， f (X)在该区间内单调递增f '(X) 0在该区间内恒成立；f (X)在该区间内单调递减f '(X) 0在该区间内恒成立；于是相应的切线f X0 X X0 Q(a,b)在曲线 的方程组，解方Xo五.(1)(2)注意:(3)(4)f(X)在这个区

6、间上仍是递增(或递减)的。f (x)f (x)在区间上的符号题型一、利用导数证明(或判断)函数 f(x)在某一区间上单调性： 步骤：(1)求导数 y(2) 判断导函数f (x)该区间内为增函数; f (x)该区间内为减函数;(3) 下结论 f '(x)0 f '(x)0题型二、利用导数求单调区间求函数y f (x)单调区间的步骤为：(1)分析 yf (x)的定义域；(2)求导数 y f (x)(3) 解不等式f(X)0，解集在定义域内的部分为增区间(4) 解不等式f(X)0，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一 .(1) f (x

7、)在该区间内单调递增f'(x) 0在该区间内恒成立；(2) f (x)在该区间内单调递减f '(x) 0在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。在(a，c)上为减函数，f'(c) 0 ，若 a f(3),bx在(c, b)上为增函数则x=c两侧使函数f (x)变号，即x=c为函数注意：若函数f( x)例题.若函数f(x)f(4),cf(5)则()的一个极值点，所以D. b < a < cA. a< b < c B. c < b < a C. c &l

8、t; a < b六、函数的极值与其导数的关系：1. 极值的定义：设函数 f (x)在点X0附近有定义，且若对 X0附近的所有的点都有 f (x)f (X。)(或f (x) f (X。)，0 )，但函数f(x)在某点xo处的导数为0，并不一定函数f(x)在 0,但f (x)没有极值)。则称f(X0)为函数的一个极大(或小)值，X0为极大(或极小)值点。 可导数f(x)在极值点X0处的导数为0(即f'(x0)该处取得极值(如 f (X) X3在x0 0处的导数为 求极值的步骤：第一步：求导数f'(x)；第二步：求方程f '(X)0的所有实根；f '(x)的符号

9、如何变化,第三步：列表考察在每个根X0附近，从左到右，导数若f '(X)的符号由正变负，则f(X0)是极大值；若f '(X)的符号由负变正，贝yf(X0)是极小值；若f'(x)的符号不变，则f (X)不是极值，x0不是极值点。若函数在定义域 D内存X0，使得对任意的X D，都有f(X)f (X0)，(或f(x) f(X0)则称f(X0)(小)值，记作ymaxf (X0)(或 yminHx。)f (X)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b上必有最大值和最小2、函数的最值： 最值的定义：为函数的最大 如果函数y值。 求可导函数f (X)在闭区

10、间a,b上的最值方法：第一步；求f(x)在区间a,b内的极值；第二步：比较f (X)的极值与f(a)、f (b)的大小：第三步：下结论：最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值工最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。;极小值对应最小值)2. 函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值3、 注意：极大值不一定比极小值大。如f(x) X 的极大值为 2，

11、极小值为2。X注意：当X=X0时，函数有极值f /(X0)= 0。但是，f/(x 0) = 0不能得到当X=X0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用1题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数f '(x)的符号f '(x)与x轴的交点且交点两侧异号f '(x)的增减性f '(x)的增f '(x)减例 1.已知 f(x)=e x-ax-1.原函数f(x)单调性 f (x)极值 f (x)的每一点的切线斜率的变化趋势 f(x)的每一点的切线斜率增大( f (x)的每一点的切线斜率减小(f (x)

12、的图象的增减幅度) f (x)的图象的变化幅度快) f (x)的图象的变化幅度慢)(2)若f(x )在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(1)求f(x)的单调增区间；(3)是否存在a,使f(x)在(-S, 0 上单调递减，在0, +S)上单调递增若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：f (x)=ex-a.(1)若 a< 0, f (x) =ex- a>0 恒成立，即 f(x)在 R上递增.若 a>0,e x- a>0, ex>a,x >lna. f(x)的单调递增区间为(Ina,+).(2)v f ( x)在R内单调递增， f (x)0在R上恒成立.

