九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的线段试题(新版)青岛版

1、与圆有关的线段在圆中的线段主要有以下几种：半径、直径、弦，弦心距还有切线长。求圆中线段的长 是中考的一个重要考点，在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。因此，这部分内容 在中考中占举足轻重的地位。垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具，也是比较常用的定理，有时候也 需要以下定理：圆心角定理、圆周角定理、切线的判定（性质）定理、切线长定理、等腰三 角形的性质定理，在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。符号语言：IAB 是 O0的直径，CD 是弦，且 AB 丄 CD /PG=PDBC=BD,AC=AD。（2

2、）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。（3）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。【尊題难辭校题题豊经典】例题 1 （温州市中考）如图，AB 为 OO的直径，点 C 在 OO 上，延长 BC 至点 D,使 DC=CB 延长DA 与 OO 的另一个交点为 E,连结 AC C 巳(1 )求证：/ B=Z D;(2)若 AB=4, BC AC=2 求 CE 的长。【重点难点扃错直克宜精2D解析：要求 CE 长，可通过证明 CE=AB 转化为求 AB 长，结合/ E=/B及等腰三角形的 性质

3、、勾股定理，可解决问题。答案：解：（1）证明：/ AB 为 OO的直径，/ACB=90 , / ACL BC / DC=CB / AD=AB / B=ZDo（2）设 BC=x 贝 U AC=x 2。在 Rt ABC 中，AC+B6=AB,.（x-2）2+x2=4,解得x1=1 i 7,x2=1 - .7（舍去），/ B=Z E,Z B=Z D,./ D=Z E,. CD=CE/ CD=CB. CE=CB=1+7o点拨：本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是正确理解和应用有关定理。与圆周角有关的问题， 需要灵活运用同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的

4、圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等知识点，由于图形中的角比较多，解题时要仔细观察图形特点。例题 2 如图，AB 是 O O 的直径, 求O 0 的半径.解析：根据垂径定理可以知道线段EB 的长，设出圆的半径，然后用半径表示出0E 这样就可以在 Rt 直角三角形 OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径.1解：因为，ODL BC, 所以，BE= CEBC=4.设 O 0 的半径为 R 贝 U OE=OD-DE=R-2 在22 2 2 2 2 2Rt OEB 中，由勾股定理得 OE+ BE=OB,即卩（R-2） + 4 =R .解得 R= 5, O O 的半径为 5. 点拨：在求

5、圆的半径时，关键是利用垂径定理构造直角三角形，然后设半径根据勾股定理列出方程，解得答案.BC 是弦，ODL BC 于 E,交 BC 于 D.若 BC=8 ED= 2,3如何解决圆中的线段问题圆中的线段包括：半径、直径、弦、切线。求这些线段长是这部分的主要题型，综合利 用圆中性质定理、 勾股定理、 等腰三角形的性质定理是解题的关键所在。 在解题的过程中, 你能否掌握其中的技巧吗？4满分训练(湛江中考)如图，已知AB是 OO的直径，P为 OO外一点，且OP/ BC,/P=ZBAC(1)OAXAP5汉可由面积法可知：AH =4，所以AC=8。OP 253点拨：本题考查了圆的切线的证明以及有关圆的计算

6、，掌握圆的切线的证法以及圆中基本的计算方式是解题的关键。求线段的长度有以下常用的方法：(1) 用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；(2) 用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；(3) 面积法，适用于有直角三 角形中有高的存在的图形。ESEodJEI【即学即测巩固(答题时间：30 分钟)1.如图，ABC内接于 O 0,- C =30；,AB =2，则 OO的半径为(求证：PA为 OO的切线；25若OE=5,OP=，求AC的长。3(2)(1)设法证出/ OAP=90 即可;(2)利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC解析：的长。答案：解：(1)设 AC 与 OP 相交于点 H。： AB

7、是直径， ACL BC Z BACf B=90, TOP/BC OPLAC Z AOBZ B.vZ P=Z BAUZ P+Z AOP=90，于是 Z OAB=90 , PA 为 OO 的切 线。(2)TOPL AC AC=2AH 在直角三角形 PAO 中，20320AP=.OP20A2二.邙2-52546,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(3 2，3 C. 6，3 D.6、2，3.22.若正方形的边长为A. 6 ,3、2B.63.如图，OO的直径 AB=12, CD 是 OO 的弦，CDLAB 垂足为 P,且 BP：AP=1 : 5,则 CD的长为（）7A.4、2B.8. 如图，ABC

8、内接于 O O, / BAC=120 , AB=AC BD 为 OO 的直径，AD=6 贝 U BC=D.4.54.如图，AB 是 OO 于 D,又 DC= 2 厘米,A. .、6厘米的弦，点 C 是弦 AB 上一点，且 BC：CA= 2 : 1，连结 0C 并延长交 OO0C=3 厘米，则圆心 0 到 AB 的距离为（B.、7厘米 C. 2 厘米 D. 3）厘米5.如图 OO中，半径CD=2,则 EC 的长度为（A.2 5B. 8ODL 弦)C.6.如图,长为（A. 2AB 是 OO 的直径,)B. 3C. 47.如图,A.于点 E,连结 EC,若 AB=8半圆 0 的直径 AB=10,弦

