华中科技大学现代控制理论-4.1 线性连续系统的能控性ppt课件

1、Ch.4 Ch.4 线性系统的能控性和线性系统的能控性和能观性能观性本章简介(1/1)本本 章章 简简 介介本章讨论线性系统的构造性分析问题。本章讨论线性系统的构造性分析问题。主要引见主要引见动态系统的形状空间模型分析的两个根本动态系统的形状空间模型分析的两个根本构造性质构造性质-形状能控性和能观性形状能控性和能观性,以及以及这两个性质在形状空间模型的构造分解和这两个性质在形状空间模型的构造分解和线性变换中的运用线性变换中的运用,并引入能控规范形和能观规范形并引入能控规范形和能观规范形,以及实现问题与最小实现的概念。以及实现问题与最小实现的概念。本章最后引见基于本章最后引见基于Matlab的控

2、制系统的构的控制系统的构造性分析问题的程序设计与计算。造性分析问题的程序设计与计算。目录目录(1/1)(1/1)目目 录录概述概述4.1 4.1 线性延续系统的能控性线性延续系统的能控性4.2 4.2 线性延续系统的能观性线性延续系统的能观性4.3 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性4.4 4.4 对偶性原理对偶性原理4.5 4.5 线性系统的构造性分解和零极点相消线性系统的构造性分解和零极点相消4.6 4.6 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形4.7 4.7 实现问题实现问题4.8 Matlab4.8 Matlab问题问题本章小结本章小结概述概

3、述(1/5)(1/5)概概 述述本章讨论线性定常系统的定性分析本章讨论线性定常系统的定性分析-构造构造性问题和系统综合问题性问题和系统综合问题,主要内容有主要内容有:构造性问题构造性问题-能控性、能观性、对偶原理能控性、能观性、对偶原理构造分解构造分解能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形系统实现系统实现系统综合问题系统综合问题-形状反响和形状观测器形状反响和形状观测器重点问题喔!难点喔!重点喔!Control?Feedback?概述概述(2/5)(2/5)动态系统的能控性和能观性是提示动态系统不变的本质特征的两个重要的根本构造特性。卡尔曼在60年代初首先提出形状能控性和能观性。其后的开

4、展阐明,这两个概念对回答被控系统能否进展控制与综合等根本性问题,对于控制和形状估计问题的研讨,有着极其重要的意义。系统能控性指的是控制造用对被控系统的形状和输出进展控制的能够性。 状 态 n维维x(t) r维维u(t) m维维y(t) 能控? 能控? 概述概述(3/5)(3/5)能观性反映由能直接丈量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的形状的能够性。 状 态 x(t) u(t) y(t) 能观测? q 为什么经典控制实际没有涉及到这两个构造性问题?概述概述(4/5)(4/5)这是由于经典控制实际所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以独一地由传送函

5、数所确定。因此,给定输入,那么一定会存在独一的输出与之对应。反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进展控制,不存在能否控制的问题。此外,输出普通是可直接丈量,不然,那么应能间接丈量。否那么,就无从对进展反响控制和考核系统所到达的性能目的。因此,在这里不存在输出能否丈量(观测)的问题。所以,无论是从实际还是实际,经典控制实际和技术普通不涉及到能否控制和能否观测的问题。概述概述(5/5)(5/5)现代控制实际中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的形状进展分析、优化和控制。形状变量向量的维数普通比输入向量的维数高,这里存在多维形状能否由少维输入控制的问题。此

6、外,形状变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接丈量或间接丈量,故存在能否利用可丈量或观测的输出输出的信息来构造系统形状的问题。线性延续系统的能控性线性延续系统的能控性(1/2)(1/2)4.1 4.1 线性延续系统的能控性线性延续系统的能控性本节主要讨论线性定常延续系统的形状本节主要讨论线性定常延续系统的形状能控性和输出能控性问题。能控性和输出能控性问题。关键问题关键问题: :1. 1. 根本概念根本概念: : 形状能控性和输出能控性形状能控性和输出能控性2. 2. 根本方法根本方法: : 形状能控性和输出能控性形状能控性和输出能控性的判别方法的判别方法3. 3. 形状能控性的物

