华中科技大学现代控制理论-3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化ppt课件

1、Ch.3 Ch.3 线性系统的时域分析线性系统的时域分析目录目录(1/1)目目 录录概述概述3.1 3.1 线性定常延续系统形状方程的解线性定常延续系统形状方程的解3.2 3.2 形状转移矩阵及其计算形状转移矩阵及其计算 3.3 3.3 线性时变延续系统形状方程的解线性时变延续系统形状方程的解3.4 3.4 线性定常延续系统的离散化线性定常延续系统的离散化3.5 3.5 线性定常离散系统形状方程的解线性定常离散系统形状方程的解3.6 Matlab3.6 Matlab问题问题本章小结本章小结线性延续系统形状空间模型的离散化线性延续系统形状空间模型的离散化(1/5)3.4 线性延续系统形状空间模型

2、的离散化线性延续系统形状空间模型的离散化离散系统的任务形状可以分为以下两种情离散系统的任务形状可以分为以下两种情况。况。整个系统任务于单一的离散形状。整个系统任务于单一的离散形状。对于这种系统对于这种系统,其形状变量、输入变量和输其形状变量、输入变量和输出变量全部是离散量出变量全部是离散量,如如今的全数字化如如今的全数字化设备、计算机集成制造系统等。设备、计算机集成制造系统等。系统任务在延续和离散两种形状的混合形系统任务在延续和离散两种形状的混合形状。状。对于这种系统对于这种系统,其形状变量、输入变量和输其形状变量、输入变量和输出变量既有延续时间型的模拟量出变量既有延续时间型的模拟量,又有离又

3、有离散时间型的离散量，如延续被控对象的散时间型的离散量，如延续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。采样控制系统就属于这种情况。线性延续系统形状空间模型的离散化线性延续系统形状空间模型的离散化(2/5) 对于第2种情况的系统,其形状方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程组。 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法,要求整个系统一致用离散形状方程来描画。 由此,提出了延续系统的离散化问题。 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机分析求解延续系统的形状方程,或者进展计算机控制时,都会遇到离散化问题。线性延续系统形状空间模型的离散化线性延续系统形状空间模型的离散化(3/5)q 图3-

4、3所示为延续系统化为离散系统的系统框图。 连续系统 保持器 保持器 数字 计算机 D/A A/D u(k) y(k) u(t) y(t) x(t) x(k) 图图 3-3 延续系统离散化的实现延续系统离散化的实现线性延续系统形状空间模型的离散化线性延续系统形状空间模型的离散化(4/5)q 线性延续系统的时间离散化问题的数学本质,就是在一定的采样方式和坚持方式下,由系统的延续形状空间模型来导出等价的离散形状空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间的关系式。q 为使延续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必需满足如下条件和假设。q 在离散化之后,系统在各采样时辰的形状变量、输入变量和输出变量的值坚持

5、不变。q 坚持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周期内不变,且等于前一采样时辰的瞬时值,故有q u(t)=u(kT) kTt(k+1)T 线性延续系统形状空间模型的离散化线性延续系统形状空间模型的离散化(5/5) 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 采样频率2/T大于2倍的延续信号x(k)的上限频率。 满足上述条件和假设,即可推导出延续系统的离散化的形状空间模型。 下面分别针对 线性定常延续系统和 线性时变延续系统 讨论离散化问题。 线性定常延续系统的离散化线性定常延续系统的离散化(1/3)3.4.1 线性定常延续系统的离散化线性定常延续系统的离散化本节主

6、要研讨线性定常延续系统形状空间模型本节主要研讨线性定常延续系统形状空间模型的离散化的离散化,即即研讨如何基于采样将线性定常延续系统进展离研讨如何基于采样将线性定常延续系统进展离散化散化,建立相应的线性定常离散系统的形状空建立相应的线性定常离散系统的形状空间模型。间模型。主要讨论的问题为两种离散化方法主要讨论的问题为两种离散化方法:准确法和准确法和近似法近似法q 线性定常延续系统形状空间模型的离散化,实践上是指在采样周期T下,将形状空间模型线性定常延续系统的离散化线性定常延续系统的离散化(2/3)uxyuxxDCBA变换成离散系统的如下形状空间模型:)()()()()()()()()() 1(k

7、TTDkTTCkTkTTHkTTGTkuxyuxx 由于离散化主要是对描画系统动态特性的形状方程而言,输出方程为静态的代数方程,其离散化后应坚持不变,即 C(T)=C D(T)=D 离散化主要针对延续系统形状方程(A,B)如何经过采样周期T,变换成离散系统形状方程(G,H)。q 在上述的条件和假设下,即可推导出延续系统离散化的形状空间模型。q 下面引见两种离散化方法:q 准确法、q 近似法。线性定常延续系统的离散化线性定常延续系统的离散化(3/3)主要引荐?准确离散化方法准确离散化方法(1/4)ttBttttt0d)()()()()(00uxx 如今只思索在采样时辰t=kT和t=(k+1)T时

8、辰之间的形状呼应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是TkkTBTkkTTTk) 1(d)() 1()()() 1(uxx1. 准确离散化方法准确离散化方法所谓线性定常延续系统的形状方程的准确离散化所谓线性定常延续系统的形状方程的准确离散化方法方法,就是就是利用形状方程的求解公式以保证形状在采样时辰利用形状方程的求解公式以保证形状在采样时辰延续形状方程和离散化形状方程有一样的解来延续形状方程和离散化形状方程有一样的解来进展离散化。进展离散化。延续系统的形状方程的求解公式如下延续系统的形状方程的求解公式如下:准确离散化方法准确离散化方法(2/4) 思索到u(t)在采样周期内坚持不变的

