第1章微分方程和差分方程

1、第一章线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题。一个一维粒子，初始时刻处于点 x Xo，初始速度为Vo，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。解：用x(t)表示粒子在任意时刻t的位置，根据牛顿第二定律mS& FF k&,于是，粒子的运动方程mS& k)&t的常微分方程，非常简单。求解得ktm对于阻尼作用这是关于时间x(t)c1 c2eF ma，有结合初始条件x(0) Xo ,X(0)Xomvomvo代入得粒子的运动轨迹这就是这门课程的第二部分 种方法来求解方程。1.1常系数齐次线性微分方程方程的阶： 线性方程： 非线性方程。齐次方程：罟(1数学物

2、理方程所要讨论的内容:x(t)Xo微分方程中未知函数导数的最高阶数。 微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的,将物理问题表述成数学方程，然后用各就称为线性方程，高于一次以上就称为微分方程不含有不包含未知函数的项。X2u = Uxx；二阶线性，(ux)2 + U2 = 1； 一阶非线性。例如U = 4 Uxx；二阶线性，一、二阶常系数齐次线性微分方程求解 二阶线性微分方程P(x)y Q(x)y f(x)若f(x) 0为齐次，f(x)0为非齐次。方程称为二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0 其中p、q均为常数。能否适当选取r使y e伏满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将y代入方程y

3、py qy 0z 2X rx(r pr q)e由此可见 只要r满足代数方程r2 pr q 0函数pr q 0叫做微分方程y特征方程：方程r2y erx就是微分方程的解。py qy 0的特征方程。特征方程的两个根门、r2为PJp2 4q1,2 "2特征方程的根与通解:(1)特征方程的实根门、r2不相等时函数y1er,x业 e是方程的两个线性无关的解，方程的通解为yc1er1xc2er2x(2)特征方程的实根ri r2时函数y1er1x、y2xerix是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解，方程的通解为y (qc2x)eriX(3)特征方程有一对共轭复根1,2 i式的解。函数y

4、e xcos xy e x(c1cos x C2sin x )2y 3y 0的通解。例1求微分方程y例2求方程y 2y y 0满足初始条件yk 0 4、y|例3求微分方程yx 02的特解。2y 5y 0的通解。时函数ye( i)x、y e( i )x是微分方程的两个线性无关的复数形、y e xsin x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解，方程的通解为二、线性微分方程的解的叠加(1)y P(x)y Q(x)y 0定理1如果函数yi(x)和y2(x)是方程(1)的两个解，那么它们的线性叠加y Gy1(x) C2y2(x)也是方程的解，其中C1和C2是任意常数。定理2如果函数y1(x)和y2(x

5、)是方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加y GyO C2y2(x)是方程的通解。推论如果函数yi(x), y2(x),yn(x)是n阶线性齐次方程(n)/ (n i)/ ' Pi(x)y('LPn(x)y 0的n个线性无关的解，则y ciyi(x) C2y2(x) L佔)是方程的通解，其中Ci, C2, -cn为n个任意常数。y P(x)y Q(x)yf(x)定理3如果y(X)二阶非齐次线性方程 (2)的一个特解,yi(x)和y2(x)是对应齐次方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加y Ciyi(x) C2y2(x) y (x)是方程(2)的通解。定理

6、4如果yi (x)和y2 (x)分别是二阶非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y fi(x)，yP(x)yQ(x)y f2(x)的特解,那么yi (x) y2 (x)是方程y P(x)yQ(x)yfi(x) f2(x)的特解。i.2常系数非齐次线性微分方程二阶非齐次方程py qyf(x)2y 3y 3x i的一个特解。y* x丄35y 6y xe2x 的通解。y Cie2x C2e3x(x2 2x)e2x例2求微分方程f(x)类型特解y*(x)的待定表达式ae XAe xacos x + bsin xAcos x + Bsin xai xk + a2Xk 1 + . + akx + ak +

7、ikk - iAix + A2x+ . + Akx + Ak +ie X (acos x + bsin x)xe (Acos x + Bsin x)xkk ie (aix + a2x + . + akx + ak +i)e x(Aixk + A2xk-1 + . + Akx + Ak +i)y*(x)的待定表达式:i,例i求微分方程、待定系数法对于特殊类型的f(x)，可写出特解如果， i, 0,是特征方程的r重根，则在表达式上再乘以xr。、常数变易法一阶非齐次线性微分方程相应齐次方程的通解是y py Q(x)y0(x)C0e px设非齐次方程有一个特解由于y(x) c0( x) y0 (x)y

8、 (x) c0(x)y0(x) c0(x)y0(x)，代入非齐次方程，可得Co(x)yo(x) Q(x)，解得C0(x)Q(x)epxdx C0因此，常数变易法得非齐次方程的通解为y(x) e pxQ(x)epxdx C0类似的方法考察二阶非齐次方程y py qy f (x)相应齐次方程的通解为y(x) C1y1(x) C2y2(x)设非齐次方程有一个特解y(x) C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)由于C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) ，y (x)C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)若附加条件 C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) 0，则y (x) C1(x)y1

