数列知识点总结及题型归纳

1、数列一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，,序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ；数列的一般形式：a1, a2, a3,an,简记作an 。例：判断下列各组元素能否构成数列(1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2) 2010年各省参加高考的考生人数。(2) 通项公式的定义：如果数列 叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4 ,1111 ：1,11 ,丄,丄2 3 4 5数列的通项公式是an的第n项与n之间的关系可以用

2、一个公式表示，那么这个公式就数列的通项公式是an =an =n ( n 7,1 ( n Nnn N)，说明：an表示数列，an表示数列中的第n项,an= f n表示数列的通项公式;1 n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n='(k Z);1, n 2k 不是每个数列都有通项公式。例如，1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3 )数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子

3、集)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),f(n),.通常用an来代替f n ,其图象是一群孤立点。例：画出数列an 2n 1的图像.、常数列和摆动数列。 递减数列、常数列、摆动数列?(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(4)a, a, a, a, a,(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列) 例：下列的数列，哪些是递增数列、(1) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,-(3) 1,0, 1,0, 1,0,(5)数列an的前n项和Sn与通

4、项an的关系:anSi(n 1)Sn Sn i(n > 2)例：已知数列an的前n项和Sn 2n3 3,求数列a.的通项公式练习:1.根据数列前4项，写出它的通项公式：(1) 1, 3, 5, 7；2 2 2 2(22 1 32 1 42 1 52 1(3)1*22*33*44*5 °(4) 9, 99, 999, 9999(5)乙 77, 777, 7777,2 数列an中，已知ann2 n 13-(nN)8, 88, 888, 8888()与出 a1, ,a2 , a3 , an 1 ,an2（2） 79|是否是数列中的项？若是，是第几项?3. （ 2003京春理14,文1

5、5）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄）内。的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（4、由前几项猜想通项:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.），5. 观察下列各图，并阅读下面字，像这样，10条直线相交,交点的个数最多是（其通项公式为（4）(7)A. 40 个 B . 45 个 C . 50 个二、等差数列如果一个数列从第 冷数叫做等差、题型/等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与 个数列就叫等差数列，这个冷数叫做等差数列的公差， a；2条直线相例：等差数列i题型二、最多数列 说明：等差数

6、列（通常可称为例：1.已知等差数列 an2）或an 1 a3条直线相ra n 2n 1 ， an an 1U的通项公式：交n最多有1）d ；A P数列）的单调性：中，a7 a916, a4A. 15 B30 C . 312. an是首项a11，公差d(A) 667(B) 668勺前一项的差等于同一个常数，那么这(D . 55 个公差通常用母d表示。4条直线相交,d 0为递增数列，1,则a12等于（643的等差数列,(C) 669用递推公式表示为如果an(D)3.等差数列an 2n“递减数列”）题型三、等差中项的概念：1，bn2n1 ，则an为最多有d 0为常数列,）2005，则序号670bn为

7、d 0为递减数列。n等于（填“递增数列”或定义：如果0, A,b成等差数列，那么A叫做0与b的等差中项。其中A竽0 , A , b成等差数列例：1.（ 06全国I ）设A V 即：20n1 0n 0n20n是公差为正数的等差数列，若(20n0102030n m 0n m )15 , 01020380,则A. 120.105C. 90.752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48,则它的首项是（）A . 1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质:（1）在等差数列 0n（2）在等差数列 0n中,中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是

8、等差数列；（3）在等差数列 0n中,对任意 m , n N , 0n0m (n m)d , d0n 0mn m(m n)；（4）在等差数列中，若 m , n , p , q N 且 m nq，则 0m0n 0paq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式：叮n(n 1)d(01号）n。（Sn An2 Bn（A, B为常数）0n是等差数列）递推公式:Sn(010n )n (0m 0n (m 1) )n例：1如果等差数列0n 中，03040512，那么01 02a?(A) 14(B) 2128(D)352.（2009湖南卷文）设Sn是等差数列On的前n项和，已知020611，则S?等A.13.35.