9、AC=6cm, AD 平分/ BAC 贝 U AD 的长为（）4.5cm B.D. 4cmAB 于点 C,连结 AO 并延长交 OOD,贝U BD的89. 如图，以 ABC 的 BC 边上一点 0 为圆心的圆，经过 A B 两点，且与 BC 边交于点 E, D 为 BE的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F,若 AC=FC(1) 求证：AC 是 OO 的切线；(2) 若 BF=8, DF= 40 ,求 OO 的半径 r。10.如图，已知 P 是 OO 外一点，PO 交 OO 于点 C, OC=CP=2 弦 AB 丄 OC 劣弧 AB 的度数 为120,连结 PB。AE 交 OO 于 B

10、 点，四边形 BCOE 是平行四边形。(1)求 AD 的长；(2)BC 是 OO 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由。BD(1)求 BC 的长；(2)求证：PB 是 OO 的切线。11.如图，已知 OOC 是 AD 的中点,912.如图， ABC 内接于 O O, B=60，CD 是 OO的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且AP=AC(1)求证：PA 是 OO 的切线；(2)若PD，求 OO 的直径。10DC111. B 解析：过点 B 作圆的直径 BD,交圆于点 D,连接 AD根据圆周角定理，得：/ C=Z D=30 , / DAB=90 ,所以在 Rt ADB 中，因为，/

11、 D=30 , AB=2,所以，DB=4,所以，圆的半径为 2。2. B 解析：画图如下，由正方形的性质，垂径定理可得 0E=AE=3 OA=3j2。故选 B。A3. D 解析：连接 0C 如图，设 0C 的长为 r AB= 12, BP：AP=1：5AP= 10,. OP =4。由垂径定理可得 OPC 是直角三角形，并且 CD= 2CP 在 Rt OCP 中，由勾股定理 CP =.OC2-0P2二62-42= 2、5 , CD= 4 5，故选D4. B 解析：延长 DO 交 OO 于 E,过点 O 作 OF1AB 于 F,贝 U CE= 8 厘米。由相交弦定理， 得 DC-CE= AC- C

12、B 所以 AC- 2 AC= 2X 8,故 AC= 22 （厘米），从而 BC= 4品厘米。由垂径定理，得 AF= FB= （2.2+ 4, 2） = 3；2（厘米）.所以 CF= 3 -2 2 ,22=2（厘米）。在 Rt COF 中，OF=，OC2-OF2= 32-（2）2=-, 7（厘米）。ABD125. D 解析：连接 BE,132的半径为 r,贝 U OC=r-2 ,在 Rt AOC 中，TAC=4 OC=r-2,OA2=AC+OC,即 r2=42+ 解得 r=5 , AE=2r=10,/ AE 是 OO 的直径，/ ABE=90，在 Rt ABE 中，TAE=10 AB=8,. B

13、E=,AE2- AB2R102-82=6，在 Rt BCE 中，T BE=6, BC=4, CE=、BE2BC2=、6242=213。6. C 解析：因为 AB 是直径，因此/C 是直角， BC= . 102_62=8,TODL BC,根据垂径 定理，BD 等于 BC 的一半，所以 BD=4 故选 Co7. A 解析：连接 BC BD OD则 OD BC 交于 E。由于 AD 平分/ BAC 所以CD = BD，所以 ODL BC,又半圆 O 的直径 AB= 10cm,弦 AC= 6cm,所以 BC= 8cm,所以 BE= 4,又 OB= 5cm,所以 OE= 3cm,所以 ED= 5 3=

14、2 (cm),在 Rt BED 中，BD= JDE2+ BE2= 2 cm,又/ ADB= 90 ，所以 AD =AB2- BD2= 45emo 故选 A。8. 6 解析：因为 BD 为 OO的直径，根据圆周角定理，得：/ C=/ D,Z DAB=90。又因为，/ BAC=120 , AB=AC 所以，/ C=/ CBA/ D=30 , / DBA=60，所以，2连接 DC 则/ BCD=90，在 Rt 直角三角形 BCD 中，/ DBC=30 , BD=4、3,9. 解析：(1)连接 OA ODTOO设 OO(r-2 )2,/ DBC=30。在 Rt 直角三角形ABD 中, 有:COS30A

15、DBD,又 AD=6,所以，BD=6得：COS30匹,BC=43 3=6.BD2的半径14则 OA=OD/ OAD/ ODA TD 为 BE 的下半圆弧的中点，ODL BEODA/ OFD=9O ,/ OAD+/ OFD=9O , T/ OFD/ AFC / OAD/AFC=9O , / AC=FC / FAC/ AFC15/ OAD 乂 FAC=90 , AC 是 OO 的切线。(2) BF=8,DF=.40,. OF=8- r，在直角三角形OFD 中，r2+(8 r)2= ( 40)2，解得，r=2。10.解析：(1)连接 OB弦 AB! OC 劣弧 AB 的度数为 120,./ COB=60，又TOC=O,OBC 是正三角形， BC=OC=2(2)证明：T BC=CPCBPM CPBOBC 是正三角形，/ OBCM OCB=60 ,/CBP=30OBPM CBPM OBC=90 , OBL BP,T点B 在 OO 上， PB 是 OO的切线。11.解析：(1)连接 BD,则 ZDII：时四边形 BCOE 是平行四边形， BC/OE EC OF I。在 Rt ABD 中，C 为 AD 的中点，： 丄和 1。二皿 2。（2）连接 OB 由（1）得 BC/ OD 且瓦，四边形 BCDO1 平行四