概率论课堂讲义ppt课件

1、*3.2 3.2 边缘分布与随机变量的独立性边缘分布与随机变量的独立性 边缘分布随机变量独立性一、边缘分布的定义 1边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.2.公式. 由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+ =F(x,+) 同理有 FY(y)=F(+, y).例1: 设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)， - x+ , - y+ 求(1)常数A,B,C (2)边缘分布函数Fx(x),FY(y)。解:

2、 由分布函数的性质知 )2)(2(),(lim1 CBAyxFyx)arctan)(2(),(lim0yCBAyxFx )2)(arctan(),(lim0 CxBAyxFy联立这三个方程,并取x=0,y=0,可得 A=1/2, B=/2,C=/2. yxyxFarctan2arctan21),(2 xxxyxFxFyXarctan121arctan2122arctan21),(lim)()2(2 yyxFyFxYarctan121),(lim)( 从而 1边缘分布律 设(X,Y)为离散型二维随机向量,分别称X和Y的分布律为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。 2计算 问题：设(X,Y)的结合分

3、布律为PX=xi,Y=yj=pij,i，j=1,2,求关于X和Y的边缘分布律。 xxyyijijpyYxXPyxF,),(因因为为解解： xxjijxxyijXiijppxFxF1),()(所所以以二、离散型二维随机向量的边缘分布律，另另一一方方面面 xxixxiXiixXPpxXPxF)( ijijippxXP1比比较较两两式式，有有jiijjppyYP 1同同理理，例2XY -1 0 4 1 0.17 0.05 0.213 0.04 0.28 0.25求(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。3边缘分布律的表示法 解: X的能够取值为1,3且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX

4、=1,Y=4 =0.17+0.05+0.21=0.43 PX=3=PX=3,Y=-1+PX=3,Y=0+PX=3,Y=4 = 0.04+0.28+0.25 =0.57 因此关于X的边缘分布律为 X 1 3p 0.43 0.57同样的方法求得关于Y的边缘分布律为 Y -1 0 4p 0.21 0.33 0.46 我们把边缘分布律写在结合分布律表格的边缘上如下表所示 YX -1 0 4 PX=xi=pi. 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 PY=yj=p.j 0.21 0.33 0.46 1YX12 gLLjiyyyp12MMijxxxp111

5、211 gLLjpppp212222 gLLjppppMMMM12 gLLiiijippppMMMM12 1gggLLjppp边缘分布律的表示法 三、延续型随机向量(X,Y)的边缘概率密度1.边缘概率密度 设(X,Y)为延续型随机向量,具有概率密度f(x,y), X和Y的概率密度分别为fx(x),fY(y),分别称fx(x), fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。 2.公式: ,),()(dyyxfxfX dxyxfyfY ),()( )( ,)( , )xXFxF xf u y dy du 证：因为，另一方面另一方面dxxfxFxXX )()(.),()(dyyxfxfX 比比较

6、较两两式式，有有dxyxfyfY ),()(同同样样，可可得得 例例3 3 设设(X,Y)(X,Y)的概率密度是的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； 2两个边缘密度。两个边缘密度。=5c/24=1,得得 c =24/5。 100)2(xdxdyxcy解：解：(1) 由概率密度的性质，由概率密度的性质，dxxxc10222/ )( 1),(dxdyyxf dxdyyxf),(2) xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 x留意积分限留意积分限留意取值范围留意取值范围xy01y=x),2223(5242yyy1)2(524)

7、(yYdxxyyf10 y其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY其它, 010),2(512)(2xxxxfX即即例: 设(X,Y)在单位圆D(x,y)|x2+y21上服从均匀分布,求边缘概率密度fx(x),fY(y)。解： (X,Y)的概率密度为： 其其他他011),(22yxyxf -1 0 x 1 xy 先求fx(x) : 当-1x1时 211121),()(22xdydyyxfxfxxX 其他0112)(2xxxfX 留意积分限留意积分限留意取值范围留意取值范围 211121)(1122ydxyfyyyY 同同理理时时当当 其其他他0112)(2yyyfY 例4: 设(

8、X,Y)N(1,2,12,22,)，即(X,Y)具有概率密度 2211222221212()()()()122(1)2121( , ),21, xxyyf x yexy求边缘概率密度fx(x),fY(y) 。 212122112221212222)()(2)( xxyyxy由于解：222121222121()11(1)2 12(1)2121( )21 所以xyxXfxeedy 1122211 xyt令令：dydt2211: 则则 dteexftxX22)(12212121)( 222 dtet而而 xexfxX,21)(21212)(1 所以所以 yeyfyY,21)(22222)(2 同同理

9、理即XN(1,12)，YN(2,22).且不依赖参数。 *随机变量独立性随机变量独立性 引言引言 我们把独立性这一概念引入随机变量的情况。我们把独立性这一概念引入随机变量的情况。那么我们怎样定义随机变量独立性这一概念呢？那么我们怎样定义随机变量独立性这一概念呢？ 直观上，假设随机变量直观上，假设随机变量X(Y)X(Y)的取值丝毫不影的取值丝毫不影响随机变量响随机变量Y(X)Y(X)的取值，那么的取值，那么X X和和Y Y是独立的随机是独立的随机变量。即设变量。即设I1I1，I2I2为数轴上任何两个区间，事件为数轴上任何两个区间，事件XI1XI1与与YI2YI2是独立的，即是独立的，即 PXI1