13、 ex-a>0,1 卩 awex在 R上恒成立. a<( ex) min,又x>0,.a<0.由题意知，x=0为f(x)的极小值点. f (0) =0,即e0- a=0, a=1.已知函数f(x)=x 3+ax2+bx+c,曲线y=f(x )在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0(3)例2.,若x=-2时，y=f(x )有极值.(1)求3a,b,c的值； (2)求y=f(x )在-3 , 1：上的最大值和最小值.(1)由 f(x)=x 3+ax2+bx+c,得 f (x) =3x2+2ax+b,当x=1时，切线I的斜率为3,可得2a+b=0当 x=-时，y=f(x)有

14、极值，则 f - =0,可得 4a+3b+4=033由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1, f(1)=4.322(2)由(1)可得 f(x)=x +2X-4X+5, f (x) =3x +4x-4, 1+a+b+c=4. c=5.2 令 f(X)=0,得 x=-2,x=-.3当x变化时,y,y'的取值及变化如下表:-3(-3,-2)-2y8134 y=f ( x)在-3 , 1:上的最大值为13，最小值为952?.例3.当x0，证明不等式xln(1 x)1 xx.证明：f (x)ln(x 1)x,g(x) ln(x x1)x，则f(x)x1(1x)2 当x 0时。f (x)

15、在0,内是增函数，f(x)f(0),即ln(1x)x0 ,1 x又 g (x).x,，当x0时，g (x)0 ,g(x)在 0,内是减函数，g(x) g(0),单调递增单调递减单调递增x成立.即 ln(1 x) x 0,因此，当x 0时，不等式xln(1 x)点评：由题意构造出两个函数f(x) ln(xx1) c,g(x) ln(x 1)利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键七定积分求值1.定积分的概念设函数f (x)在区间a,b上连续，则ba f(x)dxnlimni 12.用定义求定积分的一般方法是:分割：n等分区间a,b ；近似代替：取点xi 1,x；求和:j(i)；

16、i 1 nb取极限：f (x)dx limab ainbf x dx ; f xa3.曲边图形面积：f X 0,S在x轴上方的面积取正，下方的面积取负0,Sbf x dxa变速运动路程St2t v(t)dt ；变力做功 WbF(r)dra4.定积分的性质ba kf (x)dxbf1 (x)abf (x)dxa性质性质性质bk f (x)dx (其中 db f1(x)dx abf(x)dxcf2(x)dxcf(x)dxak是不为0的常数)bf2(x)dxa(其中a c b)(定积分对积分区间的可加性)5.定理函数F(X)是a,b上f(x)的一个原函数，即 f(x)bbF (x)则 f(x)dx

17、F(x)lb F(b)aF(a)导数各种题型方法总结(一) 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在(二) 分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结 合思想”，创建不等关系求出取值范围。(三) 同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f(X)0得到两个根；第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知

18、； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0<0) 第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)(已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数y f(x)在区间D上的导数为f(X)， f (X)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D 上, g(x) 0恒4x 成立，则称函数 y f (x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x) 123mx63x22(1) 若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；(2) 若对满足|m| 2的任何一个实数 m，函数f (x)在

19、区间a,b上都为“凸函数”，求b43232xmx3x ,Xmx得f(X) 3x126232f(x)在区间0,3上为“凸函数”，2g(x) x mx 30在区间0,3上恒成立:从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x) 0解:由函数f(x)(1) Q y则解法a的最大值.2解法二：分离变量法：V 当 X 0 时，g(x) 当 Ox 3 时，g(x) X23x mx 33 0恒成立,x mx 30恒成立等价于m而 h(x)(2) V当 im 2时 则等价于当|m 变更主元法 再等价于F(m)x3 cx - ( 0xf(x)在区间2 时 g(x)mx例2:设函数f (x)4-X3t-3x 一的最