9、49633.（2009全国卷I理） 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972 ,则 0204 09 =4.（2010重庆文）（2）在等差数列0n中，01 09 10,则05的值为（）(A) 5(B) 6(C) 8(D) 105.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S12 21,则a2a5asa115a3 则 19.已知an数列是等差数列,aio10,其前10项的和Sio 70，则其公差d等于（）7. （2009全国卷n理）设等差数列an的前n项和为S

10、n，若a5& （98全国）已知数列 bn是等差数列，bi=1, b1+b2+b10=100.（I）求数列 bn的通项bn；B. 1 C. 13310. （2009陕西卷文）设等差数列an的前n项和为Sn,若a6 S3 12,则an11.（ 00全国）设 an为等差数列,Sn为数列 an的前n项和，已知 S = 7, $5=75, Tn为数列 的前n项和，求T1On12.等差数列an的前n项和记为Sn,已知 a1030, a2050求通项an ;若Sn =242，求n13.在等差数列an中，（1）已知S8 48,Si2 已知 a3 a1540,求 S17题型六.对于一个等差数列：168,

11、求 31和 d ； (2)已知a610, S5 5,求 a8和 S5 ；（1）若项数为偶数，设共有2n项，则S偶 S奇 nd ;（2）若项数为奇数，设共有2n 1项，则S奇S偶anan 1；宝丄OS偶n 1题型七.对与一个等差数列，Sn,S2n Sn,S3n S2n仍成等差数列例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为3.已知等差数列 an的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为4.设Sn为等差数列an的前n项和，S4 14,

12、S10 S730,则 S9 =5. （06全国II ）设Sn是等差数列 an的前n项和,S6 =S12A.10D.题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:an 1 an d（常数）（n N ）an是等差数列中项法:2an 1 an an 2（n N ）an是等差数列通项公式法:an kn b （k,b为常数）an是等差数列前n项和公式法:Sn An2 Bn（A,B为常数）an是等差数列例：1.已知数列an满足an an12，贝擞列an为（A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an的通项为 A.等差数列3. 已知一个数列A.等差数列4. 已知

13、一个数列A.等差数列5. 已知一个数列A.等差数列anB.等比数列 an的前n项和B.等比数列 an的前n项和B.等比数列an满足 an 2B.等比数列6.数列 an 满足 a1 =8， a42,求数列an的通项公式;）既不是等差数列也不是等比数列 2n2 4，则数列an为（） 既不是等差数列也不是等比数列 2n2,贝y数列an为（） 既不是等差数列也不是等比数列an 0 ,贝y数列an为（） 既不是等差数列也不是等比数列2n 5，则数列an为（C.SnC.SnC.2an 1C.且an 22an 1 an 0（ nN ）7. （01天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且S=n2，则an是A

14、.等比数列，但不是等差数列D.D.D.D.B.等差数列，但不是等比数列无法判断无法判断无法判断无法判断D.既非等比数列又非等差数列C.等差数列，而且也是等比数列题型九.数列最值an2 bn的最值;(1) a1 0 , d 0时，Sn有最大值；a1 0 , d 0时，Sn有最小值;(2) Sn最值的求法：若已知Sn , Sn的最值可求二次函数 &可用二次函数最值的求法(nN )；或者求出an中的正、负分界项，即:若已知an，则Sn最值时n的值(n N)可如下确定an 0或an 1 0an00an 10例：1.等差数列an中，a10, SSi2，贝y前项的和最大。2 .设等差数列an的前n

15、项和为Sn，已知求出公差d的范围, 指出Si, S2, , S12中哪一个值最大，并说明理由。3. (02上海)设 an (nN)是等差数列，S是其前n项的和，且 Sv&, &=S?S,则下列结论错误的是A. d v 0 B.a7= 0C.Se> S5D.S6与S均为Sn的最大值别是4.已知数列an的通项(n N ),则数列an的前30项中最大项和最小项分5.已知an是等差数列，其中a131，公差d(1)数列an从哪一项幵始小于0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值.6. 已知an是各项不为零的等差数列，其中a10 ,公差d 0,若Sio 0,求数列an前

