概率论基础知识ppt课件

1、概率论和数理统计概率论和数理统计自考的人共同加油自考的人共同加油主要内容主要内容第一章：随机事件与概率第一章：随机事件与概率第二章第二章:随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布第三章第三章:多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布第四章第四章:随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第五章第五章:大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理第六章：统计量及其抽样分布第六章：统计量及其抽样分布第七章：参数估计第七章：参数估计第八章：假设检验第八章：假设检验第九章：回归分析第九章：回归分析第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.1 随机事件随机事件1.2概率概率1.3条件概率条件概率

2、1.4事件的独立性事件的独立性自测题一自测题一前往前往1.1 随机事件随机事件一、随机景象一、随机景象二、随机实验和随机事件二、随机实验和随机事件三、样本空间三、样本空间四、事件的关系与运算四、事件的关系与运算例子事件的关系和运算例子事件的关系和运算练习题练习题一、随机景象一、随机景象1. 确定性景象确定性景象: 例如，向上抛一颗石子必然下落；例如，向上抛一颗石子必然下落；同性电荷必定相互排斥；在一个大气压下同性电荷必定相互排斥；在一个大气压下60度度的水必定不会沸腾，等的水必定不会沸腾，等 等。等。2. 随机景象随机景象: 例如，抛一枚硬币结果能够是正面例如，抛一枚硬币结果能够是正面朝上、也

3、能够是反面朝上；用同一门炮向同一朝上、也能够是反面朝上；用同一门炮向同一目的射击的弹着点不尽一样，等等。这类景象目的射击的弹着点不尽一样，等等。这类景象有一个共同特点：即在个别实验中其结果呈现有一个共同特点：即在个别实验中其结果呈现出不确定性出不确定性,而在大量反复实验中其结果又具有而在大量反复实验中其结果又具有某种规律性某种规律性统计规律性统计规律性.3. 概率论与数理统计具有广泛的运用。概率论与数理统计具有广泛的运用。 前往前往二、随机实验和随机事件二、随机实验和随机事件 随机实验(三个特征):(1)可以在一样的条件下反复地进展; (2)每次实验的能够结果不止一个，并且能事先明确一切能够的

4、结果; (3)进展一次实验之前不能确定会出现哪个结果。随机实验的每个能够发生的结果称为随机事件随机实验的每个能够发生的结果称为随机事件.简称为简称为事件事件.事件通常用英文字母事件通常用英文字母A，B，C或或A1,A2表表示，记成如下方式：示，记成如下方式：A=能够发生的结果能够发生的结果.例子例子随机事件例子随机事件例子例例1：知一批产品共：知一批产品共30件，内含正品件，内含正品26件，次品件，次品4件，件，从中一次取出从中一次取出5件的实验件的实验.那么那么Ai=恰有恰有i件次品件次品, (i =0，1，2，3，4)；B=最多有三件次品最多有三件次品；C=正品不超越正品不超越2件件等都是

5、随机事件，他们在一次实验中能够发生也能够不发生等都是随机事件，他们在一次实验中能够发生也能够不发生.例例2：掷一粒骰子，察看它出现的点数。能：掷一粒骰子，察看它出现的点数。能够的结果为：够的结果为： A= 1, 2, 3, 4, 5, 6。 前往前往三、样本空间三、样本空间 普通地，在随机实验中，把不可分割的事件称为根身手件；由两个及两个以上根身手件组合而成的事件称为复合事件. 对于随机实验的每一个根身手件，我们可以用只含一个元素的单元素 表示，其中 与 表示的根身手件一一对应.和一切根身手件相对应的元素的全体组成的集合称为该随机实验的样本空间，通常记作 ，样本空间中的元素称为样本点.前往前往

6、四、四、 事件的关系与运算事件的关系与运算1.包含关系和相等关系包含关系和相等关系: 假设事件假设事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生, 那么那么称事称事件件B包含事件包含事件A,记作记作AB。 假设假设A B且且A B, 即即A=B, 那么称那么称A与与B相等相等BA2事件的并事件的并由属于由属于A或者属于或者属于B的一切样本点组成的集合，的一切样本点组成的集合，称为称为A与与B的并或者和，记作的并或者和，记作 或者或者A+B.显然事件表示显然事件表示“事件事件A与与B事件至少有一事件至少有一个发生这一事件个发生这一事件.BAAB3事件的交事件的交由属于同时由属于同时A又属于又属

