六章二次型ppt课件

1、第六章二次型一、二次型的 概念二、化二次型为 规范型三、正定二次型在解析几何中，为了便于研讨二次曲线在解析几何中，为了便于研讨二次曲线122cybxyax的几何性质，的几何性质，可以选择适当的可以选择适当的 坐标旋转变换坐标旋转变换cossinsincosyxyyxx把方程化成规范方式把方程化成规范方式12 2 nymx这类问题具有普遍性，在许多实际问题和这类问题具有普遍性，在许多实际问题和 实践问题中常会遇到，本章将把这类问题实践问题中常会遇到，本章将把这类问题普通化，讨论普通化，讨论 个变量的个变量的 二次齐次式的二次齐次式的化简问题。化简问题。n引入引入32133323123222113

2、1211321),(xxxaaaaaaaaaxxx323223313113212112233322222111)()()(xxaaxxaaxxaaxaxaxa当当 时，时，),(321xxxfjiijaa ),(321xxxf322331132112233322222111222xxaxxaxxaxaxaxa321332313232212131211321),(xxxaaaaaaaaaxxx1 二次型的概念二次型的概念ijjijiijjiijjiijxxaxxaxxajiaa 2),(则则取取二次型写成对称方式二次型写成对称方式定义定义1 n个变量个变量 的二次齐次多项式的二次齐次多项式nxx

3、x,21nnnnnnnnnnxxaxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1, 13223112112222222111212222),( 称为二次型。称为二次型。ijaijaff当当 为复数时，为复数时， 称为复二次型，称为复二次型， 为实数时为实数时 称为实二次型。称为实二次型。 njijiijnnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaf1,2221122222212211121122111记记111212122212 nnnnnnaaaaaaAaaa 12 nxxxx 11121112212222112, TnnnTijiji jnnnnnnaaaxxxa

4、aaxfa x xx Axxxaaa 其中其中A为实对称矩阵。为实对称矩阵。在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就独一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就独一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可独一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可独一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系; 的的矩矩阵阵叫叫做做二二次次型型对对称称矩矩阵阵fA; 的的二二次次型型叫叫做做对对称称矩矩阵阵Af. 的的秩秩的的秩秩叫叫做做二二次次型型对对称称矩矩阵阵fA解解,a,a,a321332211 ,aa221

5、12 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例112312323(,)(,)xf x xxx xxA xxTBC AC 定义定义2 设设A,B是是n阶矩阵，假设存在一个阶矩阵，假设存在一个n阶可逆矩阶可逆矩阵阵C，使得，使得那么称那么称 B与与A是合同的是合同的congruent。注：注：1、合同关系满足反身性，对称性和传送性。、合同关系满足反身性，对称性和传送性。2、合同矩阵具有一样的秩。、合同矩阵具有一样的秩。3、假设、假设A为对称矩阵，那么为对称矩阵，那么B也为对称矩阵。也为对称矩阵

6、。定义定义3 只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2221122nnfyyy称为二次型的规范形。称为二次型的规范形。 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设有可逆线性变换设有可逆线性变换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为规范形可逆的线性变换，将二次型化为规范形),(cCij 记记记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx 1yCx , ()()(),TTTTT f = x Ax xCyfCyA CyyC AC yABC AC 显显然然， 二

7、二次次型型 经经可可逆逆变变换换后后 有有得得到到一一个个新新二二次次型型，矩矩阵阵由由 变变为为秩秩不不变变. .对称矩阵2221122()TTnnfyC AC yk yk yk y , fxCy 要要使使二二次次型型 经经可可逆逆变变换换变变成成标标准准形形就就是是要要使使,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT1 ,.,TAPP APP AP 由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩阵阵总总有有正正交交矩矩阵阵使使把把此此结结论论应应用用于于二二次次型型 有有2 化二次型为规范型化二次型为规范型1 , Tfx AxxPyf 任任

8、给给二二次次型型总总有有正正定定理理交交变变换换使使化化为为标标准准形形,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf YAPPYPYAPYTTT)()()(),(1nxxfYOOYnT12211nnyyA由于由于 是实对称的，是实对称的，令令PYX 用正交变换化二次型为规范形的详细步骤：用正交变换化二次型为规范形的详细步骤：;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC

9、 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 解解例例2 2121314232434222222,. xPyfx xx xx xx xx xx x 求求正正交交变变换换把把下下面面的的二二次次型型化化为为标标准准形形二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A其其特特征征多多项项式式为为111111111111EA 331()(). 1, 34321 的的特特征征值值为为于于是是A133,(),EA x 当当时时 解解方方程程,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p

10、单位化即得单位化即得2341,()EA x当当时时 解解方方程程234101101011011 , 可可得得正正交交的的基基础础解解系系单位化即得单位化即得 21212121,212100,002121432ppp于于是是正正交交变变换换为为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且且有有解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例3 331212122xxxxx

11、322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC1.假设二次型含有假设二次型含有 的平方项，那么先把含有的平方项，那么先把含有 的

12、乘积项集中，然后配方，再对其他的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其他的变量同样进展，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进展，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到规范形；性变换，就得到规范形；ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.假设二次型中不含有平方项，但是假设二次型中不含有平方项，但是 那么先作可逆线性变换那么先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方。法配方。,33212211 yxyyxyyx 令令解解,6

13、22323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例4 4由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 10021010110001101

14、1C.100111311 .02 C注：注：(1)正交变换法化的规范型系数是正交变换法化的规范型系数是A 的特征值，而配方的特征值，而配方法那么与它无关法那么与它无关(2)运用不同的方法，所得到的规范形能够不一样运用不同的方法，所得到的规范形能够不一样(规范规范型不独一型不独一.3规范形中含有的项数必定一样，项数等于所给二规范形中含有的项数必定一样，项数等于所给二次型的秩。而且，其中所含的正项的个数负项的次型的秩。而且，其中所含的正项的个数负项的个数是固定的，称为二次型的正负惯性指数。个数是固定的，称为二次型的正负惯性指数。222123416fxxx 为正定二次型为正定二次型22213xxf

15、为负定二次型为负定二次型 004 ( ),;( ), ,.Tf xx AxxfxfAxf xfA 设设有有实实二二次次型型如如果果对对于于任任意意都都有有则则称称 为为正正定定二二次次型型 并并称称对对称称矩矩阵阵 是是正正定定矩矩阵阵 如如果果对对任任何何，都都有有则则称称为为负负定定二二次次型型 并并称称对对称称矩矩阵阵定定是是负负定定矩矩阵阵义义例如例如3 正定二次型正定二次型定理定理2 n元实二次型元实二次型 为正定的充分必要条件为正定的充分必要条件为：它的规范形中的正惯性指数等于为：它的规范形中的正惯性指数等于n。Tfx Ax 推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定

16、的充分必要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正AAA定理定理3 实对称矩阵实对称矩阵A正定的充要条件是正定的充要条件是 和和 合同。合同。E例例1 设设A正定，那么正定，那么A可逆，且可逆，且 也正定。也正定。1A 证明：由于证明：由于A是正定矩阵，所以存在可逆是正定矩阵，所以存在可逆C，使得，使得TAC C 20TACCC 111()()TTAC CCC - -1 1且且11()TTCCD D1()TDC （其其中中 ）, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理4 4 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式全为正数，即的各阶顺序主子式全为正数，即AA1112121222120kkkkkkaaaaaaaaa ,例例2 2 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 能否正定能否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf524212425,A 它的顺序主子式它的顺序主子式, 05 521021, 52421210425, 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例3 3 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxx