第7章机械控制

1、高等数学同步作业册第七章多元函数微分学5作业1 多元函数1.填空题2("y)(1)已知函数 f lx+y,-Xx .求下列极限/ 八3-j9 + xy(1)lim xT y-O-y2，则 f(X, y)= X d) I X丿2 + 2 (2) z=arcsin + Jx2 + y2 -4 的定义域是( x, y |4 < x2 + y2 <9;9'(3) z =lnxln(y x)的定义域是(X, y,XAO,yAX +lu(x, yxcO,xcy<x +1；iSin xy X H 0全平面(4)函数f (X, y)詔 X '的连续范围是Ly,x=0

2、(5)函数 z=y： +2x 在y2 -2xy2 =2x处间断.xy解：lim心日辽0xy= limT tSi-lim LT 3 + J9+tt1=一6(2) Em(x2+y) e切 y-卷解: y =x3鉴(xy-y2)e曲刊)=0(x + y)2/X也-2xryeJ由于坠te丄=lim r = limete1t22t27 =0，t坚 te =愎整 e"=愎1=0，故 xm(x2+y2)y jfcc=(X + y) 2e"初-2xeyey = 0 yji=c3.讨论极限lim冯 x6 + y2是否存在.kx6解：沿着曲线y七匕宀心0）,有也p 土巳以6+k2x6 一仆2k

3、而异，从而极限lim 62+y不存在2xy4.证明 f(X, y) = X2 2'+ yX2 +y2 H0在点（0,0）分别对于每个自变量 x或y10,都连续，但作为二元函数在点（0,0）却不连续.解：由于 f (x,0)三 0, f (0, y)三 0,从而可知在点（0 , 0）分别对于每个自变量x或y都连续，但沿着曲线2xyiyF 有 jy2=lim2kx2TX2 +k2X22k笃因k而异,1 +k2从而极限lim f（X, y ）不存在，故作为二元函数在点（0,0）却不连续.院系班级姓名作业编号，则 fX(3,415作业2偏导数1. 填空题(1 )设 f(x,y) =x + y-

4、Jx2 + y227(2)(3)设 f (x,y ) = In2X丿X 二y)(3)设 u = xz2 +sin yc4uEx2® 找X2 +在点（2,4,5 ）处的切线与Ox轴正向的倾角是 4cucu证明2x+ y =0.excy证：因为灵X=e7 -2x所以2£X+膚-2x=eXX7 2x-2x=0y2+e3.设 z = yIn X +，求C2zc2z2 CXcxsy解：z=eInXInyu吊&I从而=eCXIn X In yIn y-2c zX /eIn xIn y<InIn X In y In yIn2 y Tn y mxy=e a f <Xcy

5、In xIn yIn y In X 丄 ”一二 ”+ eIn X In y1 In y In X +1xyIn XyX4.设 u =zarctan,证明y矽2左2".解：因为=z ”一1yzcu0 - yz ”2x-2 xyzcxx2 + yX2 + y2cu-x-xzcu0 - xz "2 y2xyzcucz1+R2 . 22X +ycy厶9.2,2：* 2 ,2 f(X +y )(X +y )-.2= arcta n竿=0, y ex2-2所以程+门rucz22xyz 十2.2 丄2 f/ 2 丄 2 .(X +y )(X +y )2xyz 尹0 = 05 .设函数f(

6、x,y)Jx2(x2+y2)叫【0,xhOX =0(1)试求f (x,y )的偏导函数;3 2 1222 1 -1解：当 X HO, fx(x, y )=(4x +2xy )sin一十x (x+y )cos、一 xx)cosxfy(X, y ) = 2x2ysin1，fx (x, y ) = (4x 2 1 2 2 1fx(x,y) = (4x +2xy )sin-(x +y )cos XX(2)考察偏导函数在(0,3 )点处是否连续.2 1lim fy (x,y ) = lim 2x ysin - = 0 = fy(0,3 )，故 fy(x,y )在(0,3 )点处连续, x +2xy2 )