7、于B的一切样本点组成的的一切样本点组成的集合，称为集合，称为A与与B的交或者积，记作的交或者积，记作 或者或者 .显然事件显然事件 表示表示“事件事件A与事件与事件B同时发生这一事件同时发生这一事件.BA ABBAABBA4事件的差事件的差由属于由属于A但不属于但不属于B的一切样本点组成的一切样本点组成的集合，称为的集合，称为A与与B的差，记作的差，记作 .事事件件 表示表示“事件事件A发生而事件发生而事件B不发不发生这一事件生这一事件. BABAABBA5对立事件对立事件样本空间样本空间 与与A的差的差 称为事件称为事件A的的对立事件或者逆事件，记作对立事件或者逆事件，记作 ，事，事件件 表

8、示表示“事件事件A不发生不发生. 对立事件对立事件A和和 间的关系可以表示为：间的关系可以表示为：.AAAAAAAA,AA6互不相容事件互不相容事件假设在同一实验中，事件假设在同一实验中，事件A与事件与事件B不能够不能够同时发生，那么称事件同时发生，那么称事件A与事件与事件B互不相容互不相容.记记作作 .根身手件是互不相容的根身手件是互不相容的.BAAB补充点补充点补充点补充点事件的并、交和互不相容事件可推行到事件的并、交和互不相容事件可推行到n个事件间的关系个事件间的关系.现就互不相容事件表达如下：在一次事件现就互不相容事件表达如下：在一次事件中，假设中，假设n个事件个事件 两两互不相两两互

9、不相容，那么称容，那么称 是互不相容的事件组是互不相容的事件组.假设互不相容的事件组假设互不相容的事件组 满足满足 ，那么称事件组那么称事件组 为一个划分为一个划分.nAAA,.,21nAAA,.,21nAAA,.,21121.nniiAAAA 或 记 作nAAA,.,21可以验证集合的运算率均适用于事件的可以验证集合的运算率均适用于事件的运算，即事件的运算满足以下关系式：运算，即事件的运算满足以下关系式：1交换律：交换律： 2结合律：结合律： 3分配律：分配律： 4德莫根德莫根(Demorgan)公式：公式： 其中分配律和德莫根公式可以推行到有限多个其中分配律和德莫根公式可以推行到有限多个

10、事件的情形事件的情形.ABBAABBA,CBACBACBACBA)()(,)()()()()(),()()(CABACBACABACBABABABABA,前往前往例子例子1例例 一个货箱中装有一个货箱中装有12只同类型的产品，其中只同类型的产品，其中3只是一等品，只是一等品，9只是二等品，从其中随机地抽取只是二等品，从其中随机地抽取两次，每次任取一只，两次，每次任取一只， 表示第表示第i次抽取的次抽取的是一等品，试用是一等品，试用 表示以下事件：表示以下事件：B=两只都是一等品两只都是一等品C=两只都是二等品两只都是二等品D=一只一等品，另一只是二等品一只一等品，另一只是二等品E=第二次抽取的

11、是一等品第二次抽取的是一等品)2 , 1( iAi)2 , 1( iAi解题过程解题过程解题过程解题过程解解 ：由题意，：由题意， 第第i次抽取的是一等品次抽取的是一等品，故，故 第第i次抽取的是二等品次抽取的是二等品iAiA21AAB 12CAA 2121AAAAD)()(2121AAAAE例子例子2例例 从从1，2，3，4，5，6六个数字中任取一个六个数字中任取一个数，数，A=获得的数为获得的数为4的约数的约数，B=获得的数为获得的数为偶数偶数，C=获得的数不小于获得的数不小于5.试用集合表示以下事件：试用集合表示以下事件：(1)(2)事件事件“A发生，发生，C不发生；事件不发生；事件“B

12、,C至少有至少有一一个发生的逆事件个发生的逆事件 BCABBA,解题过程解题过程例子例子2解题过程解题过程解解 设设i表示根身手件表示根身手件获得的数为获得的数为i所对应的样本所对应的样本点，那么样本空间点，那么样本空间 (1)(2)6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 14 , 2 , 1A6 , 4 , 2B6 , 5C6 , 4 , 2 , 16 , 4 , 24 , 2 , 1 BA64 , 2 , 16 , 4 , 2 AB55 , 3 , 16 , 5BCBCBC1,2,41,2,3,41,2,4AC 3 , 14 , 3 , 2 , 15 , 3 , 1CBCB前往前往练习题练