20、大值(0 x 3 )恒成立,xx3 )是增函数，贝 y hmax(x)h(3)a,b上都为“凸函数”2xmx0恒成立3a2m|F(F(2)2恒成立2)(视为关于2x x2322x x 3m的一次函数最值问题)-2(I)求函数f(n)若对任意的 x a 1,a (二次函数区间最值的例子) 解：(I) f(X)x2 4ax 3a22ax2(x)J的单调区间和极值；2,不等式f(x)x b(01,b R)a恒成立，求a的取值范围.x 3a x a令 f(X) 令 f(X)当(n)a3aa 0,得f(x)的单调递增区间为0,得f(x)的单调递减区间为3x=a 时，f (x) 极小值=a4由| f (x

21、)a,得：对任意的a(a,3a)(3a,a)和(3a, +)b；当x=3a时,f(x) 极大值=b.则等价于g(x)这个二次函数x gmax(x) gmin(X)a1,a2,a x2 4ax 3a2 a恒成立2 2g(x) X 4ax 3a 的对称轴 x 2aQ 0 a 1,a 1 a a 2a (放缩法)即定义域在对称轴的右边，g (x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。4ax 3a2在a 1,a 2上是增函数.2a 1.4a 4.1,a2，不等式恒成立，等价于g(x) x2g(x) max g(a 2) g(x)min g(a 1) 于是，对任意x a4又 0 a 1, a51

22、.(9点评： 的关 第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) g(x)恒成立 例3;(I)(n)(川)重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域 系解:h(x) f (x) g(x) 0恒成立；从而转化为第一、二种题型32已知函数f(x) X ax图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3 ,求a,b的值；当X 1,4时，求f(x)的值域；当X 1,4时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t的取值范围。(I) f/(x) 3x2 2ax f 3,解得 a 3b 1 ab 21,0上单调递增，在0,24, f (4)16上单调递减，在2,4上单调递减4)由(I)知， f (x)在又

23、 f( 1)4, f (0)0, f (2) f(x)的值域是4,16t 2X2 (t 1)x 3 x2思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x2思路2： 二次函数区间最值(川)令 h(x) f(x) g(x)1,42x) 2x 6分离变量二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为f'(x) 0或f'(x) 0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减 区间的子集；m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区做题时一定要看清楚“在

24、( 别：前者是后者的子集例4 :已知a R,函数f (x)X3 a X2(4a1)x .12 2如果函数g(x) f (x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值;(n)如果函数f(x)是()上的单调函数，求 a的取值范围.解：f(x)2 (a 1)x(4a 1).(I)(x)是偶函数，二a 1. 此时f(x) 丄X3 3x，f (x)12(-2 73)-2a/3(-243 ,2旳)2/3(2 J 3，+ 8)+00+递增极大值递减极小值递增(x)列表如下:0，解得：x2J3.可知：f(x)的极大值为1(n)v函数f (x)是(f( 2J3) 4J3，f (X)的极小值为 f(2J3)Ws.:,

25、)上的单调函数， f (x)1x2 (a41)x(4 a在给定区间R上恒成立判别式法2则 (a 1)24 14耳0 a1 2(4 a1) a22a 0,解得：0 a2.综上，a的取值范围是1例5、已知函数f (x) X33(I) 求f(x)的单调区间；(II) 若f(x)在0，1上单调递增，求a的取值范围。a).2.-(2 a)x2(12a)x(a0).子集思想(I) f (x)1、当a当且仅当2、当ax2(2 a)x 1 a0时,f (x) (x 1)2x 1时取“=”号，0时，由f (x)0,得X1(X 1)(x 1 0恒成立， f (X)在(，1,X2a)单调递增。1,且 x,X2,1)

26、,(a 1,1、单调增区间：(单调增区间：(II)当Q f (X)在0,1上单调递增， a 0时，f(x)在(，)单调递:2、0,1 a 1,， a 1 0(1,a 1)贝y 0,1是上述增区间的子集: 增符合题意a 1综上，a的取值范围是0, 1。三、根的个数问题提型一函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增 后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)第三步：解不等式(组)即可；例 6、已知函数 f (x) x3_ x2 , g(x) 1 kx ,32

