第4章习题解答线代解几

1、第四章空间与向量运算 习题一1(1)AB(1,3,O)BC(5,0,0) CA(4-3,O)72 2 2,十(2十1)十(1-1)104, O)在xoy面上2a (3 ,C (3, 0, 0)在x轴上33u 2v = 3 (a b+ 2c) 24B (0, 4, 3)点在yoz面上D (0, - 1, 0)在 y 轴上 (3b c) = 3a+ 3b + 8cC设四边形 ABCD中AC与DB交于O,由已知 AO = OC , DO = OB 因为 ab = AO + OB = OC+ DO = dc,ad=ao+od=oc+bo=bc 所以abcd为平行四边形。5Prjur 7cos(?u)=

2、4* COS60 =4X于=2a/3设起点a为(xo, yo, zo)PrjxAB F-Xo)=4PrjyABpT-yo)=-4 卩立 AB = (7 - 勿=7解得：Xo = 2y0 =3zo =076coscosa=( 2,- 1,b=(4,-2,2)-2-7622+(-1)2cosY =COSa76I 2224 +(-2) +2cosY =-J6b0COSQtV6b|costc=(6,-3,3)coscos-46cosY =d=(-2,1,-1)To与前三向量单位同的 d8.(1)cosa =0(2)cos P =146tl22-7(-2) +1 +(-1)=J6cosa-2cosY =

3、-J6= 4-J6表明向量与X轴垂直;表明向量与y轴平行;(3) cos。=cos表明向量既和 X轴垂直又与 y轴垂直，即垂直于 xoy面。9.设向量的方向余弦为cosG.cosP.cosY。由已知P=aY = 2a，又寫 cos2 a + cos2 P +2 cos222222 r ,1即 cos a +cos a +cos 2口 =1= 2 cos + (2 cos a _1) =1= cos = 0或 CosP = -10( 加题 )iAABC中，D为BC边中点，证明 AS=(AB + AC5。2证明：由三角形法则 AD=AB + BD AD=AC + CD 又 D为BC中点。.BD =

4、 -CD.,.1 两式相加得 2AD=AB+AC,即AD=-(AB + AC)。11(加题)试证点 A (-3,3,3), B ( 5,1,1) , C (-1, 5,1) , D (-1,-1, 5 且一个 正四面体的四个顶点，且此四个顶点到原点的 距离相等。证：由距离公式得：IAB = J5-(-3)2 +-1-(3)2 =672同样可得|AC =说明四点中每两点得距 离均相等，每三点都可 作成一个正三角形，这 样得正三角形共四个, 但平面内得四个点不可 能作成四个正三角形，由距离公式：|oA =|oB =|oC =|od|二&丘。AD=BC = BD = CD =672习题1(1)a b

5、 =|a|b|cos日=3咒4、兀cos =6；3= 4x4 1 =16；a2 -b2 =9 -16 =-7;2L .2-(2)b b = b b cos日(a + b) (a - b)=(4) (a-2b) 13c-12-3ab3-312= -(b9c (ca ) c = 012 1证：a =-1,3,2.e2b=2,-3,-4”耳丿2c = -3,12,6X2解:t1 )(axb)c(2 Jaxb 卜(axe)=115解:-10 -1-1 10 -1-11 1 C1 10I0 1=2OA = fe,3,1OB =12,2 OC=fe,1,41V =舀(OAxOB)OC21:=6-1习题三1

6、.( 1)由点法式：O(0,0,0)A(1,3,2)贝 y OA= 1,3,2 2(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0, 即 2x+2y+3z-7=0B(2,-1,-1)OB= 2,-1,-1 n=i +5j 7k所以法向量为 -1，5,-7-1-1-(x-1)+5(y-3)-7(z-2)=0 即 x-5y+7z=0由点法式：设平面法向量为 A, B, C ,由点法式平面方程：A(x-2)+B(y- 3)=0因为：平面平行Z轴，所以：法向量垂直 Z轴 即(A, B, C ) (0, 0, 1)=0= e=0A B = -4, -2, 0 , A B 丄 n.即(-4 ,-2,0)*(A,

