3微分中值定理与导数的应用习题

1、第三章 微分中值定理与导数的应用1 函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律 1上的正确性。T 66.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' 5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间0,1上验证柯西中值定理的正确性。 L 2&am

2、p;试证明对函数 y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的 正中间。当 X A1时，ex ；e .X9. 证明下列不得等式: arctanx -arctan y < x - y当a汕«¥"¥10. 用洛必达法则求下列极限:22In (1 +x)lim T XX_x lim e eT sin X lim 沁sina XTx-aInR +丄 li%_¥鈕1arcta n x1xm1x1.1 -x1 lim (cot X -一) Tx(7)lim (cos X) jimx "(Jx2 +1 -X)

3、lim -x-lx1 2 、2xe -1丿sin X xcosx2；x sinx(11)lim (1-x)ta n便'(2丿(12)tanx11. 确定下列函数的单调区间。 y = 2x3 -6x2 -18x -7 y = 2x +8(xaO)x y =1 n(x +J1 + x212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:=x3 -5x2 +3x +5/ -x y = xe= (x+1y +ex y = In(x2 +1 )13. 禾U用函数的单调性证明下列不等式:当1 ,x>0 时，1+ xu1+x2当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2当兀1

4、30cx£ 时，tanxx + -x2314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。15.求a,b为何值时，点（1,3为曲线y=ax3+bx2的拐点?16.求下列函数的极值: y = x -In (1 +x ) y = X + tanx17.求下列函数的最大值，最小值。= 2x3 -3x2 , 1 <x <442=X -8x +2, -1<x<3=x +-x , - 5 < X <118.要用薄铁皮造一圆柱体汽油筒，体积为 积最小？这时底直径与高的比是多少？V,问底半径r和高h等于多少时，才能使表面19.某地区防空洞的截面拟建成矩形加

5、半圆,截面的面积为25 m，问底宽X为多少时才能使截面的周长最小。20炮艇停泊在距海岸 9公里处，派人送信给设在海岸线上距该艇W34公里的司令部,若派人步行速率为 5公里/小时，划船速率为 4公里/小时，问他在何处上岸到达司令部的时 间最短。21.将长L为的铁丝分成两段，一段绕成一个圆形，另一段绕成一个正方形，要使两者面 积之和最小，应如何分法。22.用围墙围成面积为 216平方米的一块矩形土地，并在长向正中用一堵墙将其隔成两块, 问这块地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建材最省？23.求抛物线y =x2 -4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径。(B)1.若函数f（X ）在（a,b）内具有二阶导

6、数，且f（Xi ）= f（X2 ）= f（X3 ），其中a vxi CX2 < X3 <& ,证明：在（xi ,X3内至少有一点 匚，使得f''（匚）=02.证明方程X5 +x 1 = 0只有一个正根。3.4.5.6.g：囂:卜b"设XmixAk，求J(a) f'(U g(a) g'心证明：若函数f(x )在(-叫址)内满足f'(x)=f(x )，且f(0)=1，则f(x)=ex讨论函数 f(x)叫1,x > 0，在X = 0处的连续性。,x <0设f(x)g(x )在a,b】上连续，在(a,b )内可导，证明(

7、a,b)在内有一点匚,使7.1 1 1aix +a2X +an：nx(其中 a1,a2an0)9.确定函数的单调区间。y = xnex(n >0, X > 0) y = #(2x a la - X f (a a 0)求函数图形的凹或凸区间及拐点:arcta n xy =e4 y = x (12In X -7 )10.证明下列不等式:当兀ex < 时,2sinX +tanx > 2x当>4时，2x>x2当tan x2x2< Xr V X2 吒时，> 2 tan x1x111.利用函数的凹凸性，证明下列不等式:尹+yn)>MP(X0, y &g

8、t; 0, X 工 y, n > 1) I 2丿'X , y e_e_2x4y>e(xHy)X + y xln X + yln y A(x + y jn'2(X A0,y aO,x H y)1.设 f(X )< 0, f (0 )= 0，证明对任何 Xi > 0, X2 > 0 有f(Xi +X2 )< f(Xi )+ f(X2 )2.设函数f(x )在x=0的某领域内具有一阶连续导数。且f(0)H0, f'(0)H0 ,若af (h )+bf (2h )-f (0 在 hT 0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。3.证明：当 x

9、aO时，(X21)nx>(x1；24.设f(X 在 0,1 上具有二阶导数，且满足条件I f(X h a,| f''(X) < b ,其中a,b都是非负常数，c是(0,1内任意一点。证明f'(cb兰2aI5.2利用泰勒公式求极限X3 +3x2 - Vx4 -2x36.设f “(xo存在，证明lim心0竹心勺7)一2心01 f “(xo )hJO- 2h27.设函数f（x诳a,b I上连续，在（a,b ）内可导，且f'（x）H0，试证存在匚n<（a,b ）,& 假设函数f（X ）和g（x ）在a,b 上存在二阶导数，并且g(X )工 0,

10、 f (a )= f (b )= g(a )= g (b )= 0 试证:在（a,b ）内 g（x）H0 '' 在（a, b ）内至少存在一点 匚，使竺-）g（匚）g （匚）第三章微分中值定理和导数的应用习题答案(A)1、02、J173、04.1-1V3ln210、1)12)23)COS a4)1115)6)07)18)-e29)110)111)212) e3兀1）11、在（二,-1,3,母）内单调递增，在-1,3内单调递减。在（0,2内单调递减，在2,+）内单调递增。在（=,0）,（0,2,1,址）内单调递减，在【2,1内单调递增。在严,r内单调递增。5 205512、1）拐