7、理意义和在形状空间形状能控性的物理意义和在形状空间中的几何意义中的几何意义重点喔!要了解喔!线性延续系统的能控性线性延续系统的能控性(2/2)(2/2)本节首先从物理直观性来讨论形状能控的根本含义,然后再引出形状能控性的定义。下面将看到,这种从直观到笼统的讨论,对于了解能控性严厉定义确实切含义是有益的。本节讲授顺序为:能控性的直观讨论形状能控性的定义线性定常延续系统的形状能控性判别线性定常延续系统的输出能控性线性时变延续系统的形状能控性能控性的直观讨论能控性的直观讨论(1/12)4.1.1 能控性的直观讨论形状能控性反映输入u(t)对形状x(t)的控制才干。假设形状变量x(t)由恣意初始时辰的

8、恣意初始形状引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的,或者更确切地说,是形状能控的。否那么,就称系统为不完全能控的。下面经过实例来阐明能控性的意义 。 该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为形状变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个形状变量的控制才干。能控性的直观讨论能控性的直观讨论(2/12)例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 图图4-1 电桥系统电桥系统 能控性的直观讨论能控性的直观讨论(3/12)由电路实际知识可知,假设

9、图4-1所示的电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),电容C2的电压x2(t)是不能经过输入电压u(t)改动的,即形状变量x2(t)是不能控的,那么系统是不完全能控的。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 假设图4-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t)和x2(t)可以经过输入电压u(t)控制,那么系统是能控的。能控性的直观讨论能控性的直观讨论(4/12)由形状空间模型来看,中选择两电容器两端电压为形状变量x1(t)和x2(t)时,可得如下形状方程:2221111111xRCxuRCxRCx u R + + + - - C1 C2 x1 x2

10、 - R R R 由上述形状方程可知,形状变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自在衰减的,并不受输入u的控制。因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该形状变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为形状不能控的。能控性的直观讨论能控性的直观讨论(5/12) 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们经过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO一样。图图4-2并联双水槽系统并联双水槽系统 能控性的直观讨论能控性的直观讨论(6/12) 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 当阀门1和2的开度不变时,设它

11、们在平衡任务点邻域阀门阻力相等并可视为常数,记为R。 图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分别为流量。 该双水槽系统的形状能控性可分析如下: 对本例的流膂力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。 下面仅思索流量QO的变化量QO所引起的水槽水位的变化。能控性的直观讨论能控性的直观讨论(7/12)2222211111ddddQRhQQthAQRhQQthAOO由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 其中代表平衡任务点附近的变化量。能控性的直观讨论能控性的直观讨论(8/12) 选上

12、述方程中变化量h1和h2为形状变量,将形状变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,那么有ooQAxARxQAxARx11112211 解上述形状方程,可得d)(-exp1-exp)(d)(-exp1-exp)(022011ototQARtAxARttxQARtAxARttx能控性的直观讨论能控性的直观讨论(9/12)由上述解可知,当初始形状x1(0)和x2(0)不等时,那么x1(t)和x2(t)的形状轨迹完全不一样,即在有限时间内两条形状轨线不相交。因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时间内同时为零,即液面高度不完全

13、能进展恣意控制。上面用实践系统初步阐明了能控性的根本含义,能控性在系统形状空间模型上的反映可由如下两个例子阐明。能控性的直观讨论能控性的直观讨论(10/12)uxxxxx212112补充例1 给定系统的形状空间模型与构造图分别为q 本例中,形状变量x1的运动只受初始形状x1(0)的影响,与输入无关,q 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。q 因此,形状x1(t)不能控,那么整个系统是形状不完全能控的。1/s-1-2 2x1x1/syu能控性的直观讨论能控性的直观讨论(11/12)uxxxuxxx21221122p 由该形状方程可知,形状变量x1(t)