7、 B, C)=0即A-2B=0= B=-2A 代入 *A(x-2)-2A(y-3)=0 两边同时除以 A 得方程：x-2y+4=0平面法向量为 n= 7, -3, 1 ,由点法式，平面方程为：7(x-1)-3(y+z)+(z-3)=0即 7x-3y+z-16=02.(1)过原点且以2 , -1,-1 为法向量的平面y4.表示平行于Z轴的平面，且过 XOY面上的直线： -x+3y+6=0表示平行于y表示平行于Z轴的平面，且过 XOY面的直线：x+y=O3.(1)n1n1n12, 0, -1 1,2, -1 两平面平行2, -3, 1 n2 5,1,0 n2 2, 4, -2 n2 5, 1, -

8、7 平面斜交1/2=2/4=-1/-2-2 *5+(-3) *1 + 1 *(-7)=0两平面垂直AB= -5, -4, 1 AC= -4, 2, -6 n=-5-4= 22i -34 j -26k法向量为 11 , -17, -13 -42二由点法式:11(x +1) -17(y +2)-13(z-2) =0 即11x -17y -13z +3 =05.设平面法向量为n平面与另两平面垂直，则平面法向量也与另两平面法向量垂直n=ijk1-24= 16i+14 j +11k n 为-16，14，11 3.35-2由点法式，平面方程为：-16(x-2)+11(z-8) =0 即16x+11z+12

9、0=06.Ax0 + By。+Cz0 + DVa2+b2 心2*1 +(-2)*2 +1 *3-3J22 +(-2)2十12= 2/37.(1)cos日=2(-1) +(-2)*7+6-3J22 +(-2)2 +1= 13/32 *8+(-2) *3+(-4) -3|= 22/3A,A2 + B1BC1C2|4*3 + 2*(-4)|/(A2+B12+C12)(A22+B22+C22)讥42 +22 + 42)(32 +(4)2)20 =26 *5 3所求夹角为arccos2/38.1 .2 + (1) *(1) +1 *(3)COS0 =, ,+(-1)2 +12J22 +(_1)2 +(_

10、3)厂0/.所求夹角为兀/2设所成二面角平分面上任一点为（X, y, z）,该点到两平面距离相等X -2y +2z +217x +24y -50|J12 +22 +(2)2厅 +(24)2 +02习题四2x+10y+15Z-155 =0 或 12x 10y+34z+55 = 0(1)取直线方向向量 AB= -2,-2, 6 由直线对称式方程X -3 _ y -5 _ Z + 2-1-1直线与取直线方向向量X + 2z 4 = 0ly +3z 5 =0AB= 0 , 0, 1 则直线的方程为x-1 = 0ly 1 = 0平行，则直线的方向向量t同时与两平面的法向量垂直直线方程为-3解：先求出这条

11、直线上一点(X0,y0,Z0)取 X0 =1= y。=1 Z0 =11 -1+ j +3k二对称式方程为:X1yT zTx= 1-2t参数方程为:=1 +tix=1 + 3t直线的方向向量t =1 -2_16i +14j +11k-2它可作为所求平面的法向量，由点法式:-16(x-2) +14y+1(z+3) =0即 一16x+14y +11Z+65 =0两直线的方向向量可分别取为t1 =j-3-2t2 2 2-1= 10i -5j +10kc oSh讥2|t1t2t10t2(1)寫(2) *4+(7) (2) +3(2) =0二平面与直线平行(2)=3,2,7 n =3,2,7二平面与直线垂

12、直(3) 3 *1 +1 *1 +(4) *1 = 0平面与直线平行又(2 , -2 , 3)满足平面方程x + y+3z = 0直线在平面上T 直线平行于两个互不平行的平面二t同时垂直于m门2 （平面法向量）-3=2i +3j +k二所求直线方程_2ik9.设tit2 =t2分别为两直线的方向向量,2 -1 11 -1 1t1-1-1 = i - 2 j 3k=-j 一 k设n为所求平面法向量n = tt2 =-2-1-1由平面点法式方程：-(X-1) + (y -2)-(z-1)=0即 x-y + z=0过点p(3,-1,2)作与直线垂直的平面，设平面与直线的交点与P距离即为所求。设与直线

13、垂直的的平面法向量为-1=-3i-3k则平面方程为:3(y +1) + 3(z-2) =0 即平面与直线的交点为10.X +y -Z +1 =0*2x-y+z4=0 的解二y + z-1 =0X =113z = 一2pp，= J(31)2 +(1 +1/2)2 +(2 -3/2)2 =342作过已知直线且垂直于已知平面的平面，设平面与已知平面的交线即为所求，过直线的平面束方程为(2x4y+z) +几(3x y2z 9) = 0即(2 + 3 扎)x (4 +) y + (1 2 扎)z 9 扎=0由 垂直 条件(2+3 肋 x4+(4 +A)+(1 -2k) =0=兀=卫11过直线且与已知平面

