指数与指数幂的运算

1、指数与指数幕的运算【学习目标】1. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幕的运算性质(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确 进行根式与分数指数幕的互化；(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算.2. 掌握无理指数幕的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3. 通过指数范围的扩大， 我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4. 通过对根式与分数指数幕的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质

2、.【要点梳理】要点一、整数指数幕的概念及运算性质1 .整数指数幕的概念2 .运算法则(1)mnamanam nm n, aab要点二、根式的概念和运算法则1. n次方根的定义：若xn=y(n N , n>1, y R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为 yy；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为叮y ；零的奇次方根为零，记为 00 ；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为 ;负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为700.2 .两个等式(1 )当 n1 且 n N* 时，Vaa ；a,( n为奇数)| a I (n为偶数)要点诠释： 要注意上述等式

3、在形式上的联系与区别；尤其当根指数取偶数时， 开方后的结果必为非负数，可先 计算根式的结果关键取决于根指数的取值, 写成|a|的形式，这样能避免出现错误.要点三、分数指数幕的概念和运算法则为避免讨论，我们约定 a>0，n, m N，且m为既约分数，分数指数幕可如下定义:n要点四、有理数指数幕的运算 有理数指数幕的运算性质(a ) (ab)当a>0, P为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幕的运算性质仍适用 要点诠释：(1) 根式问题常利用指数幕的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幕运算；(2) 根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换

4、4( 4)2(4G)2 ；2 1(3)幕指数不能随便约分.如(4) 4( 4)2.2. 指数幕的一般运算步骤有括号先算括号里的； 无括号先做指数运算.负指数幕化为正指数幕的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幕的形式表示，便于用指 数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2- b2=( a- b) (a+ b), (a± b) 2= a2± 2ab+ b2, (a± b)3= a3± 3a2b + 3ab2± b3, a3- b3=( a- b) (a2+ ab+ b2), a3

5、 + b3=( a+ b) (a2-ab+ b2)的运用，能够 简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.求下列各式的值：门)仁7；(2)”( 1O)2；(3)欢3)4;(4)J(a b)2.a【答案】-3 ； 710 ；3; 0(a>b)(a=b)(a<b)【解析】熟练掌握基本根式的运算,特别注意运算结果的符号(1)也 10)2(3)V(3 )4|3(4)7(a b)2|ab|(a>b)(a=b)(a<b)【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是 2，但不是J42.（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运

6、算顺序是否可换，何时 可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（1） Q7 ；（ 2）97 ；（ 3）47 ；（ 4） 疽百.2（a 2）a（a 2）a【答案】（1） -2 ；（ 2） 3；（ 3） 4；（ 4）2例 2.计算：（1） J526 J7 4/3 J6 4/2 ;【答案】2j2;2j5 .【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2）,则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1） J5 276 J7 4灵 J6 4©=雨22372（72）2 +j22223小）2 -J222272（）2J（2 為2J（2 逅）2=1 73运

7、|+|273|-| 272|=7372+273- （2 72）逅1（血 1）（72 1）72 1（逅 1）（72 1）n次方，再解答，或者用整体思【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全1想来解题.化简分母含有根式的式子时， 将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，'42 1的分子、分母中同乘以（近 1）.举一反三:【变式 1 】化简：（1）J3 272 #（1 血）3丫（1 72）4 ；(2) JX2 2x 1 Jx2 6x9(1 x| 3)【答案】（1） J? 1 ; （2）2x 2( 34(1x 1),x 3).类型二、指数运算、化简、求值例3

8、.用分数指数幕形式表示下列各式（式中a>0 )：(1) a2Ta ; (2)a3 疗；（3）Toya ；（ 4）5a211a亍35a4 ； y4【答案】【解析】先将根式写成分数指数幕的形式，再利用幕的运算性质化简即可.1a2233(1)a23a 寸aa a31 1（a a勺221a 232a 33(a2)5异11a3 ;1 32 a(3)(4)2Ja石解法一：从里向外化为分数指数幕6 1(2f 32x V X Y y Xy / 2 (xx1y)212xy22=y_x5=y4解法二：从外向里化为分数指数幕.7点賂=(T点圧23 I 611236111=J-旳平卄-(于Vx y V xx y

9、 x6x3x5=y4y_3x112V(_47 V(37 m an(a 0, m,n N*,且n 1).当所求根式含有多重根号(1) 5a 42a ；Tx Vx此类问题应熟练应用【总结升华】时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幕写出，然后再用性质进行化简. 举一反三：高清课程：指数与指数运算例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简2x3(1) V8/2 ； (2/a(a0) ； (3)3【答案】(1) 210a肓；(2)【变式2】把下列根式化成分数指数幕:73113 【答案】212 ； a4 ； b3 ； x 5【解析】(1) 8/2=V23 27227212 ;3a4