9、(x) C2(x)y2(x)y (x)C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)代入非齐次方程，可得C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) f (x)所以，系数Ci(x), C2(X)满足方程组:C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) 0C1( x) y1 (x) C2(x)y2(x) f(x)例 二阶线性微分方程T2T f (t)齐次方程的通解T(t) Geos t C2sin t常数变易法设特解为T (t) C1(t)eos t C2 (t)sin其中Ci(t)和 C2(t)满足C1(t)eos t

10、C1(t)si nC2 (t)s int 0t C2(t)cosf(t)解得Ci(t)t0f( )sinT(0)T(t)eosC2(t)t0 f ( )eos1 t1 0f( )sinT(0) sin1 t丄 0 f( )eos dt0f ( )sin (t)dT(0)eos t -T (0)sin1.3变系数线性微分方程、欧拉型常微分方程 形如2ax y bxy ey f (x)的方程叫欧拉方程。下面是一个后面课程会遇到的一个欧拉型方程的求解。2Rm2R 0作变量代换e，t In，则dRdRddRdTdRd2Rd (dR) _d (dd(dR (dtdRdt_(dR) d ( dt )1 d

11、R2 dtd2Rdt22 d2Rd2R dt2dRdt2d2RdR dm2R坐dtd2Rdt2坐m2Rdtd2Rdt2m2R例1.求欧拉型方程-1drr2dR 1(11)R 0 的通解。dr答案：通解为R(r) Cr1Dr (1 1)。二、常点邻域上的级数解法(证明见李政道物理学中的数学方法P280-284)不失一般性，讨论复变函数w(z )的线性二阶常微分方程2d wdwp(z) q(z)w 0dzdz显然,定义:w(Z0)C。，w(z0)Ci,方程的性质由函数 p(z)和q(z)所确定。如果在点z = zo处，函数p(z)和q(z)解析，则z = zo称为方程的常点，否则，z = zo称为

12、奇点。定理:若Z0为方程的常点，则在 Z0的邻域内存在满足初始条件的唯一解析解w(z)。级数解法：基于以上定理，方程的解w(z)在点Z0的邻域内解析，则可表示成泰勒级数形式:kw(z)ak(z z0)k 0p(z)和其中，a。，ai, 32,，ak ,.是待定系数。只要能够确定这些系数，也就得到了方程的解。由于函数 q(z)都是解析函数，因此也可以表示成泰勒级数：P(z) Pi(zzJ1，q(z) qi(z Z0)11 0 1 0再将w(z)、p(z)和q(z)的泰勒级数形式代入方程和初始条件，并要求等式两边同幕次项的系数相等，就 可以确定待定系数30, 31,32, . , ak，。对于实变

13、函数y(x)的线性二阶常微分方程y p(x)y q(x)y 0y(x0) = C0, y'(x0) = Ci,该定理完全成立，从而可以应用级数解法。这是因为只要将实变函数p(x)和q(x)在复平面上进行解析延拓，得到p(z)和q(z)，相应的解w(z)在实轴上的值w(x)就是原方程的解。例 在X0 0的邻域上求解常微分方程y 2y 0(是常数)。解：显然,X0 = 0是方程的常点,应用常点邻域级数解法求解。设y(x)kkakX0y (x)代入方程,并合并同幕项,k(kk 2得1)akXk(k02)(k1)ak2Xk(k 2)(k1)ak 22akxk0k 0等式右边为零，因此幕级数各项

14、系数为零，即(k 2)(k1)ak 22ak从而有如下递推公式:ak 22ak(k 2)( k 1)递推得2a22.a0，12a44a2o o o3(1)ka2k(1)2( 2)2aaoa34!a52a13 2 12a35 44訂1于是,(2k)!2k a。a2k2k(2 k讦印(1)k方程的解为2ka2kX0a2kk 02k 11Xa0(1)k 2kO_x2k (2k)!aik 0 (2 k1)k 2kI)2k 1X 1)!a0 cos x sin X上述解的收敛区域为I X| 。一般的收敛区域判断补充：对于正项级数，通常用如下两个方法比值判别法设正项级数uk，若极限1limUkk1Uk，则

15、当1时,级数收敛;1时，级数发散。根值判别法设正项级数uk，若极限1kim Juk，则当1时,级数收敛;1时，级数发散。应用正项级数收敛判别法,可得到如下幕级数收敛范围:比值判别法根据正项级数收敛的比值判别法，若极限limlimak 1X X0kakak1(x Xo)i ak (x Xo)k，则当1时，级数收敛；当1时，级数发散。引入记号R，若limkX X0limkakak 1根式判别法若极限lim Qak(xX0)k|limkRVlaJ|x Xo|1|x xIlim _Rkak 1akR存在,则当1，则收敛。若kim蔺R存在，则当例1在Xo 0的邻域上求解常微分方程0(是常数)。方程的解为