13、习题1。指出以下事件中哪些是必然事件？哪些是不可。指出以下事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？能事件？1某商店有男店员某商店有男店员2人，女店员人，女店员8人，恣意抽调人，恣意抽调3人去人去做其他的任务，那么做其他的任务，那么A=3个都是女店员个都是女店员,B=3个都是男个都是男店员店员，C=至少有至少有1个男店员个男店员，D=至少有至少有1个女店员个女店员(2) 一批产品中只需一批产品中只需2件次品，现从中任取件次品，现从中任取3件，那么件，那么A=三三件都是次品件都是次品，B=至少至少1件正品件正品，C=至多至多1件正品件正品，D=恰有恰有2件次品和件次品和1件正品件正品练习题练习题2

14、练习题练习题22。一个工人加工了。一个工人加工了4个零件，设个零件，设 表示第表示第 i个个零件是合格品，试用零件是合格品，试用 表示以下事件：表示以下事件：1没有一个零件是不合格品；没有一个零件是不合格品；2至少有一个零件是不合格品；至少有一个零件是不合格品；3只需一个零件是不合格品只需一个零件是不合格品.iA4321,AAAA3。A,B,C为一次实验中的三个事件，试用为一次实验中的三个事件，试用A,B,C表示以下表示以下事件：事件：1A发生，发生，B,C不发生；不发生； (2)A,B中至少有一个发生；中至少有一个发生； (3)A,B,C至少有一个不发生；至少有一个不发生；(4)A,B,C至

15、多有一个发生至多有一个发生.前往前往1.2 概概 率率一、概率的定义一、概率的定义1.概率的统计定义概率的统计定义2.概率的古典定义概率的古典定义3.概率的定义与简单计算概率的定义与简单计算二、概率的运算公式二、概率的运算公式 加法公式加法公式一、概率的定义一、概率的定义1.概率的统计定义概率的统计定义在一样的条件下进展在一样的条件下进展n次反复实验，事件次反复实验，事件A发生的次数发生的次数m称为事件称为事件A发生的频数；发生的频数；m与与n的比值称为事件的比值称为事件A发生的频率，记作发生的频率，记作 nmAfAfnn)(),(即引例一引例一普通地，当实验次数普通地，当实验次数n增大时，事

16、件增大时，事件A发发生的频率生的频率 总是稳定在某个常数总是稳定在某个常数p附近，附近，这时就把这时就把p称为事件称为事件A发生的概率，简称发生的概率，简称事件事件A的概率，记作的概率，记作 上述事件的概率是用统计事件发生的频率来确上述事件的概率是用统计事件发生的频率来确定的，故这个定义称为概率的统计定义定的，故这个定义称为概率的统计定义.根据这根据这个定义，经过大量的反复实验，用事件发生的个定义，经过大量的反复实验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，这是求一个事件的频率近似地作为它的概率，这是求一个事件的概率的常用根本方法概率的常用根本方法. )(AfnpAP)(引例二引例二前往前往2.概

17、率的古典定义概率的古典定义思索下面两个随机实验：思索下面两个随机实验：E1：投掷一颗均匀的骰子，察看其出现的：投掷一颗均匀的骰子，察看其出现的点数，根身手件有点数，根身手件有6个，由骰子的个，由骰子的“均匀均匀性可知，每一个根身手件发生的能够性可知，每一个根身手件发生的能够性相等性相等.E2：一批产品有：一批产品有N个，要随机抽取一个，个，要随机抽取一个，检测其等级，那么检测其等级，那么N个产品被抽取的时个产品被抽取的时机是一样的，每一次检测的结果就是一机是一样的，每一次检测的结果就是一个根身手件，故个根身手件，故N个根身手件出现的能个根身手件出现的能够性相等够性相等.这两个实验都具有以下特点

18、：这两个实验都具有以下特点：(1)只需有限个根身手件只需有限个根身手件(2)每个根身手件在一次实验中发生的能够性一样每个根身手件在一次实验中发生的能够性一样.这类随机实验称为等能够概型，由于这种概型在概这类随机实验称为等能够概型，由于这种概型在概率论开展初期是主要研讨对象，所以也称为古典概率论开展初期是主要研讨对象，所以也称为古典概型型.在古典概型中，假设根身手件的总数为在古典概型中，假设根身手件的总数为n，事，事件件包含的根身手件数为包含的根身手件数为m，那么事件的概率定义，那么事件的概率定义为为 ，这个定义称为概率的古典定义，这个定义称为概率的古典定义.nmAP)(前往前往3概率的定义与简