10、；(3) b3 Vb2b32b311;"x硏2 Vx (x5)14x5Qx?5例4.计算：19 1(x5)31x5(1)1(0.0081) 4(3)081 0.25(33)73 3324【答案】3 ; 0; 2【解析】(1)原式= (0.3) 12)3 33(2) 原式=73/3 6即3 23/3 即3(3) 原式=-5+6+4-(3-)=2 ；注意：(1 )运算顺序(能否应用公式)； 举一反三：【变式1】计算下列各式：指数为负先化正;(3)根式化为分数指数幕1(1)(8)V273)6 ；-a341a" 8a3b24b"2ab【答案】112 ； a 【解析】(1)

11、原式=8(3)1(23r1(23)61(3丫32 2"22原式1a3 (a 8b)1 1 1(a3)2 2a3b3【变式2】计算下列各式：【答案】21 + 641a空a3 2b31a31(2b3)2高清课程：指数与指数运算1a3"'1(a)31a 8b)1(2b3)3(1a.33112 ;va.【解析】原式=1676+5+76+- ./6=21 + 6-4例5.化简下列各式.2 15x 3y2(1)15 3-x3y61m 2m m 12122m 2 m22(3) (0.027)'271250.52?91m2 ； 0.09124y6 ；(1)即合并同类项的想法

12、，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算;【答案】【解析】母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系;2 15x 3y2(2)对字(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)11y213y1m2m m1122m2m221m 2131m21 1m 2m2举一反三:0.52927(0.027)3125【变式1】化简:帖(耐.57【答案】x6y61 1 1【解析】原式=xy2(x2 y2)33注意：当n为偶数时，好|a|2【变式2】化简A_x 32y232xx333 157(xy2 x" y2)3x® y6.a(a 0) a(a 0).2y2y 3【答案

13、】2殛xy【解析】应注意到x2之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解,原式2(X3)3 (y 3)2332 2(X3)3 (yV22(xy) 32y32殛 xy【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幕；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：应V2 V326(3) Jx2 2x 13x3 3x2 3x 1【答案】【解析】(1)原式Q(418呵由平方根的定义得:(3) Q Vx3 3x22x(x2(x72(32 Tb/s73)232418 V2 (V2)J4庞26 痂近2 Q4(隔21)

14、1)1?23x 1 V(x 1)33x23x12x(x1)2(x1)高清课程：指数与指数运算例431 1例6.已知x2 x 23，求3-的值.x- xx2 x221【答案】【解析】1与条件x21Q x'2x3从已知条件中解出 x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果1x2123的联系，进而整体代入求值.x19,22 x49 ,2 x2 x453311x2x 23=(x2x2)(x12 x2 x24723(7 1)3 15145453【总结升华】 对于x 1)后代换”方法求值.本题的关键是先求“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简

15、3x22x的值，然后整体代入.举一反三：【变式1】求值:1x2(1)已知a>0,23 ; V325，求xb>0 ,且 ab=ba, b=9a ,已知【答案】【解析】熟练掌握幕的运算是关键问题1(1)由 x2求a的值.1O-1x 25，两边同时平方得 x+2+x =25,整理得:x+x-1 =23，则有(2)a>0 ,8 a9巩固练习一、选择题b>0 ,又 ab=ba,1998c2a 3 a1- (aYaabb1a (9a)91.若x1,则J1 6x29x等于()3A. 3x1B. 1 3xC.(13x)2D.非以上答案2.若aV(3)3, bV(2)4，则a b ()A

16、.1B.5C. -1D.253.计算£迈 1 232碇的结果醍()A.32B.16C. 64D.1281111 14.化简1 2 321 216 12 812 4 1 2 ，结果是(1A.1112 321B. 1 2 32C.132D.11 2 325.4等于（A.a16B.a8C.aD.a26.若 a 1,b0，且 ab a b2 ，则 abb的值等于（B.C.D.2二、填空题7.计算4"3v7 38.化简 7b (/b1)(12)=9. ( 2) 1(223)J310.若 a 3b2，化简12ab9b2)=三、解答题11.计算：2(1)1253116134331(2)丄

17、 0.027345030.0016412.计算下列各式:(1) (0.064)(2)341? 16 0.75 | 0.01F ；(2)1a2a b1b2ba212a2b21b"X2 1x 1X3113.计算:X3X31212巩固练习一、选择题1.化简13212 16，结果是132B. 1C.132D.1322.计算4找123 2血的结果是()A.32B.16C. 64D.1283.若a1,b0,且 ab a b2貶，则aba b的值等于()A.B.2c.2D.2)4.下列各式中错误的是1a -A.1(a1)B.4 b6(a,b0)C.12x"y3x1 24x4y324y(x, y 0)D.1 115a2b3c11525a 2b3c4-ac(a, b, c 0)515. 2"、33、66这三个数的大小关系为(1 1A. 661 1 13322 B. 6622133 C. 223366 D. 33221666.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x) g(x) ax aa 0,且 a 1，若 g(2) a，则f(2)(A. 2B.7 c.174D.二、填空题7. (血)28. 2'