7、sin1 - (x2 + y2xx当 xKO'fxWMnfLHx-0x2(X2 + y2 )sin-0=0f (0, y + Ay f (0, y )0-0Ay -0xMfy(0，y)PmoAy 0jyrno=0，从而fx(x, y )在r 321221lim fx(x,y ) = lim |(4x + 2xy fein-(x +y )cos 冯爲rxx(0,3)点处不连续作业3全微分及其应用1.填空题(1)z = f (x, y)在点(x。，y。)处偏导数存在是z = f (X, y)在该点可微的必要条件；(2)函数Z =x2y3在点(2,1 )处，当Ax =0.02, Ay = -

8、0.01时有全增量Az= 0.2040402004,全微分 dz= 0.20;(3)设Z = f(X, y)在点(xo , yo)处的全增量为Az,全微分为dz，则f (x, y)在点(X0 , y。)处的全增量与全微分的关系式是Az = dz + o(dz )；xu =_在点(0,1)处的 du = dx ；/xy2u = (ln y)cosx,贝U du = (In y)cos-ln ln y sin xdx + cosx d'Lylny xxf zzX)= (-)z,则du = (-)Z I dx dy+1 n-dz ;yylxyy丿1 1 2 2 2 -i,贝 y du=_ (

9、X +v +z )2()亠2.证明：f (x,y)= jfxyVx 十 y +z_2在点(0,0 )处连续，fx(0,0 )与fy(0,0 )存在，但在(0,0)处不可微.证：由于 f(0, y) =0, f(x,0) =0,从而 fy(0,0) =0, fx(0,0) =0.但是Az dzJAx 'Avljm = Ijm 不存在，从而在 (0,0 )处不可微.铝0如2+与2舲Jax2化v23 .设函数1/2 2 1x +y >i n 2 丄 2, f (x,y )才x +yb，2 2 _X +y H022cx +y =0试证:（1）函数f （x,y肛点（0,0 ）处是可微的;证

10、：因为fx（0,0）=ijmf（x,0）-f（0,0）=四2.1 cX sin字-0=0, fy(0,0)=0X0Az-dz2 2)+(Ay)2 2(Ax) +(Ay )n=lima1 2 2(x) +2y) =0所以函数f （X, y ）在点（0,0 ）处是可微的（2）函数fx（x, y ）在点（0,0 ）处不连续.2 2 1证：当 x+y H0, fx(x, y )=2xsin 2 X + y2xx2 + y21C0S右i12x匹 fx(X, y 尸热 l2xsin 右- RCOS12 + 2X +y丿不存在,故fx（x,y ）在点（0,0 ）处不连续作业4多元复合函数的求导法则1.填空题

11、(1 )设 z =u21nv,u = y, V = 3y 2x，则X-=-算 In (3y -2x)-&X3'' x2(3y-2x)、 2 2(2)设 z = X y -xy , X = u cosv, y = usin v，则Cz333=u (sin v+cosv-sin2vsinv-sin2vcosv )；xl+y2xx-yFz22Cuz I(3 )设 u=(x y),z=x +y，贝U = (xy) |2xl n( ex|_dz(4)设 z = X2y =sin X，则二=2x + COsxdx2 Jsin X2. 求下列函数的偏导数(1)设 u = f I-,-

12、,其中Vy z丿f具有一阶连续偏导数,求竺，理和竺解：皀=1f1 cu1 L = ，丁 =y y：1W + f2 .弓 f1y z y+ "启"2 务耳f2z cz z z(2 )设u = f (x,y,z), zN(y,t),ta(y,x )，其中f严严均可微，求皀和皀 dxcy解：因为 du = fidx + fzdy + fsdz, dz = Widy + zdt, dt =屮 idy + 屮 2dx从而 du = tdx + f2d f3 卩idy + 护2(屮4+ 屮2dx)= (fl+f3®2屮 2 )dx+(f2 +f3®i+ f3 釁 1