16、n项和的最大值.7.在等差数列an中，a125 , Si7 S9，求Sn的最大值.题型十.利用a 3(nnS. S.1 (n1.数列an的前n项和Sn n21. ( 1)试写出数列的前5项；(2)数列an是等差数列吗?(3)你能写出数列an的通项公式吗?2 已知数列an的前n项和Snn2 4n 1,则3. 设数列an的前n项和为S=2n，求数列a.的通项公式;4.已知数列an中，a113,前 n 和 Sn2(n 1)(an D 1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式5. （2010安徽文）设数列an的前n项和& n2，则a8的值为（(A)15(B) 16(C) 49(D) 64

17、等比数列等比数列定义,那么这个数列就叫做等比数q 表示（q 0），即：an 1: an q（q 0）。一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母一、递推关系与通项公式1.在等比数列an2.在等比数列an中,a14,q2，则 an中,a?12, q V2 ,则 a193. （07重庆文）在等比数列an中，a2= 8, a匸64,则公比q为（）(A) 2(B) 3(C) 4(D) 84. 在等比数列 an中，a22 , a5 54，则a*5. 在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 3，前三项和为21,则a3 a4 a5

18、（）A 33 B 72 C 84 D 189、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bTOC,注：b2 ac是成等比数列的必要而不充分条件例：1. 2恵和2 73的等比中项为（）2. （2009重庆卷文）设an是公差不为0的等差数列，印2且成等比数列,则an的前n项和Sn=（B.n2 5n33C.D n2 n24三、等比数列的基本性质,1. (1)若m n p q,贝y am a.ap aq (其中 m, n, p,q N )/ C、 n m(2) q，an an m an m (n N ) aman为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列(4)an既是等

19、差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例:1在等比数列an中，a1和ai0是方程2x25x 10的两个根,则a4 a7()2.在等比数列3.在等比数列求anan，已知an 中，a1若 TnIg a1Ig a?a15,a9a10100 ,贝y a18 =a633, 838432, an an 1Ig an,求 Tn4.等比数列an的各项为正数，且a5a6 aqa? 18,则log 3 ai logsa? Llog 3 a10A . 12 B . 10 C . 8D . 2+iog3 55. ( 2009广东卷理)已知等比数列an满足 an 0,n1,2,L且 a5 a2n 5小2n .2

20、(n3)则当 n 1 时，log2 a1 log 2 a3Llog2a2n 1A. n(2n 1)B.(n 1)2C.n2D.(n1)22.前n项和公式例：1.已知等比数列an的首相a15 ,公比q2.已知等比数列an的首相a12，则其前 f，当项数n项和Snn趋近与无穷大时，其前项和Sn 3.设等比数列an的前n项和为Sn，已a2 (2006 年北京卷)设 f(n ) 2 24 27 210A. 2(8n 1)B. 2(8n1774.6, 6a1 a3L 23n 10(n1) C . |(8n3 1)30 ,求 an和 SnN)，贝y f(n)等于(D . -(8n4 1)75.(1996全

21、国文，21)设等比数列 a的前n项和为S,若&+ S = 2S,求数列的公比q；6.设等比数列an的公比为q,前n项和为S,若S+1,Sn, S+2成等差数列，则q的值为3.若数列an 列.如下图所示:是等比数列,Sn是其前n项的和，k N*，那么Sk , S2kS2k成等比数例：1. （2009辽宁卷理）设等比数列 an的前n项和为Sn，若S6S3 =3 ,SS6A. 2 B.73 C.83D.32. 一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60，则前3 n项的和为A. 83 B108 C . 75 D . 633.已知数列an是等比数列，且Sm 10, S2m 30,则乩4.等