19、单计算概率的定义与简单计算与随机实验相联络的数量目的与随机实验相联络的数量目的 ，都具，都具有以下共同的属性：有以下共同的属性：(1)(2)(3) 为互不相容事件，那么为互不相容事件，那么 )(AP1)(0AP0)(, 1)(PPnAAA,.,21niiiniAPAP11)(在数学上，刻划随机实验中事件在数学上，刻划随机实验中事件A的的 发生发生 的能够性大小的数值，假设满足上述三条性质，的能够性大小的数值，假设满足上述三条性质，就称为事件的概率就称为事件的概率.)(AP由上述三条根本性质还可以推出：由上述三条根本性质还可以推出： 引例三引例三)(1)(APAP前往前往二、概率的运算公式二、概

20、率的运算公式加法公式加法公式由概率的性质知道，假设事件由概率的性质知道，假设事件A和和B互不相互不相容，即容，即 那么那么 BA)()()(BPAPBAPAB事件事件 时，上式就不成立了时，上式就不成立了. BAAB而有而有)()()()(BAPBPAPBAP该公式称为概率的加法公式该公式称为概率的加法公式加法公式可推行到有限个事件至少有一个加法公式可推行到有限个事件至少有一个发生的情形，如三个事件发生的情形，如三个事件 的并的加的并的加法公式为：法公式为：CBA,()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC引例四引例四前往前往1.3条件

21、概率条件概率一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式1.条件概率条件概率2.乘法公式乘法公式二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式公式1.全概率公式全概率公式2.贝叶斯公式贝叶斯公式 补充点补充点练习题练习题前往一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式普通地，把普通地，把“在事件在事件B已发生的条件下，事已发生的条件下，事件件A发生的概率称为条件概率，记作发生的概率称为条件概率，记作，读作，读作“在条件在条件B下，事件下，事件A的概率的概率.)(BAP()()()0()PA BPA BP BP B同理同理()()( )0( )P ABP B AP AP AAB

22、1.条件概率条件概率引例五引例五前往前往2.乘法公式乘法公式由条件概率的普通公式由条件概率的普通公式,得得 ()( ) ()( ( )0)()( ) ()( ( )0)P ABP B P A BP BP ABP A P B AP A 上述公式称为概率的乘法公式上述公式称为概率的乘法公式.概率的乘法公式可推行到有限个事件交概率的乘法公式可推行到有限个事件交的情形的情形.设有设有n个事件个事件 满足满足 那那么么 12,.,nA AA0),.,(21nAAAP).().()()().(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP)()()()(213121321AAAPAAPA

23、PAAAP当当n=3时时引例七引例七前往前往二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式公式1.全概率公式全概率公式设设 是联络于一随机实验的完备是联络于一随机实验的完备事件组事件组.任一事件任一事件 可表示成可表示成 nHHH,.,21)(AAAHHHAAn).(21121()().()nniiH AH AH AH A由前面已学公式得由前面已学公式得111( )()()() (|)nnniiiiiiiP APH AP H AP H P A H该公式称为全概率公式该公式称为全概率公式引例八引例八前往前往2.贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式设设 是样本空间的一个完备事是样本

24、空间的一个完备事件组件组,A是任一事件是任一事件,且且 ,那么那么nHHH,.,21( )0P A () (|)(|)( )iiiP HP A HP HAP A1() (|)() (|)iiniiiP HP A HP HP A H1,2,in该公式称为贝叶斯公式该公式称为贝叶斯公式.在运用该公式时往往先利用全概率公式求出在运用该公式时往往先利用全概率公式求出( )P A引例九引例九前往前往补充点补充点对于全概率公式和贝叶斯公式对于全概率公式和贝叶斯公式.可以直观可以直观地进展如下了解地进展如下了解:把事件把事件A看成看成“结果结果,把把 看成导致这一结果的看成导致这一结果的“缘由缘由,把全概率

25、公式看成为把全概率公式看成为“由缘由推结果由缘由推结果,把把贝叶斯公式看成贝叶斯公式看成“由结果找缘由。两者由结果找缘由。两者正正好相反好相反.nHHH,.,21前往前往1.4事件的独立性事件的独立性1.事件的独立性事件的独立性 引例十引例十 练习题练习题2.N重贝努利实验重贝努利实验 引例十一引例十一 练习题练习题前往前往1.事件的独立性事件的独立性普通地，设事件普通地，设事件A,B是一随机实验的两个是一随机实验的两个事件事件,且且 ，假设，假设 ，那么称事件那么称事件B对事件对事件A是独立的，否那么称是独立的，否那么称为不为不独立的独立的.0)(AP)()|(),()|(BPABPBPAB