13、 )所以色= fl+f3叩2且半1“笃屮1 excy3. 验证下列各式(1)设z=/一-，其中f(U )可微，则丄+l°z zf (x -y )x y2dxf2cz 1 2y2 创f f2_ 1 2xyf 1 f 1 + 2y2fx cxy cy cxx f2yjfyf(2)设 z =L+<P(xy )，其中3x可微，则X2 -xyexcyy2 =0.Fz证：因为所以x2dx3x2Fg1h歙 xfy)cz_xy 丁 + y excys 2 = x2 L 2V 3x2+ 艸'(xy)-xy空+ X申 xy )J+ y23 +x2y珥xy )-y-x2yA(xy )+y2

14、=0334.设 z=xf2x工,其中函数f具有二阶连续偏导数，求c2zcxdy解：因为纟=f + x.f"ex+ f22、-y=f + 2xf1 -xf2,C2z所以 'If +2xficxbyby _2yxf2 卜乎 f2+2xfl22y 2y2yxf22別x2y3=42f22二阶连续偏导数，试证：4 .设U =(Y) + X屮()其中函数W，屮具有xxj-2j-2j-22° U 丄cC U 丄 2° Uc-2exx r+2xyr+y =0<xcycy证:2因为屮/屮"ur _ 2 dxxex2cudxdy_ 1 申 _ y g I， y

15、 屮 ”ux=5+屮x从而左边=x2x4x3” |+2xyy匚丄心XjX屮"卜 k xy2f Cp ” 屮 w、y匸厂0作业5 隐函数求导法1.填空题(1)已知x3 +y33xy=0,则 = J ;d x X y(2)已知x+2y+z-2网=0，则乞近-xzcy xy -何，(3)已知2z . z dy yzln zdxy，贝 y dz =;xy - yzln y(4)已知cos2 x+ cos2y+cos2z=1,则 dz= 欢0 中 S2 z(5)已知z = f(xz,z y )，其中f具有一阶连续偏导数，则,zf1dx-f2dydz= 1-Xf1-f2咅z2.设F(y + z,

16、xy +yz)=0,其中F具有二阶连续偏导数，求一勺 ex解:czF1+ F2dx(y+y竺LO戶楚二V 如ex F1 + yF2-yF2l2c z-2exF2-l-yM R+yF?丿F21 Nx + F22 (y + yzx )(F1 + yF2 )- F2R + yF?】；=-y2(F1 + yF2)3(F1 +yF2 )2,2z = X + y3.求由方程组4 222Lx2 +2y2 +3z2 =20所确定的y(x )及z(x )的导数及dz d x d xy2 (F21F2 - F22F1 )丄 y2F2 F2 ( F11 + yF21 ) + F1 ( F12 + yF22 )=T2

17、 -(F1 +yF2 )解：由已知炉=2xdx+2ydyJdz-2xdx=2ydygxdx +4ydy + 6zdz = 0fxdx +2(dz 2xdx )+6zdz= 0f-2xdx +(2 + 6z pz =0jxdx +2ydy + 3z(2xdx +2ydy ) = 0dzdxx dy x+ 6xy1+3z 冷X2y+6yz4.设函数z = f (u又方程u =w(u)+ Jy P(t)dt确定U是x, y的函数，其中f (u)与® (u )均可微；P (t),A(u )连续，且 A (u)H1.试证：P(y)乞+ P(X)竺=0.exdy证:因为一=f'(u)巴,

18、一=f'(u)竺, exdx dycycuAs|x+pg 鬟P (X)1-'(u )= A(u)皀-P(y)灵 cydy-p (y)1 A(u )czC" 氐 C r -P(y) + P(x) = p(y)f(u>品+ PW& = 0<xeVf(u)具有二阶连续偏而Z = f (eXsin y)满足方程解:C2z2rexcy2 =ze2x，求 f (u).因为一=fex叮 X.CZr”/(u )e sin y, = f (uexXexsin2y ) + f 7u )ex sin y<z-.2-片 .XD z=f (u )e cosy, =2-