14、和x2(t)都可由输入u单独控制,p 可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。p 对该形状方程求解后可得p x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)p 即形状x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。补充例2 给定系统的形状空间模型为能控性的直观讨论能控性的直观讨论(12/12)因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或形状空间中的恣意形状,只能被控制在满足由形状方程解所规定的形状空间中的曲线上。所以,虽然形状x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系统并不能控。前面4个例子,可经过直观分析来讨论系统的形状能控性,但对维数更高

15、、更复杂的系统,直观判别能控性是困难的。下面将经过给出形状能控性的严厉定义,来导出断定系统能控性的充要条件。形状能控性的定义形状能控性的定义(1/5)4.1.2 形状能控性的定义形状能控性的定义由形状方程由形状方程x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)及其第及其第3章的形状方程求解公式可知章的形状方程求解公式可知,形状的变化主要取决于系统的初始形状和初始形状的变化主要取决于系统的初始形状和初始时辰之后的输入时辰之后的输入,与输出与输出y(t)无关。无关。因此研讨讨论形状能控性问题因此研讨讨论形状能控性问题,即输入即输入u(t)对形对形状状x(t)能否控制的问题能否控制的问题,只需思索系统

16、在输入只需思索系统在输入u(t)的作用和形状方程的性质的作用和形状方程的性质,与输出与输出y(t)和和输出方程无关。输出方程无关。对线性延续系统对线性延续系统,我们有如下形状能控性定义。我们有如下形状能控性定义。形状能控性的定义形状能控性的定义(2/5)能控性定义能控性定义q 定义定义4-1 假设线性延续系统假设线性延续系统q x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) q 对初始时辰对初始时辰t0(t0T,T为时间定义域为时间定义域)和和初始形状初始形状x(t0),q 存在另一有限时辰存在另一有限时辰t1(t1t0,t1T),q 可以找到一个控制量可以找到一个控制量u(t),q 能在有限时

17、间能在有限时间t0,t1内把系统状内把系统状 x2 x1 0 x(t0) x(t0) x(t0) 态从初始形状x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,那么称t0时辰的形状x(t0)能控;假设对t0时辰的形状空间中的一切形状都能控,那么称系统在t0时辰形状完全能控;形状能控性的定义形状能控性的定义(3/5)能控性定义能控性定义假设系统在一切时辰形状完全能控,那么称系统形状完全能控,简称为系统能控。即,假设逻辑关系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t)(tt0,t1) (x(t1)=0)为真,那么称系统形状完全能控。假设存在某个形状x(t0)不满足上述条件,称此系统是形状不完全能控的,

18、简称系统为形状不能控。即,假设逻辑关系式t0T x(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(x(t1)0)为真,那么称系统形状不完全能控。 形状能控性的定义形状能控性的定义(4/5)对上述形状能控性的定义有如下讨论:1. 控制时间t0,t1是系统形状由初始形状转移到原点所需的有限时间。对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时辰t0有关。对于定常系统,该控制时间与t0无关。所以,对于线性定常系统形状能控性,可不用在定义中强调“在一切时辰形状完全能控,而为“某一时辰形状完全能控,那么系统形状完全能控。即,假设逻辑关系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t)

19、(tt0,t1) (x(t1)=0)为真,那么称线性定常延续系统(A,B)形状完全能控。形状能控性的定义形状能控性的定义(5/5)2. 在上述定义中在上述定义中,对输入对输入u(t)没有加任何约束没有加任何约束,只需能使形只需能使形状方程的解存在即可。状方程的解存在即可。假设矩阵假设矩阵A(t)和和B(t)以及向量以及向量u(t)的每个元素都是的每个元素都是t的分段的分段延续函数延续函数,那么形状方程存在独一解。那么形状方程存在独一解。u(t)为分段延续的条件为分段延续的条件,在工程上是很容易满足的。在工程上是很容易满足的。3. 在形状能控性定义中在形状能控性定义中,对输入对输入u(t)和形状