26、P结论结论结论结论由定义可推出以下结论：由定义可推出以下结论：(1)假设事件假设事件A独立于事件独立于事件B，那么事件，那么事件B也独立于也独立于事件事件A,即两事件的独立性是相互的即两事件的独立性是相互的.(2)假设事件假设事件A与事件与事件B相互独立，那么三对事件相互独立，那么三对事件 与与 ，A 与与 ， 与与 B也都是相互独立的也都是相互独立的.(3)事件事件A与与B相互独立的充要条件是，相互独立的充要条件是，两事件相互独立的直观意义是一事件发生的概率两事件相互独立的直观意义是一事件发生的概率与另一事件能否发生互不影响与另一事件能否发生互不影响.AABB)()()(BPAPABP推行推

27、行推行推行事件的独立性可推行到有限个事件的情形事件的独立性可推行到有限个事件的情形:假设事件组假设事件组 中的恣意中的恣意k 个事件交个事件交的的概率等于它们的概率积，那么称事件组概率等于它们的概率积，那么称事件组 是相互独立的，也就是说任一事件的概率不受其是相互独立的，也就是说任一事件的概率不受其他事件发生与否的影响他事件发生与否的影响.例如例如:三个事件三个事件A,B,C假设满足等式假设满足等式 那么称事件那么称事件A,B,C是相互独立的是相互独立的 nAAA,.,21nAAA,.,21)2(nk ),()()(),()()(CPAPACPBPAPABP)()()()(),()()(CPB

28、PAPABCPCPBPBCP留意点留意点留意点留意点事件组相互独立，其中恣意两事件相互独事件组相互独立，其中恣意两事件相互独立；反之却不一定正确立；反之却不一定正确.在实践问题中，两事件能否独立，并不总在实践问题中，两事件能否独立，并不总是用定义或充要条件来检验的，而可以根是用定义或充要条件来检验的，而可以根据详细情况来分析、判别据详细情况来分析、判别.只需事件之间只需事件之间没有明显的联络，我们就可以以为它们是没有明显的联络，我们就可以以为它们是相互独立的相互独立的.前往前往2.N重贝努利实验重贝努利实验假设随机实验只出现两种结果假设随机实验只出现两种结果 ,那么称其那么称其为为伯努里实验伯

29、努里实验 .在一样的条件下在一样的条件下,对同一实验反复进展对同一实验反复进展n次次,假设假设每次实验的结果互不影响每次实验的结果互不影响,那么称这那么称这n次反复实验次反复实验为为n次独立实验次独立实验.n次独立的伯努里实验称为次独立的伯努里实验称为n重伯努重伯努里实验里实验.对于对于n重贝努利实验重贝努利实验,我们最关怀的是在我们最关怀的是在n次独立次独立反复实验中反复实验中,事件事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率AA和( )nP k定理定理定理定理在在n重贝努利实验中重贝努利实验中,设每次实验中事件设每次实验中事件A发生的概率为发生的概率为p( ) ,那么事件那么事件A恰好恰好发发

30、生生k次的概率次的概率假设记假设记那么那么 ,由于由于 恰好是恰好是展开式的展开式的k+1项项,所以称此公式为二项概率所以称此公式为二项概率公式公式01p( )(1)kkn knnP kC pp0,1,2,kn1qp ( )kkn knnP kC p qkkn knC p q()npq前往前往第二章第二章:随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布2.1离散型随机变量离散型随机变量2.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.3延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度2.4随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布自测题二自测题二 前往前往 2.1离散型随机变量离散型随机变量1.随

31、机变量的概念随机变量的概念2.离散型分布变量及其分布律离散型分布变量及其分布律3.0-1分布与二项分布分布与二项分布 0-1分布分布 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 练习题练习题2.1 前往前往1.随机变量的概念随机变量的概念为便于用数学的方式来描画、解释和论证随机试为便于用数学的方式来描画、解释和论证随机试验的某种规律性，我们需求按照研讨的目的将试验的某种规律性，我们需求按照研讨的目的将试验中的根身手件与实数集建立某种联络验中的根身手件与实数集建立某种联络.例如例如:某人向一飞机射击，察看其能否击中飞某人向一飞机射击，察看其能否击中飞机，机， 那么根身手件那么根身手件A=击中击中,B=未

32、击中未击中构成一构成一个个完备事件组完备事件组.为了便于研讨为了便于研讨,我们引进变量我们引进变量X,规定规定X取取1,0分别对应分别对应“击中击中,“未击中事件未击中事件.从而对从而对事件事件A,B的研讨就转化为对实数的研讨就转化为对实数X的研讨的研讨.定义定义定义定义普通地，按研讨随机实验的某种规律性要求，建普通地，按研讨随机实验的某种规律性要求，建立样本空间立样本空间与实数集的某个子集的某种对应关与实数集的某个子集的某种对应关系，使每个根身手件都有一个确定的实数与之对系，使每个根身手件都有一个确定的实数与之对应应.与全体根身手件相对应的数组成的集合记为与全体根身手件相对应的数组成的集合记