27、3k的取值范围； f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数x2 (k 1)x / f (x)在区间(2,)上恒成立(分离变量法)2，故k 1k的取值范围为k 1x kx -,3(1) 求实数(2) 若函数解：(1)由题意f(X)-f (x) x2即k 1 x恒成立，又(2)设 h(x) f(x)(k 1)x0在区间(2,x 2 , k 1 d23g(x)行即方程根的个数问题；主要看极大值和极小值与0的关系;f(x)在区间(2,)上为增函数.k的取值范围.)上为增函数,令 h (x) 当 当x 1 由(1 )知 k 1 ,一极大值k3k21623极小值f (x)与g(x)的图象有三个不

28、同的交点，即方程0得x k或1时，h (x) (x 1)20 , h(x)在R上递增，显然不合题意1时，h(x), h (x)随x的变化情况如下表：k232623由于0，欲使0，即(k1)(k2 2k 2)，解得2k 2 0h(x) 0有三个不同的实根，故需1 43综上，所求k的取值范围为 根的个数知道，部分根可求或已知。312例7、已知函数f(x) ax -x2若x 1是f (x)的极值点且2x cf(x)的图像过原点，求f(x)的极值;x解:若g(x) bx2 x d，在(1)的条件下，是否存在实数 b，使得函数 21的三个不同交点若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。(1)v f(

29、x)的图像过原点，贝y f(0)0xg(x)的图像与函数f (x)的图像恒有含c 01是f (x)的极值点，则f ( 1) 3a 120x 2(3xf (x)a 123 ax又f (x) 3x2(2)设函数等价于f(x)即:(计算难点来了：)h(x) x3 -22)(x 1)g(x)的图像与函数f (x)的图像恒存在含 x 1的三个不同交点，1-(b 1)2g(x)有含x2x Ibx22x3 (b2(b 1)x21的三个根，即：f( 1) g( 1) di(b1)整理得:1)x2 x1尹1)0恒有含x 1的三个不等实根1)0有含x 1的根,则h(x)必可分解为(X 1)(二次式)0 ,故用添项

30、配凑法因式分解，2 1十字相乘法分解:x2(x 1) - (b 1)x (b 1) x 102等价于1 21-(b 1)x2x-(b22211x2-(b1)x-(b221)0恒有含x 1的三个不等实根1)0有两个不等于-1的不等实根。题型二：切线的条数问题= = = =以切点X0为未知数的方程的根的个数例7、已知函数f(x) ax3 bx2 cx在点X0处取得极小值一4,使其导数f '(X) 0的x的取值范围为(1,3)，求：(1) f (X)的解析式；(2)若过点P( 1,m)可作曲线y f(x)的三条切线，求实数 m的取值范围.c 3a(x 1)(x 3),( a 0)f'

31、(x)0 ;在(3,)上 f'(x)0(1)由题意得：f '(x) 3ax2 2bx 在(,1)上 f'(X) 0 ；在(1,3)上 因此f (X)在X0 1处取得极小值 4 ab c 4，f'(1)3a 2b c 0 ，f '(3)27a 6b c0a 1由联立得：b 6 ,3- f (x)X 6x2 9xc 9(2)设切点 Q(t, f(t) , yf(t) f,(t)(x t)2y ( 3t 12t9)( Xt) ( t3 6t2(3t2 12t 9)x t(3t212t9) t(t2 6t9)( 3t2 12t9)x2t(2t 6t)过(g(t)

32、3222t 2t 12t 9 m 0 令 g'(t) 6t26t 126(t t2)0 ,求得:t1,t2，方程g(t) 0有三个根。需：g( 1) 02 312 9 m 0m 16g(2)016 1224 9 m 0m 11故：11 m 16 ；因此所求实数m的范围为：(11,16)9t)1,m)题型三：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数 =0的根的个数 解法：根分布或判别式法例8、17解：函数的定义域为 R (I)当m= 4时，f (x)= 3x3 2x2 + 10x, f (x) = x2 7x+10,令 f(X)0 ,解得 x 5,或 x 2.令 f(X)可知函数(

