第3章直线与方程33直线的交点坐标与距离公式

1、第3章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式教学目标：1、掌握求两条直线交点坐标的方法。2、会求平面内两点间的距离，并掌握两点间距离公式的应用。3、会利用公式求点到直线的距离的方法。知识点：1两直线的交点+ q = 04畫+盼+ G二0的解即可.求两直线=10)与尙x+Ea+C?二丰0)的交点坐标只需求两直线方程联立所得方程组 若方程组有无穷多个解，此时两直线重合；反之，亦成立。 若方程组无解，此时两直线平行；反之，亦成立。 当有交点时，方程组的解就是交点坐标。在两直线相交的条件是為或a1b2 A2B1工0要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数 例1、求下列两条直线

2、的交点:li : x + 2y + 1 = 0,l2 : x + 2y + 2 = 02、平面上两点间的距离公式两点呂仏Ail 加2)间的距离公式为關I二血-讦+ 0?.要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行 直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.例2、已知点A (1 , 2), B (3, 4), C (5, 0),求证： ABC是等腰三角形。例3、已知点A （4,12）,在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标。3

3、、点到直线的距离公式d =点P（皿儿）到直线应+砂+c = o的距离为要点诠释： 此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等。点 直线加+砂+ C = 0的距离为直线上所有的点到已知点 P的距离中最小距离。例4、直线I经过点P（ 2，-5），且与点A（ 3，-2）和点B（ -1，6）的距离之比为1： 2,求直线I的方程。4、两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间 的距离；距离公式：直线去+和= o与直线祇十盼C二0的距离为加+护.要点诠释：（1）两条平行线间的距离，可以看

4、作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一 般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；（2）利用两条平行直线间的距离公式+0时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x, y的系数要保持一致.例5、直线l1过点A （0, 1）, I2过点B （5, 0）,如果l1 /丨2 ,且l1与l2的距离为5,求l1、I2的方程。5、两条直线位置关系的判断方法(1)平行( 2)垂直( 3)相交(中难题)例6、已知两直线11 : x + my + 6 = 0, 12 : (m2)x + 3y + 2m = 0，当m为何值时，直线11与 12 (1)平

5、行；(2)重合；(3)相交。6、用直线系求直线方程的方法(1)过两直线的交点的直线系方程：经过两直线11 :A1x+B.y +C,= 0 , l2:A2x+B2y+ C2= 0交点的直线方程为 A1x+B1y + C1+ ?(A2x+ B2y+ C2)= 0 ,其中入是待定系数。在这个方程中，无论入取什么实数，都得不到 A2x+ B2y+ C2 = 0，因此它不能表示直线丨2。(2)垂直直线系方程：与直线 Ax + By + C = O(A工0,B工0)垂直的直线系方程是 Bx Ay +入=0。例 7、求过两直线 x-2y+4=0 和 x+y-2 的交点，且满足下列条件的直线 l 的方程。 (

6、 1)过点( 2， -1 )；( 2)和直线 2x-y+5=0 平行。(中难题)例 8、求经过两条直线11 : x-2y+4=0和12 : x+y-2=0的交点P且与直线13 : 3x-4y+5=0垂直的 直线 l 的方程。7、解决与距离相关的问题的方法。求解步骤:( 1 )根据条件画图( 2)化直线方程为一般式( 3)运用距离公式建立关系例 9(中难题)1)求两平行线 l1 : 3x+4y=10 和 l2 : 3x+4y=15 的距离。(2)求过点M (-2, 1)且与A (-1 , 2), B (3, 0)两点距离相等的直线方程。求已知点关于点的对称点。 求直线关于点的对称直线。求点关于直

7、线的对称点。 求直线关于直线的对称直线。8求关于点对称的对称问题的方法。（1）（2）（3）（4）（炖称中心Pltl.fc)f: Ax+ Hy + C =01C: /(-V, V)= 0脈点他0）m-A) + 績-y) + C = ()/(-A,-y) = ()肘（环叩冲(2舟一耳)+ H( 2_v,-y) + C = U/2%-.i;2.v-.v)=n仏一“）Ax+H-y + C = t)/(A,-V)=0y轴A(-g +亦Cl)血线A = VihbRt+A-l-C =0/(Av) = 0Hr)ZJ(-.v) + 4(-.v) + <' = IJ/(-y-.v)-0工 + y +

8、 m =()(/? /I, a rti)Ay m) +-.t m)+ C = (J7(J' ffh x m、= 0耳一 ¥ +用=0A-/H)= 0仲难题）例10、已知直线I : y=3x+3，求：（1）点P（ 4, 5）关于I的对称点坐标；（2）直线y=x-2关于I的对称直线的方程；（3）直线I关于点A（ 3，2）的对称直线的方程。9、对称问题的应用。(1) 在直线I上求一点P,使P到两定点的距离之和最小。(2) 在直线I上求一点P,使P到两定点的距离之差最大。例11: (1)已知两点A (3, -3 ),B (5, 1),直线l : y=x，在直线l上求一点P,使|PA+| PB|最小;(2)已知两点A (-3 , 3),B (5,1),直线l :y=x,在直线I上求一点P,使|PA +|PB|最小;(3)已知两点A (