14、垂直的平面为:11(2 + 3%m)x-(4+卫)y + (1-2xm)z-9xP = 0 即八11111117X + 31y-37z-117=0 即所求直线方程为 j173137-11 04x - y + z = 1习题四添加题11.判断直线I与平面兀的位置关系，l :X-5 y + 4 Z-1-2X +ky 5z 10 = 0直线的参数方程为y = 2t - 4 f代入兀中整理得z =3t +13k + 30当k H 7时，I与兀有唯一交点，交点为 ( k + 718 5k+8) k + 7 k+7当k = -7时，方程无解，即直线与平面平行12.判断m为何值时h与12相交？l1 :X +

15、2 y z 1y1Z-7解:t1 =2,4tt22-34P1(2,0,1)p2 (3，1，7)分别在l1 l2 上，P1P1= 5,1,6 方向向量t2 =m,4,2，令p1P2 t1二m = 3时，h与l2相交。t2=1习题五设动点M (X,y, Z),AMBMJ222222i(x-1) +(y-2) +(z-3) 7(x-2) +(y-3) +(z-1)等式两边平方化简得:2x + y 2z= 0。（2 2 2 /设 R 为球的半径，R =+3中2=114, 则球面方程为2 2 2(x-1) +(y-3) +(z+2) -142 2 2寫方程中x，y，Z系数均为1,且不含xy，yz，zx项

16、/.方程为球面，整理得：2 2 2 2 2 2x +y-6x+8y+10z+10 =(X -6x+9)+(y +8y + 16) +(z +10z + 25)-492 2 2即(x-3) +(y+4) +(z+5) =49球心为（3， 4， 5），半径为7的球面。4J 2222(1 )2 2 2即得 4 X -9y + 4 Z =36。将Ny + z代入z =5x方程中的z后，即得y将兰t + z代入4x 9 y 36方程中的x后,(1)J 22心+y代入2 2Ui942亡+J12 2x_+yayxI LB Jy=1方程中的x后，即得X2(1)z = yX是xoy面上的椭圆绕X轴旋转生成的。是

17、xoy面上的双曲线2 2Z -y=1绕x轴旋转生成的，或是XOZ面上的椭圆=1绕y轴旋转生成的。2是xoy面上的双曲线X42-y2X +=1绕X轴旋转生成的。4 z是xoy面上的椭圆绕x轴旋转生成的。2眷+22z=1绕y轴旋转生成的，或是=1绕X轴旋转生成的，或是2+ y =1绕x轴旋转生成的或是 xoZ面2X + z2 = 19乙yoz面上的椭圆XOZ面上的双曲线2上的椭圆普+ z2 = 1X22z x9uK 構圆抛物面y2(3)4X +92y2-Z =36单叶双曲面y8.(1)22cXy=0是Xoy平面上的两直线(2)22cX-y=2是平面z =1上的双曲线(3)2X =2z是平面Xoy面

18、上的抛物线(4)X2 -1 =2z是平面y =1上的抛物线(5)y2 =-2z是yoz面上的抛物线(6)21 -y=2z是平面X =1上的抛物线y =xy =X9.(画图).投影曲线为y 2葺2x，原曲线是旋转抛物面2x =y2 +异与Z =3平面所截的抛物线解；母线平行于X轴且过轴线的柱面方程：3y 22f xv16，是yoz面上的双曲线, 2/.3x +2y 勻6为椭圆柱面 Z2 =16，准线方程:T 3y2 Z2 =16为双曲柱面，母线平行于y轴且过曲线的柱面方程为3x2 +2y2=16，准线为F；216，是xoy面上的椭圆11.将z =1 X代入球面方程得投影柱面:X +y2 +(1 -x)2 =9，在 xoy面上的投影为 Jx2 +y2 +(1X)2 =9 jz =012.将y =3代入y2 tz2 2x =0得投影柱面：y2 + 9-2x =0+9 =2x13.(1)是在x =3平面上的一个圆，以（3, 0, 0）为圆心，4为半径(2)(3)长为14.是y =1平面上的椭圆，长轴为 V2且平行于x轴，短轴为上晩，且平行于z轴3是z =2平面上的双曲线，虚轴于 y轴平行，实轴