33、n) f要使函数0，解得2x5f(x)的单调递增区间为(，2)和(5,+s),单调递减区间为2,5 .(x) = X2 (m+ 3)x + m+ 6,y= f (x)在(1，+s)有两个极值点 ， f (x) = x2 (m+ 3)x + m+ 6=0 的根在(根分布问题：1 ,+s)则例4解：(1) f (x) ax2(m 3)2 4(m f (1) 1 (m 3) m 3 , 1.29、已知函数f(x)R)有且仅有3个极值点,x x(ax 1)6)m0;6a _x30;， 解得m>3-x2, (a R,a 0) (1 )求 f(x)的单调区间;2求a的取值范围.,0)(当a 0时，令

34、f'(X)0解得X一或X 0 ,令f(X)0解得a所以f(X)的递增区间为(,丄)(0, a)，递减区间为(一,0).a0时，同理可得f (X)的递增区间为(0,!)，递减区间为a).(2) g(x)g(x)方程X214-X43Xax 11 2-X有且仅有3个极值点2x(x2 ax 1)=0 有 3 个根，则 X 0 或 X20有两个非零实根，所以a2a 2 或 a 2a 3 -X32ax X4 0,ax而当a2或a 2时可证函数y g (x)有且仅有3个极值点其它例题:(一)最值问题与主元变更法的例子.已知定义在R上的函数f(x) ax3(I)求函数f(x)的解析式；(n)若 t 1

35、,1时，f (x)b,43解：(I) Q f (X) ax3 2ax22ax2 b( a0)在区间2,1上的最大值是tx 0恒成立，' 2f (x) 3ax 4ax ax(3x 4)求实数X的取值范围.5,最小值是-11.2,10+0-极大因为a 0，所以可得下表:因此 f(0)必为最大值， f(0) 5 因此 b 5 , Qf( 2) 1Qa 5,f(1) a 5,令 f(X)=0,得 X10, X2f(1) f( 2),即 f( 2)16a511， a 1，f(x) X32x25.(n)vf (X)23x 4x， f (x) tx0等价于23x 4x tx0，令 g(t)xt 3x

36、2 4x，则问题就是g(t)0在t 1,1上恒成立时，求实数为此只需g( 1)0 刚 3x2 5x 0，即2，g0X2 X 0解得0 X1，所以所求实数X的取值范围是0，1.X的取值范围,(二)根分布与线性规划例子2例:已知函数f(x)亍ax2 bx c(I )若函数f (X)在X1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线 3X y 0平行，求f (X)的解析式;(n )当 f (X)在 X (0,1)取得极大值且在 X (1, 2)取得极小值时,设点M(b 2, a 1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：(I).由 f(X) 2x

37、22ax b ,函数f(X)在X 1时有极值,/ f (0)1又 f(x)在(0, 1)处的切线与直线3xy 0平行,f (0) b(n)解法£ / 2 3f(x)3x1 2 -x 23x(x)2x22axf (x)在 x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,(0)(1)2y4y2a4a令 M(x, y),故点M所在平面区域S为如图ABC,易得A( 2,0),B( 2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,ABC同时DE为 ABC的中位线，SDECS四边形ABED3所求一条直线L的方程为：x 0另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为y kx，它与AC,BC分

38、别交于F、G,0,S四边形DEGF1y2ykx得点F的横坐标为Xfy4ykx得点G的横坐标为Xg2k 14k 1二s四边形DEGFS OGES OFD解得：k综上，所求直线方程为：(舍去)2 4k 12故这时直线方程为(n )解法二:(x)2x22axf (x)在 x(0)(1)2a4a2y4y故点M易得A( 2,0),B( 2,1),2),1:3的两部分，L方程为设直线12k1.12分(0,1)取得极大值且在令 M (x,y), 则所在平面区域D(0,1),S为如图 ABC,E(0,I),(1,2)取得极小值,S ABC 21同时DE为ABC的中位线，S DEC 3 S- ABED -所求一条直线L的方程为:x 01另一种情况由于直线BO方程为:y产设直线BO与