10、 PXI1 ， YI2=PXI1PYI2 YI2=PXI1PYI2 特别取特别取I1 =(-, xI1 =(-, x，I2=(-I2=(-，yy，(x(x，y y为恣意实数为恣意实数) )，上式就化为，上式就化为 PXx PXx，Yy=PXxPYy Yy=PXxPYy 即为 F(x，y)=FX(x)FY(y) 反之，假设X与Y满足F(x，y)=FX(x)FY(y) ，那么有 Px1Xx2，y1Yy2 =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1) = Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)

11、 =Fx(x2)-Fx(x1)FY(y2)-FY(y1) =Px1Xx2Py1Y y2 可进一步推行，对恣意区间I1，I2，有 PXI1，YI2=PXI1PYI2。 1 1 定义：设定义：设F(xF(x，y)y)及及Fx(x) Fx(x) ， FY(y) FY(y)分别是二维随机分别是二维随机变量变量(X(X，Y)Y)的分布函数及边缘分布函数。假设对于一切的分布函数及边缘分布函数。假设对于一切x x，y y有有 F(x F(x，y)=Fx(x)FY(y) y)=Fx(x)FY(y) 那么称随机变量那么称随机变量X X和和Y Y是相互独立的。是相互独立的。 一、随机变量独立性的定义 例1: 设(

12、X,Y)的分布函数为 , 边缘分布函数分别为 yyFxxFYXarctan21)(,arctan21)( 容易看出，对于恣意实数x，y都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以X与Y是相互独立的 解: yxyxFarctan2arctan21),(2 讨论X与Y的独立性。- x+ , - y+,注释注释 由结合分布可以确定边缘分布，但反之，由边缘分布由结合分布可以确定边缘分布，但反之，由边缘分布不能确定结合分布。假设不能确定结合分布。假设X X与与Y Y相互独立，那么相互独立，那么X X，Y Y的的边缘分布就能确定结合分布。边缘分布就能确定结合分布。 定理 设(X，Y)为离散型随机变量，其

13、分布律为 PX=xi,Y=yj=pij (i，j=1，2，) 其边缘分布律分别为PX=xi=pi (i=1，2，) PY=yj=p j (j=1，2，) 那么X与Y相互独立的充要条件是对于恣意i，j有: pij= pipj 二、离散型随机变量独立的等价条件)()(),(,yFxFpppppyxFYXyyjxxijyyxxiyyxxijjijiji 所以X与Y相互独立。 (2)必要性。假设X与Y相互独立，对于恣意实数 x1x2，y1y2，有 Px1Xx2，y1Yy2=Px1Xx2Py1Yy2证明：(1)充分性。假设对于恣意i，j有: pij=pip j 那么对于恣意实数x,y有 ,ijijpP

14、Xx Yy于是，对于恣意i，j，由概率的延续性11lim,iijjnmP xXxyYynm11lim limiijjnmP xXxP yYynmijijP XxP Yypp 例1: 在上节例中讨论X与Y的独立性。 YX -1 0 4 PX=xi=Pi. 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 PY=yj=P.j 0.21 0.33 0.46 1解: 由计算知 PX=1=0.43，PY=-1=0.21， 且 PX=1， Y=-1=0.17 容易看出 PX=1，Y =-1PX=1PY=-1 因此X与Y不是相互独立的随机变量. 三、延续型随机变量独立的

15、等价条件定理. 设(X，Y)是延续型随机变量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分别为(X，Y)的概率密度和边缘概率密度，那么X和Y相互独立的充要条件是等式 f(x，y) = fx(x)fY(y) 对f(x，y)，fx(x)，fY(y)的一切延续点成立.证明：(1) 充分性。假设f(x，y)=fx(x)fY(y) ，那么 ( , )( , )( )( ) xyxyXYF x yf u v dvdufufv dvdu所以，X与Y相互独立 ( )( )( )( )xyXYXYfu dufv dvFxFy(2)必要性。假设X与Y相互独立，那么在f(x，y) ， fx(x)，fY(y)的一切延续点有

16、 )()()()()()(),(),(22yfxfdyydFdxxdFyxyFxFyxyxFyxfYXYXYX 例2: 设(X，Y)N(1，2，12，22，)，证明X 与Y相互独立的充要条件为=0。 证明: (X，Y)的概率密度为 )()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 xxxxyxf关于X和Y的边缘密度分别为 ,21)(21212)(1 xXexf22222)(221)( yYeyf(1)充分性。假设=0,那么对一切x，y有 f(x，y) = fx(x)fY(y) ，即X与Y相互独立。 (2)必要性。假设X与Y相互独立，由于f(x，y), fx(x), fY(y)都是延续函数，故对一切x，y有f(x，y) = fx(x)fY(y) ，特别地，取x=1 ，y=2可得 2)(2)(212