9、假定,所以有 将上式与线性定常离散系统的形状方程 x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 比较,可知两式对恣意的x(kT)和u(kT)成立的条件为 G(T)=(T)=eAT)(d) 1()()() 1()1(kTBTkkTTTkTkkTuxx 对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,那么上式可记为)(dt)()()() 1(0kTBtkTTTkTuxxBBtTHTAtT00dtedt)()(上两式即为准确离散化法的计算式。准确离散化方法准确离散化方法(3/4)例例3-11uxx102010ttssLAsILt221111e02/ )e-1 (1201-)-()(q 解 首先求

10、出延续系统的形状转移矩阵:q 例3-11 试用准确离散化方法写出以下延续系统的离散化系统的形状方程:准确离散化方法准确离散化方法(4/4)例例3-11q 根据准确法计算式有q 于是该延续系统的离散化形状方程为)e-1 ( 2)e-1 ( -24110dte02/ )e-1 (1dt)()(e02/ )e-1 (1)()(22022022TTTttTTTTBtTHTTG)(2/ )e-1 (4/ )e-1 ( -2/)(e02/ )e-1 (1) 1(2222kTkkTTTTuxx近似离散化方法近似离散化方法(1/6)2. 2. 近似离散化方法近似离散化方法所谓线性定常延续系统形状方程的近似离散

11、化方所谓线性定常延续系统形状方程的近似离散化方法是指法是指在采样周期较小在采样周期较小, ,且对离散化的精度要求不高的情况下且对离散化的精度要求不高的情况下, ,用形状变量的差商替代微商来求得近似的差分方用形状变量的差商替代微商来求得近似的差分方程。程。即即, ,由于由于x(kT)=LimTx(kT)=LimT0 x(k+1)T)-x(kT)/T0 x(k+1)T)-x(kT)/T故当采样周期较小时故当采样周期较小时, ,有有x(kT)x(kT)x(k+1)T)-x(kT)/Tx(k+1)T)-x(kT)/T近似离散化方法近似离散化方法(2/6) 将上式代入延续系统的形状方程,有 x(k+1)

12、T)-x(kT)/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统形状空间模型的形状方程比较,那么可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和准确离散法比较知, 由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似,因此近似离散化方法其实是取准确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。近似离散化方法近似离散化方法(3/6)例例3-12q 由上述推导过程可知,普通说来,采样周期T越小,那么离散化精度越高。q 但思索到实践计算时的舍入误差等要素,采样周

13、期T不宜太小。q 例3-12 试用近似离散化方法写出以下延续系统的离散化系统的形状方程:uxx102010q 解 由近似离散化法计算公式,对本例有近似离散化方法近似离散化方法(4/6)例例3-12于是该延续系统的离散化形状方程为TBTTHTTATITG0)(2101)()(0)(2-101) 1(kTkTTkuxx近似离散化方法近似离散化方法(5/6)例例3-12近似法的计算结果为432332. 0283834. 00.1353350432332. 01HG101011HG2. 当当T=0.001s时时,准确法的计算结果为准确法的计算结果为000999. 0105 . 00.998002000

14、0999. 016HGq 对上述近似离散化法的精度可检验如下:q 1. 当T=1s时,准确法的计算结果为近似离散化方法近似离散化方法(6/6)例例3-12近似法的计算结果为001. 00998. 00001. 01HGq 从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。线性时变延续系统的离散化线性时变延续系统的离散化(1/6)3.4.2 线性时变延续系统的离散化线性时变延续系统的离散化线性时变延续系统形状空间模型的离散化线性时变延续系统形状空间模型的离散化,实践实践上是指在指定的采样周期上是指在指定的采样周期T下下,将延续系统的将延续系统的形状方程形状方程( )( ) ( )( ) (

15、)tttttxAxBu变换成线性时变离散系统的如下形状方程:(1)( ) ( )( ) ( )kkkkkxGxHuq 线性时变延续系统的形状方程的离散化,就是利用时变系统的形状轨迹求解公式来进展离散化。q 由3.3节可知,延续系统形状方程的解可表示为:线性时变延续系统的离散化线性时变延续系统的离散化(2/6)000( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )dtttt ttt B xxu 如今只思索在采样时辰t=kT和t=(k+1)T时辰之间的形状呼应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是(1)(1)(1) , ( )(1) , ( ) ( )dkTkTkkT kTkkT B

16、 xxu 思索到u(t)在采样周期内坚持不变,所以有(1)(1)(1) , ( )(1) , ( )d( )kTkTkkT kTkkT B kxxu线性时变延续系统的离散化线性时变延续系统的离散化(3/6) 比较下述两式 可得线性时变延续系统离散化模型各矩阵如下 (1)( )(1) ,( )(1) , ( )dkTkTG kkT kTH kkT B (1)(1)(1) , ( )(1) , ( )d( )kTkTkkT kTkkT B kxxu(1)( ) ( )( ) ( )kkkkkxGxHu线性时变延续系统的离散化线性时变延续系统的离散化(4/6)q 例例3-13 试写出以下线性时变延续系统的离散化系统的形状试写出以下线性时变延续系统的离散化系统的形状方程。方程。 解解 由例由例3-9,该系统的转移矩阵函数为该系统的转移矩阵函数为0001(1)(1)( ,)01ttttt t2101(1)100t xxu线性时变延续系统的离散化线性时变延