极坐标与参数方程

1、1.人坐直角坐标与极坐标的互化1.y昨J)I2.y= pin 0 tan直线的极坐标方程若直线过点 M( P,0= yxM 000)，且极轴到此直线的角为a,则它的方程为pin( 0- «)= psin( 0把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(p 0)，则x= pos 0 p= X2+ y2几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0= a；直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：pcos 0= a;n(3)直线过点M(b，刁且平行于极轴：pin 0= b.3.圆的极坐标

2、方程若圆心为M( p，0)，半径为r的圆的方程为 p- 2ppcos(0 00)+ p- r2= 0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r: p= r;圆心位于 M(r,0)，半径为r: p= 2rcos 0 圆心位于 M(r，n)，半径为r: p= 2rsin 0.4.直线的参数方程x= X0+ tcos过定点M(X0，y0)，倾斜角为a的直线I的参数方程为y= y0+ tsin aa,(t为参数).5.圆的参数方程圆心在点M(xo,yo)，半径为r的圆的参数方程为x= X0+ rcos 0，(0为参数，0W 0< 2 n.)y= y0+ rsin 06.圆锥曲线的

3、参数方程x2 y2x= acos 0(0为参数).(1)椭圆丐+ 72= 1的参数方程为a by= bsin 0，、一x= Zpt2抛物线y2= 2px(p>0)的参数方程为y=2pt真题感悟(2013广东)已知曲线C的极坐标方程为尸2cos 0以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为 .2.x = t（2013江西）设曲线C的参数方程为2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点,y=tx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C的极坐标方程为 .3.x= acos 0（2013湖北）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（0为参数，a>b>0）

4、,y= bsin 0在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以x轴正半轴 为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为 psin （ 0+ n =¥m（m为非零常数）与p=4.b.若直线I经过椭圆C的焦点，且与圆 0相切，则椭圆C的离心率为（2011陕西）在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,x= 3 + cos 0,（0为参数）和曲线C2： p= 1上，则AB的最设点A, B分别在曲线C1：y= 4 + sin 0小值为5.（2012湖南）在直角坐标系xOy中，已知曲线x= t+ 1,C1：y= 1 - 2t （t为参数）与曲

5、线C2：x= asin 0,（0为参数，a>0）有一个公共点在x轴上，则y= 3cos 06.2014广东卷（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中, 2 pcos2 0 = sin 0与pcos 0 = 1.以极点为平面直角坐标系的原点, 立平面直角坐标系，则曲线 C1与C2交点的直角坐标为 曲线 极轴为Ci与C2的方程分别为 x轴的正半轴，建7. 2014湖南卷在平面直角坐标系中，曲线C :返 x= 2 + 专t,y= 1 +专t（t为参数）的普通方程为.&2014陕西卷C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点2,三到直线P6sin0-n=1的距离题型与方法题型一极坐标与

6、直角坐标、参数方程与普通方程的互化p= R2sin 0+ n_一X = t,【例1】已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程:y = 1 + 2t（0为参数）.（1）将直线I的参数方程和圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）判断直线l和圆C的位置关系.x= 2t,L变式训练1已知直线I的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为p= W2y= 4t + ancos 0+ 4 .（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;若圆上有且仅有三个点到直线I的距离为羽，求实数a的值.题型二曲线的极坐标方程例 2】在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极n坐

7、标方程为 pos 0 3 = 1, M , N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M, N的极坐标;设M , N的中点为P,求直线0P的极坐标方程.变式训练2 (2012辽宁)在直角坐标系xOy中，圆Ci： x2 + y2= 4圆C2： (x 2)2+ y2= 4.(1)在以0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1, C2的极坐标方程,并求出圆C1, C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.题型三曲线的参数方程及应用例 3】(2012福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直

8、线I上两点M , N的极坐标分别为(2,0), 迥n，圆C的参数方程32(0为参数).0x= 2+ 2cos 0,为 y= V3 + 2sin设P为线段MN的中点，求直线0P的平面直角坐标方程;(2)判断直线I与圆C的位置关系.变式训练3已知直线I的参数方程是x=(t是参数)，圆C的极坐标方程为Py=22t + 4返=2cos( 0+n -(1)求圆心C的直角坐标;由直线I上的点向圆C引切线，【典例】(10分)在直角坐标平面内，以坐标原点求切线长的最小值.0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐L nx 1 + 2cos a,标系，已知点M的极坐标为4>/2, 4，曲线C的参数方程为(a为

9、参4y= V2sin a数)(1)求直线0M的直角坐标方程;求点M到曲线C上的点的距离的最小值. 规范解答x= cos a,1.已知圆C的参数方程为(a为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建y= 1 + sin a立极坐标系，直线I的极坐标方程为pin 0= 1,则直线I与圆C的交点的直角坐标为x= cos a,2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数）.在极坐标系（与y= 1 + sin a直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为 pcos 0- sin B）+ 1 = 0，贝y Ci与C2的交点个数为3.x= 2 +