19、2-2c z + c z/excy-2 2=f "(u )e2x = f (u)e2x,= f "(u ) f (u) =0特征方程为r2 -1 = 0,* =12 = -1, f (u )=c,eu pe作业6方向导数与梯度1.填空题在梯度向量的方向上，函数的变化率(1)最大函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的函数z= 4x2+9y2在点(2,1 )的梯度为 gradz =16,18；函数u= xyz在点(1,1,1)处沿方向丨=cosot,cosP,cosY的方向导数是cos +cofs+cos且函数u在该点的梯度是1,1,1 ；- 2(5)函数U =excos(y

20、z)在点(0,0,0)处沿方向丨=2,1,-2的方向导数是 一；3(6)函数u =1 n(x+Jy2 +z2)在点A(1,0,1)处沿A指向点B(3, -2, 2)方向的方1向导数是丄.22 2 22.求u =x + y z在点A(a,0,0)及点B(0, a, 0)处的梯度间的夹角.解：gradu A = 2x,2y,2z a =2a,0,0gradu b =2x,2 y, 2z b =0,2 a,0夹角余弦为cos®=Jg空业吐=0 =gradu A ' gradu3.求二元函数z =x2 xy+y2在点(1,1)沿方向 <2,1的方向导数及梯度，并指出z在该点沿那

21、个方向减少得最快？沿那个方向z的值不变?解：gradz(41 厂 bx - y,2 y-x%)=-3,3W 2 1 12 1 I W5丨珂石壽i，亍十彳弩石鬲三r 1-1 Iz在该点沿梯度相反方向，即 te扁方向减少得最快;沿与梯度垂直的那个方向，即丄,方向z的值不变72jxy _2y4.设X轴正向到I'得转角为a，求函数f（x,y ）= Wx2 +0,2 2x +y =0I在点（0,0 ）处沿着方向的方向导数.解：N =cosa,sina,cosa = ,si not由于该函数在点（0,0 ）处不可微，从而不能用公式,I只能由定义得出沿着方向r的方向导数:f f(x,汁 f(0,0)

22、 cI4xy='吠号书代2 7x2皿5-2sin2°作业7偏导数的几何应用1.填空题(1)已知曲面z=4 x - y上点P的切平面平行于平面 2x + 2y + z = 1，则点P的坐标是(1,1,2)；(2)曲面z-ez +2xy =3在点(1,2,0 )处的切平面方程是2x + y =4 ;< 2 2(3)由曲线 px +2y i2绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点M(O,J3,J2)Z =0(2，处2的法线方程是y +2 y-2彳 6(5)已知曲线x = t, y = t2 , z =t3上点P的切线平行于平面 x + 2y + z = 4，则点P的坐标是(-1,

23、1,1 )或1,1,-.V 3 927 丿22n2.求曲线x=sin t,y =sintcost,z=cos t在对应于的点t =处的切线和法平面4方程.解：切点为(1 1 1V12,2,2 丿，；T =2sintcost,cos2t sin2t,2costsint兀=1,0,-1,4从而切线为1 1 1X 一一 y- z -_ =_ =_21 0-1|x + z-1 =0 1法平面为O 1 KX - 一 z- =0,x - z2 I 2丿=03 求两个圆柱面的交线卜:巧"X2 +z2 =1处的切线和法平面解: n1 =2x,2y,0| m /1,1,0, n2x,0, 2z| m

24、/1,0,1T =l,1,0xl,0,l=1,-1,-1x 1 切线为亞1y 1 z 1-,法平面为x-y-z +丄=0-1V2-14.求曲面ax2 2+ by +CZ =1(abcHO )在点(Xo,yo,zo )处的切平面及法线的方程.解: n =2axo,2byo,2czo/ axo,byo, czo切平面为 axox +byoy+czoz=1，法线为 x xo y yoz zax。byoczo5.求函数 z=1-fx2+y2 b丿2、在点2 2处沿曲线于古=1在此点的外法线方向的方向导数.解：gradz.a b J(2= '指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为 I a , b