33、为M，用一个变量在，用一个变量在M中或在中或在M的某个范围内的的某个范围内的取值来表示和变量的取值所对应的根身手件组成取值来表示和变量的取值所对应的根身手件组成的事件，我们把这样的变量称为随机变量，的事件，我们把这样的变量称为随机变量，M称为称为随机变量的取值范围随机变量的取值范围. 随机变量通常用随机变量通常用X,Y,Z等表等表示示. 引例引例2.1前往前往2.离散型分布变量及其分布律离散型分布变量及其分布律假设随机变量的取值可以一一列举有限假设随机变量的取值可以一一列举有限个个或无穷可列个出来，那么称这类随机变或无穷可列个出来，那么称这类随机变量量为离散型随机变量为离散型随机变量.对于离散

34、型随机变量对于离散型随机变量,我们需求知道它的我们需求知道它的一切能够值及取每一个能够值的概率一切能够值及取每一个能够值的概率. 分布律分布律分布律分布律设设X为离散型随机变量为离散型随机变量,能够取值为能够取值为且且 那么称那么称 为为X的分布律的分布律(或分布列或分布列)分布律常用表格表示分布律常用表格表示,这样更为直观这样更为直观.12,kx xx(),1,2,kkP Xxp kkpX P1x2xkx1p2pkp性质性质分布律性质分布律性质随机变量的分布律具有以下性质：随机变量的分布律具有以下性质：(1)(2),.)2 , 1(0kpkkkp1引例引例2.2和练习题和练习题前往前往反之，

35、假设一数列具有以上性质，就可以看反之，假设一数列具有以上性质，就可以看作为某一随机变量的分布律作为某一随机变量的分布律0-1分布分布假设随机变量假设随机变量X只取两个能够值只取两个能够值0,1,且且那么称那么称X服从服从0-1分布分布.X的分布律为的分布律为:(1)P Xp(0)P Xq01,1ppq其中其中01XPqp0-1分布常用于随机实验只思索两种结果分布常用于随机实验只思索两种结果,比比如抛硬币如抛硬币,正面与反面正面与反面;投篮投篮,中与不中等等中与不中等等.前往前往二项分布二项分布普通地，在普通地，在n重贝努里实验中，事件重贝努里实验中，事件A在每次试在每次试验中发生的概率为验中发

36、生的概率为p，X表示在表示在n次实验中次实验中A发生发生的次数，那么的次数，那么X的分布列为的分布列为 其中其中那么称那么称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布，简记为的二项分布，简记为()(0,1,2,3,. ).kkn knP XkC p qkn01,1ppq二项分布是一种常用的分布。二项分布是一种常用的分布。),(pnBX称号由来引例称号由来引例2.3引例引例2.4泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理设是设是 常数，常数，n是恣意正整数，且是恣意正整数，且那么对于恣意取定的非负整数那么对于恣意取定的非负整数k，有，有由泊松定理，我们可得，当由泊松定理，我们可得，当n很大，很大，p很小时，很

37、小时，有近似公式有近似公式注：在实践的计算中，当注：在实践的计算中，当 时，计算时，计算用上述公式效果颇佳！用上述公式效果颇佳！0nnplim(1)!kkkn knnnnC ppekekppCkknkkn!)1 (其中其中np05. 0,20pn前往前往泊松分布泊松分布假设随机变量的分布律为假设随机变量的分布律为 ，那么称那么称X服从参数服从参数 的泊松分布，记作的泊松分布，记作 .服从泊松分布的随机变量服从泊松分布的随机变量X的概率值可在附录的的概率值可在附录的泊松分布表中查出泊松分布表中查出.,.),.,2 , 1 , 0, 0(!)(nkekkXPk)(PX引例引例2.5前往前往2.2随

38、机变量的分布函数随机变量的分布函数 1。 分布函数的概念分布函数的概念 2。 分布函数的性质分布函数的性质前往前往1。分布函数的概念。分布函数的概念设设X为随机变量，称函数为随机变量，称函数为为X的分布函数。的分布函数。留意：随机变量的分布函数的定义顺应于恣意的留意：随机变量的分布函数的定义顺应于恣意的随机变量。随机变量。 离散型的分布函数离散型的分布函数),(),()(xxXPxF离散型的分布函数离散型的分布函数由于由于 ，由概率的性质知，由概率的性质知， 即即:xxkkxXxXxxkxxkkkpxXPxXPxF)()( )kkxxF xp其中求和是对一切满足其中求和是对一切满足 时相应的概