16、2ka2kX0a2kk 02k1Xaoyo(x)a。k1)k(0 (2k)!2k2k x对于yo(x)应用比值判别法，得收敛区域为对于yi(x)应用比值判别法，得收敛区域为在x00的邻域上求解yxy 0。答案:y a0y0(x) aiyi(x)y0(x)(3k 2)! x3kx k 0(3k)!，yi(x)作业:1.求欧拉方程x2y3xy y2.用常数变易法求方程3.用幕级数法求方程y xy(1)k(2 k)!yi(x)|x2|x2|(3k 1)!x k 0 (3k 1)!0的通解。答案:xy1.4二阶常系数线性差分方程、齐次差分方程方程：Yx 2 pyx1qyx2k2k2k2k X 0(2k

17、 1)!(1)k3k若f(x) 0为齐次,a1klimklim0 (2 kk 2kU x2k11)!皂ak 1akak 11。收敛无限大。C1C2 In x。y 2ln x的通解。0的通解。答案:y a0ef(x) (p ,q 是常数).f (x)0为非齐次。与微分方程类似地有:x/2(Ga1klim(2 k 2)(2k 1)。klim(2 k 3)(2k 2)。kC2 In x)x 42ln x 。0(2k(1)k 2k X 1)!对于齐次方程的通解，定理 方程Yx 2 PYx 1 qyx 0的解为Yx rx，其中r满足特征方程2r pr(1)特征方程的实根 门、r2不相等时，方程的通解为

18、yx C1r1xx(C1 C2X)r 特征方程的实根r1 r2时，方程的通解为 yx（3）特征方程有一对共轭复根r1,2 i时记arcta n ，即方程的解为yx，则方程的通解为 yxx(C1 cos( x)C2 sin( x)。求yx24yx3yx其特征方程r24r 30 ,有根-1,-3 .原方程有通解yxC1( 1)xC2（ 3）x （C1,C2是任意常数）求 Yx 24yx0的通解.解其特征方程r240,有根-2i, 2i .2， i，则原方程有通解xxYx 2x(C1 cos) C2Sin(云)，GC是任意常数).例3求差分方程3yx12yx 0的通解.其通解为Yx Cx（C为任意常

19、数）.、非齐次差分方程解前例已知其齐次的通解,故只需求一个特解令yxbo,代入的bo-，所以它的通解为5yx2x(C1 cos(xx2x) C2陀)2 (C1,C2是任意常数）.例5求yx 24yx 2x的通解.解令 y b2x, b2x 24b2x 2x,所以 b1 ,所以其通解8xxyx20哄二C2sin(R1), (C1,C2是任意常数).8f（x）类型特解Y*（x）的待定表达式a xA xa1xk + a2xk-1 + . + akx + ak +1kk 1A1Xk + A2X' + . + Akx + Ak +1(a1x + a2x+ . + akx + ak +1)X(A1

20、 xk + A2xk-1 + . + Akx + Ak +1)对于非齐次方程的通解,与微分方程类似地，可以用待定系数法求解。xr。如果，1是特征方程的r重根，则在表达式上再乘以 例4求yx 2 4yx 2的通解.x例6求Yx 1 3yx 2的通解.解 显然其齐次方程的通解为Yx C 3x（C为任意常数）.设其特解为yx b 2x,所以有b 2x1 3b 2x 2x,从而得b 1.因此，原方程的通解为yx C 3x 2x例7求yx 1 yx 3 2x的通解.解其齐次方程的通解为yxC （C为任意常数）.设其特解为yx x（Ax因此，原方程的通解为yxx2 2x C .三、差分方程的应用例8某家庭

21、从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。 并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。解：设第n个月投资帐户资金为 Sn元，每月存入资金为a元。于是，20年后关于Sn的差分方程模型为Sn+1 = 1.005Sn - 1 000并且 S120 = 0, s = X。解得 x= 90 073.45o从现在到20年内，&满足的差分方程为Sn+1 = 1.005S + a且 Sb = 0, S240 = 90 073.45。解得

22、 a = 194.95。例9动态供需均衡模型（蛛网定理）设D表示t期的需求量，5表示t期的供给量，Pt表示商品t期价格,则传统的动态供需均衡模型为:DtStDta bPt,a1 b1 Pt 1,St,(1)其中a,b,a1,b1均为已知常数。（1）式表示t期（现期）需求依赖于同期价格；式表示t期（现期）供给依赖于（t-1）期（前期）价格；（3）式为供需均衡条件。解：若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即P P 1pe。静态均衡价格Pe旦。动态供bl bB),所以有(X 1)(A(x 1) B) x(Ax B) 3 2x ,从而得 A 1 , B 2需均衡模型的等价差分方程Ptblb齐次方程通解p Ab_bt，非齐次方程特解Pa1b1Pe，方程的通解为p A b et半Pe。若初始价格Po已知时，将其代入通解可求得任意常数A Po Pe，则通解为tP (Po Pe)Pe如果初始价格Po Pe ,那么P Pe。这表明没有外部干扰发生,价格将固定为常数值 F> ,即静态均衡。如果初始价格PoPe，那么价格P将随t的变化而变化。如果1，