20、和形状x(t)所处的空间所处的空间都没有加任何约束条件。都没有加任何约束条件。在实践工程系统中在实践工程系统中,输入变量空间和形状空间都不为无限输入变量空间和形状空间都不为无限制条件的线性空间制条件的线性空间,因此上述能控性的定义对工程实践因此上述能控性的定义对工程实践系统还需作详细的分析。系统还需作详细的分析。线性定常延续系统的形状能控性判据线性定常延续系统的形状能控性判据(1/1)4.1.3 线性定常延续系统的形状能控性判别线性定常延续系统的形状能控性判别线性定常延续系统形状能控性判据有许多不同线性定常延续系统形状能控性判据有许多不同方式方式,下面分别讨论常用的下面分别讨论常用的代数判据和

21、代数判据和模态判据。模态判据。代数判据(1/18)代数判据定理1. 代数判据代数判据定理定理4-1(线性定常延续系统能控性秩判据线性定常延续系统能控性秩判据) 线性线性定常延续系统定常延续系统 (A,B)形状完全能控的充要条件形状完全能控的充要条件为下述条件之一成立为下述条件之一成立:1. 矩阵函数矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立的各行函数线性独立,即不存在即不存在非零常数向量非零常数向量fRn,使得使得f e-AtB02. 如下定义的能控性矩阵如下定义的能控性矩阵Qc=B AB An-1B满秩满秩,即即rankQc=rankB AB An-1B=n 证明如下: 对于线性定常系统,由能控性

22、定义可知,其形状能控性与初始时辰无关。 因此,不失普通性,可设初始时辰t0为0。 根据第3章中形状方程解的表达式,有代数判据(2/18)代数判据定理证明证明 在证明能控性判据之前,下面首先证明线性定常系统形状完全能控等价于下述方程对恣意的初始形状x(0)有控制输入u(t)的解。10d)()0(tABuex1110)(1d)()0()(ttAAtBtuexex代数判据(3/18)代数判据定理证明由能控性的定义有,假设能控,那么应存在t1(t10)和分段延续的u(t),使得x(t1)=0,即1110)(d)()0(0ttAAtBuexe即10(0)( )dtABxeu 因此,线性定常系统形状能控的

23、充必条件为: 上述方程对恣意的x(0)有输入u(t)的解。 下面将利用该方程分别证明判别形状能控性的上述两个充要条件。代数判据(4/18)形状不能控能控子空间为形状空间的维数小于n的线性子空间存在形状空间中的非零向量垂直于能控子空间e-AtB的各行函数线性相关与假设矛盾,充分性得证(1) 先证明条件先证明条件1。 先证充分性先证充分性(条件条件结论结论)。即证明即证明,假设假设e-AtB的各行函数线性独立的各行函数线性独立,那么系统形状能控。那么系统形状能控。用反证法证明。用反证法证明。设形状不能控设形状不能控,但但e-AtB的各行函数线性独立。的各行函数线性独立。充分性反证法的思绪为充分性反

24、证法的思绪为:代数判据(5/18)证明过程证明过程:形状不能控形状不能控,那么意味形状能控子空间那么意味形状能控子空间(可证明为线性空间可证明为线性空间)rtActtBRR)(, 0,d)()()(101uue0 x0 x比形状空间Rn小,属于Rn空间的一个子空间,其维数小于n。对维数小于n的能控子空间Rc,一定存在一个n维的非零向量fRn,且在n维线性空间中与Rc垂直(或称正交),即fx(0)=0 x(0) Rc因此,由Rc的定义,可得rtAttBRf)(, 00d)(101uue代数判据(6/18) 上式对于恣意时间t1和恣意r维空间中的输入向量u(t)都恒成立,那么有 fe-AtB0 t