39、率时相应的概率 求和求和kxxkp引例引例2.6前往前往分布函数的性质分布函数的性质(1) 是不减函数是不减函数,即对于恣意的即对于恣意的 有有 即即(4) 右延续右延续,即即0( )1F x( )F x12xx12()()F xF x()0,()1FF lim( )0, lim( )1xxF xF x( )F x0(0)lim()( )xF xF xxF x 知知X的分布函数的分布函数F(x),我们可以得出以我们可以得出以下事件的概率下事件的概率. 结论结论结论结论(1)(2)(3)( )P XbF b( )( )P aXbF bF a1( )P XbF b 引例引例2.7前往前往2.3延续

40、型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度1。延续型随机变量及其概率密度。延续型随机变量及其概率密度2。均匀分布与指数分布。均匀分布与指数分布 均匀分布均匀分布 指数分布指数分布3。正态分布。正态分布 分位数分位数练习题练习题2.3前往前往1。延续型随机变量及其概率密度。延续型随机变量及其概率密度假设对于随机变量假设对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，存在非负，存在非负函函数数f(x)，使得对于恣意的实数，使得对于恣意的实数x，有，有那么称那么称X为延续型随机变量，并称为延续型随机变量，并称f(x)为为X的概的概率率密度函数，简称概率密度或密度函数。密度函数，简称概率密度或密度函

41、数。 xdttfxF)()(延续型随机变量在某一点的概率延续型随机变量在某一点的概率延续型随机变量在某一点的概率延续型随机变量在某一点的概率对于恣意的实数对于恣意的实数x， ，有，有当当f(x)可积时，可积时，F(x)为延续函数，令为延续函数，令那么那么 即延续型随机变量在某一点的概率为零即延续型随机变量在某一点的概率为零.0 x)()(0 xxFxFxXxxPxXP0 x0 xXP性质性质性质性质1234设设x为为f(x)的延续点，那么的延续点，那么 存在，且存在，且0)(xf1)(dxxfbadxxfaFbFbXaP)()()(badxxfbXaPbXaPbXaP)(另有另有假设假设(1)

42、(2)两个性质符合就是两个性质符合就是延续型随机变量的概率密度延续型随机变量的概率密度注，性质注，性质(3)离散型没有离散型没有)( xF)()( xfxF几何意义几何意义几何意义几何意义如图如图yx0abf(x)bxaP图中阴影部分面积代表了该区域的概率。图中阴影部分面积代表了该区域的概率。引例引例2.8前往前往2。均匀分布与指数分布。均匀分布与指数分布定义定义:假设随机变量假设随机变量X的概率密度为的概率密度为那么称那么称X服从区间服从区间 上的均匀分布上的均匀分布,简记为简记为其分布函数为其分布函数为: , a b其他,0,1)(bxaabxf , Xa b0( )1xaF xbaxaa

43、xbxb直观图形直观图形几何图形几何图形如图f(x)0 xab1baF(x)0abx另有计算公式另有计算公式另有公式另有公式假设假设 是是 的一个子区间即的一个子区间即 ，那么有那么有上式阐明上式阐明X在在 任一子区间取值的概率与区间任一子区间取值的概率与区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，也就是的长度成正比，而与子区间的位置无关，也就是说，说，X在区间在区间 上的概率分布是均匀的，因此上的概率分布是均匀的，因此叫做均匀分布叫做均匀分布.运用这一公式计算均匀分布的概率很方便运用这一公式计算均匀分布的概率很方便.,dc,babdca11()( )()ddccP cXdf x dxdxdcba

44、ba,ba,ba引例引例2.9前往前往指数分布指数分布定义定义:假设随机变量假设随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数为常数,那么称那么称X服从参数为服从参数为 的指数的指数分分布布.简记为简记为其分布函数为其分布函数为,0( )0,0 xexf xx01( )0 xeF x 00 xx指数分布有着广泛的运用，常用来做各种指数分布有着广泛的运用，常用来做各种“寿命分布的近似，寿命分布的近似，例如动物的寿命，的通话时间，随机效力系统中的效力时间等，例如动物的寿命，的通话时间，随机效力系统中的效力时间等，都通常假定服从指数分布都通常假定服从指数分布. )(EX引例引例2.10前往前往3

