一、有关对称性的常用结论

1、函数的对称性一、有关对称性的常用结论(一)函数图象自身的对称关系1、轴对称-2 -(1) f ( x) = f (x) 函数 yf(x)图象关于y轴对称;函数y f (x)图象关于xa 对称 f (a x) f (a x) f (x) f (2 a x)f( x) f(2a x)；(3)若函数y f (x)定义域为a b 对称。2于直线x2、中心对称(1)(2)R，且满足条件f(a x) f (b x)，则函数yf(x)的图象关f ( x)=- f(x) 函数yf(x)图象关于原点对称;函数y f (x)图象关于(a,0)对称 f(ax) f (a x) f (x) f (2a x)函数y若函

2、数f( x) f(2af (x)图象关于x)；(a,b)成中心对称f(a x)f (a x)2bf(2ax) f(x)2by f(x)定义域为R，且满足条件f (a x)f(b x)c( a,b,c为常数)，则函对称。f(x)的图象关于点(,2)2 2(二)两个函数图象之间的对称关系1.若函数yf (x)定义域为R，则两函数yf (a x)与 yf(bx)的图象关于直线对称。推论1:函数y f (a x)与函数 y f (ax)的图象关于直线0对称。推论2:函数y f (x a)与函数 y f (ax)的图象关于直线a对称。2.若函数f (x)定义域为R，则两函数y f(a x)与c f (b

3、 x)的图象关于点b a c切(,-)对称。2 2 b 推论：函数y f (a x)与函数y f(b x)图象关于点(冷a,0)对称。(一)选择题1.已知定义域为 R的函数f (x)在(8，)上为减函数，且函数yf (x 8)为偶函数，则( )A. f (6) f (7) B. f (6)f(9) C. f (7)f(9)D. f (7)f(10)2.设函数yf (x)定义在实数集 R上，则函数y f(x 1)与y f (1 x)的图象关于( )对-4 -称。A.直线B.直线x 0 C. 直线y1 D. 直线x 13.(中山市09年高三统考)偶函数f(x)(x R)满足：f( 4)f(1)0，

4、且在区间0, 3与3,)A. (, 4)(4,)；B ( 4, 1)(1,4)C. (, 4)( 1,0);D(,4)(1,0)(1,4)4.若函数f(x) x2bxc对一切实数都有f(2 x)f(2 x)，则()A. f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C. f(2) f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)上分别递减和递增，则不等式xf (x)0的解集为()函数yf(x2)是偶函数,5函数y f (x)在(0,2)上是增函数,A. f f(|)f(|)C. f(2)6.设函数f (x)(xA. 124f(2)f(1)a)3对任意实数B. 124C.B.D.x都有f(2x

5、)f(7)f(|)则下列结论中正确的是()f(1) f(|)f(i) f(1)f(2 x),则 f(3) f( 3)()-56D.567.函数f (x)的定义域为R，且满足f (12 - x) f (x),方程f (x)0有n个实数根,这n个实数根的和为1992,那么门为(A. 996B. 498C. 332D. 1168.设y f (x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(-x)f (x)与 f (4-X)f (x),若当A.20,2时，f (x) x x21 B.1,则当x 6, 4时, (x 2)21 C.f(x)(x 4)21 D.(x 2)2 19.(2009全国卷)函数f(x)的定

6、义域为R，若f(x 1)与f (x-1)都是奇函数,A.f (x)是偶函数B.f (x)是奇函数C.f (x) f (x 2) D f(x3)是奇函数10. (2009 四川高考)已知函数有 xf (x 1)(1 x)f(x),1A. 0f (x)是定义在实数集5则f(f()的值是(2CR上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都11.设f (x)是定义在实数集 R上的函数，且满足f(10-x)f(10 x)与f (20-x) f (20 x),则f (x)是()A.偶函数，又是周期函数，B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数,D.奇函数，但不是周期函数(二)填空题13.12.函数y

7、f (x 1)为偶函数，则函数 f (x)的图像的对称轴方程为函数y f(x 2)为奇函数，则函数 y f(x)的图像的对称中心为14.(09年深圳九校联考)已知 f(x)是定义域为R的奇函数，若当x(0,)时，f(x) lgx ,15.则满足f (x)0的x的取值范围是已知函数yf( 4)2 ,f (X)是R上的偶函数，对于X R都有f(x f(X1)f(X2)当 X1,X20,3，且 X1X2 时，都有X1X2 f (2008)函数y f (x)图像的一条对称轴为 x 6 ;函数y f (x)在9, 6上为减函数;方程f(x) 0在9,9上有4个根.其中所有正确命题的序号为(三)解答题16

8、.设 f (x)X2 1,求f(x 1)关于直线X 2对称的曲线方程。17.已知函数6) f (x) f (3)成立，且0.则给出下列命题:f (x 1)的图象，通过怎样的变换可以得到函数f( x 2)的图象。18.已知实系数多项式函数f (x)满足f(1x) f (3 x),并且方程f (x) 0有四个根，求这四个根之和。19.设f(X) X2 1,若g(x)的图象与yf (x 2)的图象关于点(1,1)对称，求g(x).参考答案(一)选择题14、DDDA5 8、BACC9、解：Q f(x 1)与f(x 1)都是奇函数,f( x 1) f(x 1), f ( x1) f(x 1),函数f (

9、x)关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数f (x)是周期T 21(1)4的周期函数f(x3) f(x 14) f (x 1) f( x 1) f( x 14)f( x 3),10、解：若-5 -f(x 3) f (X 3)，即f (X 3)是奇函数。故选D1 XX工0，则有f(x 1)f(x)X1)1 -212由此得町）5 于是f（I）1)3232f(|)f(|)12 1 1 化)5f(m-7 -故选A11、T 4a4201040f( x) f( x40)f10 (30X)f10(30x)f(x20) f (x2040)f(x 20) f (20x)f 10(10x)f10(10x)f(x)所以为奇函数。故选 C（二）填空题12、x 113、( 2,0)14、画出草图可知 x(1,0) (1,15、在 f(x 6)f(x) f(3)中令 x3得 f( 3)f(3)f(3)0故 f(x 6)f (x) , T 6, f(2008)f (334 64) f(4)f(4)2结合函数草图可知都正确。（三）解答题16、解：yx210x2617、解：yf(x 1)右移1个单位yf(x)关于y