同济高等数学第六版-D7_9欧拉方程ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第九节欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,etx 令常系数线性微分方程xtln即 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,etx 令xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁! tyyxddtytyyxdddd222 xtln则目录 上页 下页 返回 结束 ,ddDt记则由上述计算可知: yyxDyyyxDD22 , ), 3, 2(

2、ddDktkkky) 1D(D用归纳法可证 ykyxkk) 1(D) 1D(D)(于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(eDD11tnnnfybyby转化为常系数线性方程:)(edddd111tnnnnnfybtybty即目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,etx 令,ln xt 则,ddDt记则原方程化为ttyyy22D2) 1D(D2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr那么对应的齐次方程的通解为特征方程, 0232 rrtty2)2D3(D22即 ttCCY221ee

3、目录 上页 下页 返回 结束 的通解为41ln21ln212221xxxCxCy412121ee2221ttCCytt换回原变量, 得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入确定系数, 得4121212ttyttytyty22dd3dd222 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解: 将方程化为xyyxyx22 (欧拉方程) ,ddDt记则方程化为,etx 令tye2)1D) 1D(D即tye2) 1D2(D2特征根:, 121 rr设特解:,e2ttAy 代入 解得 A = 1,ttttCCyee)(221xxxxCC221ln)ln(所求通解为 目录 上页

4、下页 返回 结束 例例3.满足设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由题设得定解问题由题设得定解问题xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,etx 令,ddDt记那么化为tye54D) 1(DDtye5)4(D2特征根: i,2r设特解: ,etAy代入得 A1 目录 上页 下页 返回 结束 得通解为ttCtCye2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得21, 121CC故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy 目录 上页 下页 返回 结束 思索思索: 如何解下述微分方程如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu原方程直接令 tddD