22、比数列的判定法定义法:an 1anq （常数）an为等比数列;(4)中项法：an 12通项公式法:前n项和法:Snan an 2Sn(an0)a n为等比数列;（k,q为常数）an为等比数列;k(1 qn) (k,q为常数)kqn （ k,q为常数）an为等比数列。an为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an 2n，则数列an为（ A.等差数列 B.等比数列 C.2. 已知数列an满足A.等差数列3. 已知一个数列A.等差数列2an 1anB.等比数列an的前n项和B.an 2C.等比数列SnC.）既不是等差数列也不是等比数列 （an 0），则数列an为（ 既不是等差数列也不是等比数列 2

23、 2n 1，贝y数列an为（） 既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断D.D.无法判断无法判断5.利用anSSiSn 1(n(n2）求通项.例:1. （2005北京卷）数列an的前n项和为S,且ai=1,an1 iSn，n=1, 2, 3,求a2,a3,a4的值及数列an的通项公式.Sn 12.（2005山东卷）已知数列an的首项a1 5,前n项和为S ,且Snn 5（n N*），证明数列 1是等比数列.四、求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 87 26，求a.;2.已知数列an满足ai2,an an 1 1

24、(n 1)，求数列a.的通项公式;3.数列an满足a1 =8,a42,且 an2 2an 1 an 0 ( nN)，求数列a.的通项公式;4.已知数列an满足a12丄an 11an2，求数列an的通项公式;5.设数列an满足a10且-111，求an的通项公式an 11 an6.已知数列an满足an1二,a1 1,求数列an的通项公式。an 27.等比数列an的各项均为正数，且2ai 3a21，2a39&2&6，求数列an的通项公式8.已知数列an满足a12, an 3an 1 (n 1)，求数列a.的通项公式;9.已知数列an满足a122，a24且an 2 anan 1( nN

25、)，求数列an的通项公式;10.已知数列an满足ai2,且 an 15n 12(an5n)( nN)，求数列an的通项公式;11.已知数列an满足a12,且 an 15 2n1 23(an 52n 2) ( n N)，求数列an的an通项公式;12.数列已知数列an 满足 a112，an4an 11(n1).则数列an的通项公式=(2)累加法1、累加法适用于:an 1 anf(n)若 an 1 an f(n) (n2)，则a2a1a3a2Lf(1)f(2)Lan 1anf(n)n两边分别相加得an 1 B f(n)k 1例：1.已知数列(an)满足a11an 1an侖，求数列a的通项公式。2.

26、已知数列an满足an 1an2n1,ai1，求数列an的通项公式。3.已知数列an满足an1an3n1, a13，求数列an的通项公式。4.设数列an满足a12 ,an 1an3 22n1，求数列an的通项公式(3)累乘法适用于：an 1f(n )an若an 1anaia3f(1),a2f(2)丄也 f(n)an两边分别相乘得,an 1a1na1f(k)k 1例：1.已知数列an满足 an 12(n1)5nan,a13，求数列an的通项公式。2.已知数列an满'足a13.已知 a13 , an 123，3n 1 a 3n 2an 1n (nnann 11)，求 an o，求 an。(4

27、)待定系数法适用于an 1 qan f(n)解题基本步骤:1、确定f(n)2、设等比数列an1 f(n)，公比为3、列出关系式an 11 f (n 1)2an2f( n)4、比较系数求5、解得数列an1f(n)的通项公式6、解得数列an的通项公式'n例：1.已知数列an中，a1 1,an 2an 1 1(n 2)，求数列an的通项公式。an2.( 2006，重庆,文,14 )在数列an中，若印1耳12an 3(n 1)，则该数列的通项3. (2006.福建.理22.本小题满分14分)已知数列a,'n满足 B 1,an 1 2an 1(n N*).求数列an的通项公式;4.已知数

