3高斯公式与斯托克斯公式

1、第二十二章曲面积分授课章节：ch22- 3-高斯公式与斯托克斯公式（P290-297） 教学目的 教学重点 教学难点 教学方法 教学程序沿空间闭曲面的曲面积分和Gauss）公式。§ 3高斯公式与斯托克斯公式:1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用:定理22.3,定理22.4:定理22.3,定理22.4:讲练结合.：1.弓I导2 .定理22.3，定理22.43 例题及部分习题练习4 .作业.P295 习题 1（1、3）,2,3（2）,4（1）,5（1）。一高斯公式格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系, 三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（定理22.3设空间

2、区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P,其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。 证下面只证Q, R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则十佗P cQ cR yliThiz 严ydz=羽 P dydz + Qdzdx + RdxdyScR川 一dxdydz = Rdxdy.读者可类似地证明即川 dxdydz =划 Pdydz, V xSf f f dxdydz = <f'f Qdzdx.这些结果相加便得到了高斯公式（先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用表示。: Z = Z2(x,yl,(x,y 卢 Dxy, S, : z =Z1(x,y

3、 l(x,y 卢 Dxy及以垂直于Dxy的边界的柱面S3组成（图22 6）,其中z,（x, y ）兰Z2（x,y ）。于是按三重积分的计算方法有Rz2(X,y川可dxdydz = jjdxdyj xyFdz 7 忆Dxy f CZ=JJ(R(x,y,Z2(x,y )R(x,y,Zi(x,y )dxdyDxy=HRx, y, Z2(x, y)dxdy JJR(x, y,zi(x, y )dxdyDxyDxy=JJR(x, y, zdxdy JJR(x,y,zdlxdyS2Si=JJR(x, y, zjdxdy + JJR(x, y,zdlxdy,S2-Si其中Si,S2都取上侧。又由于S3在xy

4、平面上投影区域的面积为零，所以JJR(x,y,zdxdy =0.S3因此川鱼 dxdydz= JJ Rdxdy + JJ Rdxdy + JJ Rdxdy7 辽S2-SiS3=书 Rdxdy.Sxy型对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。例1计算VJy(x-z)dydz + x2dzdx +(y2 + xz dxdy,S1 (1 )。其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧(即上节习题 解应用高斯公式，所求曲面积分等于岁文金5杂2)£y2+x巧dxdydz=川(y + x

5、dxdydz= dz* dy. (y + xjdxV=a十如2”*若高斯公式中P= x,Q=y,R=z,则有川(1 +1 +1 dxdydz = «上xdydz + ydzdx + zdxdyVS于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式1V = - YJ xdydz + ydzdx + zdxdy.3 S斯托克斯公式斯托克斯(Stokes)公式是建立沿空间双侧曲面 间的联系。在讲下述定理之前，先对双侧曲面 S的侧与 其边界曲线L的方向作如下规定：设有人站在S 上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的 左方，则人前进的方向为边界线 L的正向；若沿 L行走，指定的侧总在人的右

6、方，则人前进的方 向为边界线L的负向，这个规定方法也称为 右手 法则，如图22- 7所示。定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。 同L)上连续，且有一阶连续偏导数，则(cR cQ-dydzW &丿JJS4何 cR + -dzdx +rC IV cz ex )S的积分与沿S的边界曲线L的积分之L正何S 22-7若函数 P、Q、R在S (连dxdy 丿=Pdx +Qdy + Rdz其中S的侧与L的方向按右手法则确定。 证先证口至dzdx - 壬 dxdy = qPdx,其中曲面 S由方程z = z(x, y )确定，它的正侧法线方向数为(-zx-zy,1 ),方向余弦为(c

7、oso,cos P,cosY )，所以乏cosetex丝_cos I cycos P cosY .若S在xy平面上投影区域为Dxy , L在xy平面上的投影曲线记为。现由第二型曲线积分定义及格林公式有P(x, y, Z dx = %-P(x, y, z(x, y )dx=-JJ p(x, y, z(x, y )dxdy.DxyOy因为2p(x,y,z(x,y)=兰十竺生dycycz dy所以与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x, y, z )。-仃一P(x,y,z(x,y )pxdy Dxy矽壬空kdy.&点y丿由于込=_co理。从而ctcosYtp cP cz+dxdy =ycz

8、 oy 丿S=-fffcocos PS I 点y&丿 cosY=-生 cos Y 一 邑cos P "dSs dy口田cP=J J dzdx - dxdy.s臣科综合上述结果，便得所要证明的(-JJS陛呻xdycz cos丿dxdy3)式。同样对于曲面S表示为X = x(y, z )和yy(z, X)时，可证得口冬 dxdy -皂 dydzJ QdyS exczt(4)fl- s迟 dydz -生dzdx =qRdz. cyexL(5)将(3)、(4)、( 5)三式相加即得(2)式。如果曲面S不能以z = z(x, y )的形式给出,则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块,使每

9、一小块能用这种形式来表示。因而这时(2)式也能成立。I公式(2)称为斯托克斯公式。为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：JJSdydz£exPdzdx£oyQdxdyczR=Pdx + Qdy + Rdz.例2计算q (2y + z dx +(X - y dy +(y - X d乙其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向(图22 - 8 )。解应用斯托克斯公式推得m(2y + zjdx +(x-zdy+(y -zz=JJ(1 +1 dydz +(1+1 dzdx +(1 -2 dxdyS=JJ2dydz+2dzdx-dxdyS由斯托克斯公式，可导

10、出空间曲线积分与路线无关的条件.区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过 于属于V的一点。如球体是单连通区域。非单连通区域称为 连通区域中，而是复连通区域。与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理。V以外的点而连续收缩 复连区域。如环状区域不是单3定理22.5设Ou R为空间单连通区域。若函数 P, Q，R在O上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(i)对于0内任一按段光滑的封闭曲线 L有q Pdx + Qdy + Rdz = 0;(ii)对于O内任一按段光滑的曲线 L,曲线积分(Pdx + Qdy + Rdz与路线无关;(iii)Pdx +

11、Qdy +Rdz是O内某一函数u的全微分，即du = P dx +Qdy + Rd z;(6)=JR= JPr 、 Cr-'<yexcz21.12相仿，这里不重复了。/.、印cQ cQ(iv)=, 列excz在C内处处成立。这个定理的证明与定理例3验证曲线积分(y +zdx + (z + x dy +(x + y dz解由于P = y + z, Q = z + x, R = x + y,-色cycX唸=1,所以曲线积分与路线无关。现在求u (x, y, Z )=(y + z dx + (z +x dy +(X + y dz.取M 0M如图22 9 ,从M 0沿平行于X轴的直线到M1(X, yo, Zo ),再沿平行于y轴的直线到M 2 (x, y, z。)，最后oW22 9沿平行于z轴的直线到M(X, y,z )。于是Xyzu(x, y,z)= X (yo +Zo ds+ f (zo