25、0 对非零向量f,上式恒成立那么意味着e-AtB的各行函数线性相关。 这与前面的假设产生矛盾,故原假定形状不能控,但e-AtB的各行函数线性独立是不成立的。因此,充分性得证。再证必要性再证必要性(结论结论条件条件)。即证明即证明,假设系统形状能控假设系统形状能控,那么那么e-AtB的各行函数线性独立。的各行函数线性独立。用反证法证明。用反证法证明。设设e-AtB的各行函数线性相关的各行函数线性相关,但形状能控。但形状能控。必要性反证法的思绪为必要性反证法的思绪为:代数判据(7/18)e-AtB的各行函数线性相关存在非零常数向量与e-AtB垂直,即与能控子空间垂直能控空间的维数小于n形状不完全能

26、控与假设矛盾,必要性得证代数判据(8/18)rtAttBRf)(, 00d)(101uue证明过程证明过程:e-AtB的各行函数线性相关的各行函数线性相关,即存在非零向量即存在非零向量fRn,使得使得f e-AtB0 t0因此有因此有代数判据(9/18) 由于系统是形状完全能控的,即能控形状充溢整个Rn。因此对非零向量f,一定存在非零的能控形状x(0),使得 -fx(0)0 而对能控的x(0),又一定存在适当的t1和u(t),使得下式成立:10d)()0(tABuex因此有rtAttBRf)(, 00d)(101uue上式和式(4-6)矛盾,故原假定e-AtB的各行函数线性相关,但形状能控不成

27、立。因此,必要性得证。综上所述,即证明了条件1。110( )d00,( )(4-6)tArBttfeuuR代数判据(10/18)(2) 再证明条件再证明条件2下面经过证明下面经过证明e-AtB的各行函数线性相关等价于能控性矩阵的各行函数线性相关等价于能控性矩阵Qc非满秩非满秩,即即rankQc=rankB AB An-1Bt0,t1T),可以找到一个输入控制向量u(t),q 能在有限时间t0,t1内把系统从初始输出y(t0)控制到原点,即y(t1)=0,q 那么称系统输出完全能控,简称为系统输出能控。q 即,假设数学逻辑关系式qy(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(y(t

28、1)=0) q 为真,那么称系统输出完全能控。线性定常延续系统的输出能控性线性定常延续系统的输出能控性(3/5)输出能控性定理输出能控性定理 假设系统存在某个初始输出值y(t0)不满足上述条件,那么称此系统是输出不完全能控的,简称为输出不能控。 定理4-4 线性定常延续系统(A,B,C,D)输出完全能控的充要条件为输出能控性矩阵 CB CAB CAn-1B D 满秩,即 rank CB CAB CAn-1B D=m 其中m为输出变量向量的维数。 定理4-4的证明可仿照定理4-1给出。线性定常延续系统的输出能控性线性定常延续系统的输出能控性(4/5)例例4-7q 例例4-7 试判别如下系统的输出

29、能控性试判别如下系统的输出能控性uxyuxx0 11 110000q 解 由输出能控性的代数判据有q rankCB CAB D=rank2 0 0=1=mq 故系统输出完全能控。 q 对例4-7中的系统,由于210101rankrankABB故系统是形状不完全能控的。线性定常延续系统的输出能控性线性定常延续系统的输出能控性(5/5)q 因此,由例4-7可知,输出能控性与形状能控性是不等价的两个不同概念,它们之间亦没有必然的联络。线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性(1/13)4.1.5 线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性以上讨论的形状能控性判据是针对线

30、性定常延以上讨论的形状能控性判据是针对线性定常延续系统而言的续系统而言的,对时变系统不成立。对时变系统不成立。下面给出线性时变延续系统形状能控性的充分下面给出线性时变延续系统形状能控性的充分必要判据。必要判据。定理定理4-5(格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据) 线性时变延续系统线性时变延续系统(A(t),B(t)在初始时辰在初始时辰t0上形状完全能控的上形状完全能控的充分必要条件为充分必要条件为:存在存在t1(t1t0),使得如下能控格拉姆使得如下能控格拉姆(Gram)矩阵矩阵为非奇特的为非奇特的100100( , )( , ) ( )( )( , )dtctW t tt t B t B tt t