25、 J-4cz, n=gradz F = - cnn|J2(a2+b2 )ab6.证明：曲面z =xfy】在任意点处的切平面都通过原点，其中f具有连续导数.lx丿证：设切点为(x。，y0,Zo ),则-血川0l血,T Hzo =Xo f 仏IXo 丿Xolx0丿IXo丿J3f yoyo 一fIXo 丿 XoN丿.切平面为lf（X Xo ）中 f （也 1IXo丿（y yo ）（Z Zo ）=0令X = y = z = 0，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。高等数学同步作业册x29作业8多元函数的极值1.填空题(1)函数z = X3 -Ax2十鸟灭丫 一

26、 y2的极值是 _0(2)函数 z=x +y -x Zxy y 的极值点是(1,1,),( 1, 1 )；(3)函数= xy3x3y9x 的极值点是(1,0 ),( 3,2 )；(4)函数2Nx2 + y2 ) Zx2 Zy2 的极值是 f (1,0 )= f ( -1,0 )= -1;(5)函数2 x2e=e (x+2y + y )的极值是 一？.2 .证明：函数z = (1 +ey )cosx - yey有无穷多个极大值点， 但无极小值点.证：因为 由乙=(1+ey)s in X =0,Zy =ey cosx-ey-yey =0k得驻点坐标为X = k兀，k亡Z; y = (-1) -1又

27、 =(1 +ey Jcosx,Zyy =ey(cosx-2-y),zxy =-eysinx故 AC -B? =(-1 r(1+e(H )e(H(-1)-0? =(-1 厂(1 + ed )e(P只有当k为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时A = (-1 r(1 + e(-'N )v0因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。? ?3.求函数z=lnx+31 n y在条件x + y =25下的极值解：令 L =1 nx+3ln y + 几(x? +y2-25)13则 Lx = +2入X =0, Ly = +2$ = 0, x2 + y2 = 25 =yx?-12-32A从而三=25

28、=25 24,y53"T,2,-r,zmi41 n 2 2ln3院系班级姓名作业编号414.求函数f（x,y）= x2y2在圆域X2 + y2<4上的最大值与最小值.解:先求圆内部的驻点fx =2X =0, fy=2y =0= X = y = 0得驻点,再求圆周上的有约束极值，令L = X2 -y2 +入（X2 + y2 - 4 ）2 2则 Lx =2x+ 2ax =0, Ly =2y+2Ay =0, X + y -4=0若几=0则必有X = 0, y = 0, X2 + y2 4 = 0矛盾,若几 H 0 则必有 X =0, y = ±2,或 x = ±2

29、, y = 0,由于 f (0,0) = 0, f (±2,0) = 4, f (0,±2)=*从而要求的最大值为4,最小值为-4.5 .在半径为R的半球内求一个体积为最大的内接长方体解：设在第一卦限内的顶点坐标为（X, y, Z），则V = 4xyz, x2卡勺令 L =4xyz + A(x2 +y2+z2 R2 )，则由X2 + y2 + z2 = R2Lx =4yz +2几X =0, Ly =4xz +2Ay = 0, Lz =4xy + 2几z =0 ,亲普R-卑R可得X = y = Z = ¥ ,Vmax =出总R3 ,其长宽均为 V396.求椭圆|x

30、+y =R的长半轴和短半轴.x + y + z = 1解：由对称性，得知椭圆的中心点为(0,0,1 )，从而问题转化为求在约束条件丄 2_2R2 +( zT )2的最值：+二1 下 2+宀5 或 d 取 L =R2 +(zT j +机x2 +y2 -R2 )(X + y + zT )由 Lx =2Ax + P=0,Ly =2Ay+4 = 0也=2(z-1 严=0,从而，当A hO时X = y,由约束条件X = y = ±, z = 1 +R, di = /3r当几=0时卩=0,z=1，由约束条件于是椭圆J3R和短半轴为R.X +y =R的长半轴为x + y + z = 1第七章多元函