11、点（一，），在（-,内凸，在,*）内凹。3 273322）拐点（2,），在（虫,2内凸，在2,亦）内凹。e3）没有拐点，处处是凹的。4）拐点（1,ln 2）, （1,1 n 2），在（虫,1, 1,畑）内凸，在1,1上是凹。15、16、k=±亚817、1)极小值y(0) =0,3)极大值y(e) =ee4）没有极值181)最大值y(4) =80，最小值 y(1) = 52)最大值y(3) =11，最小值 y(2) = -143)最大值3y(-) =1.25，最小值 y(-5) = -5 + 76419、，侯 2底dh"12兀40米20、底宽.V4+兀21、X =322、一段

12、为 作圆，一作正方形1 +兀1 +；!23、长为18米，宽为12米25、K = 2, P = 0.52、3、4、5、6、(B)先分别在X" X2,X2, X3上用罗尔定理有f '（匕1）= of （©2）= 0 ,数f（X）用罗尔定理，得证。先用零点定理证明在 0,1上存在正根，再用罗尔定理证明唯一性。设函数F （X）-f(a) f (X)g(a) g(x)，在a,b上拉格朗日中值定理。由拉格朗日中值定理，原式二厚n»a=ka即是要证明 丄d =1，设F（x）=丄単，由已知易得F '（X）=0 ,已知f （0） =1，即可证明。(1 +x)x，Ml

13、ny续。再在匕1芒2上对函则F（X）= C ,再用1-,（X）= f（0）=e2，二 x= 0 处连1_nx7、设y ：=，贝y lim ln y = ln(a1a- an)，二原式=a1a<- an。 x_3pc8、1）定义域为0,母），得驻点Xj ：= 0, X2 ：= n，易讨论在0, n单调递增，在n,*）单调递减。2 a2）可用对数法求导，解得驻点x-a ,和不可导点x2 =a,x-,再分区间讨论。3 29、1) 八arctan Xqx）11arctan：I 丿，令y“=0得x=，再分区间讨论，拐点是 （一，e 2）。2 2(1+x2)22） y" =144x2 l

14、nx（x:>0），令 y" = 0 得 X1 =0（舍去），X2 =1，再分区间讨论,10、1 )令 f(x) =sinx+ tanx-2x,f (x) =cos+sec X-2, f "(x)0,x 亡(0，?)，/. f （x）单调递增，二f '（X）A（0） =0, f（X）单调递增，即可得证。x22)寫 2 >0,x >0 两边取对数，改证：xl n2>2l nx，令 f (x) = xl n2 2l nx，又f（4） =0，禾U用单调性即可得证。3）令f（X）=3仝，禾U用单调性即可证明。X11、1)令 f (t) =tu,t &l

15、t;(0,邑)f "(t) >0,二凹。即可证明2)令 f (tet3)令 f(t) =tlnt(t >0)12、可解得驻点为 x-，因此需讨论 x=-与X=0两点，极大值 e1f (0) =2，极小值 f (一) ey _ 2 X113、方程两边对X求导，得y = 一匸.分成y = 2x, y = x两种情况代2y -X2入椭圆方程讨论，纵坐标最大点为(1,2)，最小点为(-1,2卜14、令f(X)=X/X,(x a0)，用增、减性讨论得 V3是跖斤的最大项。1证明：不妨设0 c X1 < X2由拉格朗日中值定理有:f(X1 )-f (0 )=Xif'(&

16、#169; )(0 c© CX1 )f(X1 +X2 ) f(X2 )=X1f (匚 2 ) (X2 C 匚2 吒 X1 +X2 )丁匚1 < 匚2，又 f(X )< 0f(X >单减，故 f (匚2)V f (匚1 )丁 Xi a0, f (xi +X2 ) f(X2 )c f (xi ) f (0 )再由f(0)=0 证毕。2、解：由题意 iimaf(h)+bf(2hI(0L0 ih则 lim af (h)+bf (2h)f(09 = (a+b1)f(0)=0即a + b =1 又对式用洛必塔法则limaf'(h)+2bf'(2h)+2b)f&#

17、39;(0)=0hT*人 *二 a +2b =0 则a =2,b = -1x _13、证明：令 W(x)=lnx-，有X +1®'(x )=! = X 十1>0 (当 X >0)X (x+1yx(x+1y所以W(X单增，又：W(1)=0当 Ocxcl 时，当 1<xv 时，申(x)>0于是当 X A0时，(X2 -1 y(x )=(x2 1 In X (X 1 Y >0，证毕4、证明：将f(X在X=C处展为一阶泰勒展式:f(X )= f (c )+ f '(c Ix C )+ f e【X -C )2!f (0)= f(c)+f'(

18、ci(0c)+ f n0C'2!''” 2 f (J 11 -C) f(1)=f(c)+f (CHc)+ '小，2!两式相减得： f(1)f(0)=f'(c)+lf"G2 Il-cf f"(q c2 f'(ci= f(1)f(0)-If'Giic)2 f''Gi c2f伯f(o吩fy2c) + fa + a + -(1 - 打 + C2 Sa +b2 25、解：令xJ,则原式飞+心一心二 1-3令 g(t )=3/1 +3t -红1 -2t，g'(t )=(1 +3t0 +-(1-2tF由泰勒公式 g(t )= g(0 )+g'