31、t线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性(2/13)q 证明证明 1) 充分性证明。充分性证明。q 即证明，假设存在即证明，假设存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩阵使得能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是是非奇特的非奇特的, 那么系统是形状完全能控的。那么系统是形状完全能控的。q 假设能控格拉姆矩阵假设能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇特的是非奇特的,这样对恣意的初这样对恣意的初始形状始形状x(t0)=x0,总可以定义如下输入向量总可以定义如下输入向量u(t)10010( )( )( , )( , )ctBtt t Wt t ux那么经过有限时间t0,t1后,可使系统形

32、状线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性(3/13)q 上式阐明,假设能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇特的,那么在有限时间区间t0,t1内,任何一个初始形状x0都可以找到控制规律在有限时间内转移到形状空间的原点。q 于是系统的形状能控性得以证明。0),(),(),(),(),(d),()()(),(),(),(d),(),()()(),(),(d)()(),(),()(010110010010101000100101010100110011101010 xxxxxxuxxttWttWttttttWttttBtBtttttttttWtttBtBtttttttBtttttc

33、ccttttctt线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性(4/13)q 2) 必要性证明。必要性证明。q 即证明即证明,假设系统是形状完全能控的假设系统是形状完全能控的,那么存在那么存在t1(t1t0),使得使得能控格拉姆矩阵能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇特的。是非奇特的。q 现采用反证法证明。现采用反证法证明。q 假设对恣意的假设对恣意的t1(t1t0),能控格拉姆矩阵能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇特的是奇特的,但系统是形状完全能控的。但系统是形状完全能控的。q 对恣意的对恣意的t1,能控格拉姆矩阵能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇特的是奇特的,那么必定存那

34、么必定存在某个非零的向量在某个非零的向量x0Rn,使得使得00101( , )0cW t ttxx线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性(5/13) 由此可导出 由于B(t)(t0,t)x(t0)是t的有限分段延续向量函数,所以上式成立必导致10100010000000001( , )( , ) ( )( )( , )d( )( , )( )( , )d0tctttW t tt t B t B tt tB tt tB tt tt xxxxxx11000,0),()(tttttttBx线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性(6/13)然而已假定系统是形状完全能

35、控的,即对恣意初始形状x(t0)Rn,都存在有限时间t1和输入向量u(t),使得或即上述方程对u(t)有解。因此,形状方程对初始形状x(t0)=x0一样存在输入u(t)的解,即存在u(t)满足10100110( , ) ( )( , ) ( ) ( )d,( )tntt ttt t B ttttt xuuR10001( )( , ) ( ) ( )d,( )tnttt t B ttttt xuuRntttttttBttRuux)(,d)()(),(10010线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性(7/13) 将上式两边左乘以 ,代入式(4-14),可得 由于x0为非零向量,故

36、上式矛盾,即方程(4-15)不存在u(t)的解。 因此原假定对恣意t1(t1t0),能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇特的,但系统是形状完全能控的,显然不成立。 故系统是形状完全能控的,那么一定存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)必是非奇特的。 于是必要性得以明证。 ntttttttBttRuux)(,d)()(),(100101000001( , ) ( ) ( )d0,( )tntt t B ttttt x xxuuR0 x线性时变延续系统的形状能控性线性时变延续系统的形状能控性(8/13)q 在运用由定理4-5给出的线性时变延续系统的形状能控的判据时,需先求出时变的系统矩阵A(t)的形状转移矩阵(t,t0),然后再求能控格拉姆矩阵Wc(t1,t0),计算量较大。q 而且形状转移矩阵(t,t0)的计算,对普通的时变矩阵A(t)还无法得到以有限项表示的解析解。q 因此,利用定理4-5断定线性时变系统的形状能控性有一定困难。q 下面给出一个较为适用的时变系统形状能控性判据,该判据只需利用矩阵A(t)和B(t)的信息