31、数微分学测试试卷1.单项选择题(每小题 3分)(1)二重极限2xy(D)不存在.(A)0；(B)1 ；(2 )二元函数f(x,y)在点(X0,y0)处的两个偏导数 fX(X0, yo)和fyXoy。)都存在，则 f (X, y) ( D )(A)在该点可微;(B)在该点连续可微;(C)在该点沿任意方向的方向导数存在;(D)以上结论都不对.(3)函数 f(X, y )= X2 -ay2(a >0 '在 (0,0 处(A(A)不取极值;(B)取极小值；(C)取极大值;(D)是否取极值依赖于 a .(4)在曲线X =t, y23=t ,z =t的所有切线中，与平面x + 2y+z =

32、4平行的切线(A)只有1 条;(B)只有2条；(C)至少有3条;(D)不存在.(5)设 Z = f (u, V ),其中U =ei,v =x + y，下面运算中(.CZ= cfcfI : 一 = e一 + 一 , II :CXCUCV(A) I、II都不正确;(C) I不正确，II正确;2 .填空题(每小题 3分)(1)已知理想气体状态方程l2C Zc2f1Ccxoy(B) I(D) I2CV正确，II不正确;、II都正确.PV = RT ,则空空出=-1 ； dV 坯总P (2)设 z = In jxr + arctan ，则 d z = (x-沖：+(： + v 刖； X vx + v(3

33、)函数U =xj一在点(1,1,1)的梯度为1,1,0；，其中为可微函数，则xJ + yJ = z ；ex C y x 6(5)已知曲面z=xy上的点P处的法线I平行于直线h_ y-3-12z-1X1 v+2 z + 2 则该法线的方程为=-2 1-13 .设 Z = xf、x-1 + yg(x,)，其中f ,g均为二阶可微函数，求 lx丿yC2zcxcy解：因为ex-2所以上三 <cy=f +xf，”弓+ yg； 1 +yg2 丄=xy- Y f'Myg； + g2ex V X丿1xIF IP IIF八 丄IP一 +g1 +yg12 r + 922 xy-x2y一爲 fUg；-

34、°g；2vx ”2 g22 y4.x设u=xy,v=，试以新变量u,v变换方程yx2C2z&2l22 C Z yr=0,其中z对各变量有二阶连续偏导数解：空=<xr-2/ -2czcz 1c z c z丁 .y +=cucv y ex(cu-2C Z” y +Jr rcuevy丿 y I点veu-2-2cv1)- -2f -2丄 czXc Zc zT = x I- 2，-2 入-2°vy 勺 2u-2丄Q Z、x+ “ 2CH厶cuev y 丿 y-x丄 2x cz x ( c2z十I 3 亠2 L rcv y cvcuC 2CV-X2y丿从而-22 C Z

35、xex-2-y2 = TIMI=05.已知z = f(X, y )x =®(y, z)，其中f 均为可微函数，求 竺dx解：对函数取全微分得，dz= f1dx + f2dy,dx =申向+申2dz,从而 dy = tdz+dx , dz = f1dx + f2 tdz+dx 角dz 亠 f1dx - f2®2dz + f2dx 护11dz 半 f + f伴 + f2®2)dz =(% fi + f2)dx,fdx % + f/P22设n是曲面z=x2七在P (1,2,3)处指向外侧的法向量，求函数u屮2+3宀2在点P处沿方向n的方向导数.解:dudu1 (6xdx + 6ydy+ 2zdz)x(3x2 +3y2 +z2 )dx-;-933 -276,76,2辰从而詈= gradu|P=匚9 2丄斗.276'76'27633 3 J7.在第一卦限内作椭球面2 2 2务+ z +牛=1的切平面，使该切平面与三个坐标平面 a2