10、cos 0y ,亠 十点P（X, y）在曲线（0为参数，0 R）上,则x的取值范围是y= sin 0xx= 1 2t,4.若直线l1： y= 2+ ktx= s,（t为参数）与直线l2： y= 1 2s （s为参数）垂直，则k=6.x =t,（2012 东）在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（t为参y=V t数）和y=72sin 0x=/2cos 0,（0为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为专题限时规范训练、填空题1.曲线C:x= 2 + 2cos a（a为参数），若以点O（O,O）为极点，x轴正半轴为极轴建立极y= 2sin a2.坐标系,则该曲线的极坐标方程是已知

11、两曲线参数方程分别为x=/5cosy= sin 00,x= 5t2,（0 W 0<冗和4 （t R），它们的交点y=t坐标为3.已知曲线C的参数方程是x= acos 0y = V3s in 0（0为参数，a>0），直线I的参数方程是x= 3+ t（t为参数），曲线C与直线y= 1 tI有一个公共点在 x轴上，则曲线 C的普通方程4.（2013重庆）在直角坐标系xOy中，以原点若极坐标方程为pcos 0= 4的直线与曲线O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x = t2,y = t3（t为参数）相交于A，B两点，则AB二、解答题x= 1 + t,5.设直线l1的参数方程为.（t为

12、参数），直线l2的方程为y= 3x + 4，求l1与l2y= 1 + 3t间的距离.x= 5cos 0,6.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（0为参数）的右焦点，且与直线y= 3sin 0x= 4 2t,（t为参数）平行的直线的普通方程.y= 3-17.（2012江苏）在极坐标系中，已知圆C经过点P J2, n,圆心为直线pin 0- n极轴的交点，求圆 C的极坐标方程.I X2cos 0（其中0已知直线的极坐标方程为Pin 0+ n_老，圆M的参数方程y_2+2sin为参数），极点在直角坐标原点，极轴与 x轴正半轴重合.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;求圆M上的点到直线的距离的最

13、小值.9.在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线X= 2+专 t, y= 4+专 t,=2acos 0a>O）,已知过点 P（ 2, 4）的直线I的参数方程为与曲线C分别交于M , N两点.（1）写出曲线C和直线I的普通方程;若PM , MN , PN成等比数列，求 a的值.10.C: pin20直线IX轴的非负半轴为极轴建立极坐n（2013福建）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，标系，已知点A的极坐标为（寸2, n，直线I的极坐标方程为pcos（0 4）= a，且点A在直线I 上.（1）求a的值及直线I的直角坐标方程；X_ 1 + cos a,（2）

14、圆C的参数方程为y_ sin a（a为参数），试判断直线I与圆C的位置关系.2013、2014年全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程一、选择题1 . （ 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WOR版）在极坐标系中，圆p =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为A.=0(R)和 cos=2B.= 2(R)和 cos=2C.=（R）和 cos=12二、填空题2 . （ 2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）D.=0(R)和 cos=1）已知圆的极坐标方程为 4COS ,圆心为C点P的极坐标为 4,一 ,则I Cp =33 . （2013年高

15、考上海卷（理）在极坐标系中，曲线 cos 1与 cos1的公共点到极点的距离为.（2013年高考北京卷（理）在极坐标系中，点（2, _）到直线 P Sin e =2的距离等于6.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）在直角坐标系xOy中,以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4的直线与曲线 x t （为参数）相交于A, B两点，则|AB y t3.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WOR版）（坐标系与参数方x 72 cost程选讲选做题）已知曲线 线为，以坐标原点为极点C的参数方程为y血Sint（为参数）,C在点

16、1,1处的切 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为.（2013年高考陕西卷（理）C.（坐标系与参数方程选做题）如图,以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆X2y2 x 0的参数方程为.（2013年高考江西卷（理）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为x t2 （为y t参数）,若以直角坐标系的原点为极点 ，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为.（2013年高考湖南卷（理）在平面直角坐标系 xoy中，若X t,、r 厶业L 、_kjjr4ri=rrX 3COS ,l :（t为参数）过椭圆C:y t ay 2si n（为参数）的右顶点,则常数a的值为x a co

17、s10 . （ 2013年高考湖北卷（理）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a b 0 .在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单y bsi n位，且以原点 0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线与圆0的极坐标方程分别为sin 4 Wm m为非零常数与b.若直线经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为 三、解答题11. （ 2013年普通高等学校招生统一考试新课标n卷数学（理）（纯 WOR版含答案）选修4 4;坐标系与参数方程X 2cos已知动点P，Q都在曲线C: y 2sin （为参数上，对应参数分别为2 (02 ）, M为PQ的中点.（I）求M的轨迹的参数方程；

18、 （n）将M到坐标原点的距离d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点12.WOR版）选修4-4:坐标系与（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ 参数方程 在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为4sincos 2血.413.14.（I）求G与C2交点的极坐标；(II)设P为Ci的圆心,Q为Ci与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为t3 ab 3 t R为参数，求a，b的值.bt3 12（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WOR版）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为（J2,），直线的极坐标方程为cos（-） a，且点A在直线上.44（1）求a的值及直线的直角坐标方程；X 1 cos（2）圆c的参数方程为，（为参数），试判断直线与圆的位置关系y sin（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） C.选修4-4:坐标系与参数方程本小题满分10分.（已校对纯 WOR版含附加题）在平面直角坐标系X t 1Xoy中，直线的参数方程为y 2t （为参数），曲线C的参数方程22ta n2ta n（为参数），试求直线与曲线C的普通方程，并求出它们的公