28、列an满足an 12an 3 5n，a16，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 5n 1 2(anf-n x 5 )5.已知数列an满足an13an5 2n 4，a11,求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 2n ' y 3(an x2n y)6.已知数列an中，a15, a61an(2)n132求an7.已知数列an满足an 12an3n24n 5, ai 1，求数列a.的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2y(n1) z2(an xn2 yn z)8.已知数列an满足an12an4 3n1, a1 1，求数列an的通项公式。递推公式为an 2 pan 1 qan

29、(其中p，q均为常数)。先把原递推公式转化为an 2san 1t(an 1 san)其中s，t满足S t Pst q9.已知数列an满足an 25an 16an,a11,a2 2，求数列an的通项公式。(5)递推公式中既有Sn分析：把已知关系通过an yj/ 2转化为数列an或Sn的递推关系,然后采用相应的方法求解。1. (2005北京卷)数列an的前n项和为S，且 a1 = 1， an 113Sn，n=1，2, 3,求a2, a3，a4的值及数列an的通项公式.2. (2005山东卷)已知数列 an的首项a15,前n项和为Sn ,Snn 5(n N ),证明数列an 1是等比数列.3 已知数

30、列an中，a13,前n和Sn12(n1)(an 1)1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式4.已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn16(an1)(an2)，且 32,34, a9 成等比数列，求数列an的通项公式。(6)根据条件找n 1与n项关系例1.已知数列an中，a1 1,an1 C-，若 C 5,bnan21an-,求数列bn的通项公式2r ,a1 1,an1 (12. (2009全国卷I理)在数列an中，-)annn 12nban(I )设n n，求数列bn的通项公式(7)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1.已知数列an满足an 1公d,a11

31、，求数列an的通项公式。an 2(8)对无穷递推数列消项得到第n 1与n项的关系例：1.(2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列an满足a11，an a1 2a2 3a3 L (n1)an 1(n 2)，求an的通项公式。2.设数列an满足a1 3a232a33n1an -，a N* .求数列 务的通项;3(9)、迭代法例：1.已知数列an满足an 13(n 1)2an,a15，求数列an的通项公式。解：因为an1a3(n 1)2n，所以又a15 ,所以数列an的通项公式为n( n 1)an八尸。(10)、变性转化法1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式例：已知数列an满足an1

32、2 3n a；，7 ,求数列an的通项公式。解：因为an 12 3n a；，內7，所以 an0， an 10。两边取常用对数得Ig an 1 5lg ann Ig3 Ig 22、换元法 适用于含根式的递推关系1 例:已知数列an满足an1存1 4an E)，a1 1，求数列an的通项公式。解：令 bn J1 24an，则 an 才©2 1)五、数列求和1. 直接用等差、等比数列的求和公式求和。n(a1 an)Snnajn(n 1)d2Snnai (qai(11)qn)公比含字母时一定要讨论,(q 1)1 q(理)无穷递缩等比数列时，Sai1 q例：1.已知等差数列an满足a11, a

33、23，求前n项和Sn2.等差数列an中，a1=1, a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=()A. 9 B 10 C.11 D . 123. 已知等比数列an满足a11,a23，求前n项和Sn4.设 f(n) 2 24 27210 L23n 10(n N)，则 f(n)等于(q- , B. |(8"1 1)2. 错位相减法求和：如：C. yd) D.討4 oan等差，bn等比，求a©a2b2anbn的和-a1 bl 1， a3 b521，的前n项和Sn 例：1 .求和 Sn 1 2x 3x2 Lnxn 常见拆项：侖2. 求和：Sn 1 $ 33a aaa3. 设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a5 b3 13 (I)求an , bn的通项公式;3.裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项(2n 1)(2n 1)切n数列a是等差数列,1an an 1的前n项和例：1.数列an的前n项和为Sn，若an1n(n 1)，则S5等于()A. 1 B . 5 C61302.已知数列an的通项公式为annn七，求前n项的和;3.已知数列