45、。正态分布。正态分布定义定义:假设随机变量假设随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数且为常数且 ，那么称，那么称X服从参数为服从参数为 的正态分布，记作的正态分布，记作 .正态分布的密度函数的图像称为正态曲线正态分布的密度函数的图像称为正态曲线 )(21)(222)(xexfx,02,),(2NX几何图形几何图形几何图形几何图形如图如图f(x)x0aa图形特点及正态分布曲线的性质图形特点及正态分布曲线的性质(1)曲线关于曲线关于 对称对称(2)当当 时，取到最大值时，取到最大值(3)参数参数 决议正态曲线的外形，决议正态曲线的外形， 较大曲线较大曲线扁平，扁平， 较小曲线狭高较小曲

46、线狭高. xx21)(xf分布函数分布函数分布函数分布函数设设 ，那么，那么X的分布函数为的分布函数为特别地，当特别地，当 时的正态分布时的正态分布 ，称为标，称为标准的正态分布。准的正态分布。其密度函数为其密度函数为其分布函数为其分布函数为 dtexFxt222)(21)(),(2NX1, 0) 1 , 0(N)(21)(22xexxdtedttfxXPxxtx2221)()()(规范正态分布密度函数图形规范正态分布密度函数图形规范正态分布密度函数图形规范正态分布密度函数图形如图如图)(xx0aa图形关于图形关于 轴对称，且在轴对称，且在 获得最大值获得最大值y0 x21规范正态分布函数规范

47、正态分布函数 的性质的性质(1)(2)(x)(1)(xx21)0(计算公式计算公式计算公式计算公式规范正态分布函数的值可以直接查表得。规范正态分布函数的值可以直接查表得。普通的正态分布函数普通的正态分布函数 与规范的正态分布函数与规范的正态分布函数 的关系，设的关系，设)(1)(1)(),()()()()(aaXPaXPabaXPbXPbXaP引例引例2.11)(xF)(x)()(xxXPxF),(2NX)()(abaXPbXPbXaP)(1aaXP引例引例2.12分位数临界值分位数临界值定义定义 规范正态分布的临界值记为规范正态分布的临界值记为 ， 满足满足 那么称点那么称点 为规范正态分布

48、的分位数或临为规范正态分布的分位数或临界界值值 由由 ，查规范正态分布表求查规范正态分布表求 .uu)(1)(uXPuXPu1)()(uuXPu引例引例2.13前往前往2.4随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布1.离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布 练习题练习题2.412.延续型随机变量函数的概率分布延续型随机变量函数的概率分布 练习题练习题2.42前往前往1.离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布设设g(x)是一给定的延续函数是一给定的延续函数,称称 为随机变为随机变量量X的一个函数的一个函数,显然显然Y也是一个随机变量也是一个随机变量.当当X

49、取取值值x时时,Y取值取值y=g(x).重点在于讨论如何由知的随机变量重点在于讨论如何由知的随机变量X的概率分的概率分布布,去求函数去求函数 的概率分布的概率分布.()Yg X()Yg X引例引例2.14结论结论结论结论离散型随机变量离散型随机变量X的取值可列的取值可列 ,那么那么Y的的取值也是可列的取值也是可列的 ,因此因此Y也是也是个离散型随机变量个离散型随机变量.但是但是 中可中可能有相等的情况能有相等的情况.当当 有相等的情况时有相等的情况时,应把应把 相等的那些相等的那些 所对应的概率相加所对应的概率相加,作为作为Y取值取值的概率的概率.12,kx xx12(), (),(),kg

50、xg xg x12(), (),(),kg xg xg x12(), (),(),kg xg xg x()kg xix()kg x注：在最后所得分布律，按注：在最后所得分布律，按Y的各取值的自然的各取值的自然顺序重新陈列一下顺序重新陈列一下前往前往2.延续型随机变量函数的概率分布延续型随机变量函数的概率分布设设X为延续型随机变量，其密度函数为为延续型随机变量，其密度函数为设设 是一严厉单调的可导函数，其值域为是一严厉单调的可导函数，其值域为 且且 。记。记 为为 的反函数，那么的反函数，那么的概率密度的概率密度特别地，当特别地，当 时时)(xfX)(xg,0)( xg)(yhx )(xgy )

51、(XgY 0| )( |)()(yhyhfyfXY其他 y,| )( |)()(yhyhfyfXYy引例引例2.15前往前往第三章第三章:多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布3.1多维随机变量的概念多维随机变量的概念3.2随机变量的独立性随机变量的独立性3.3两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 自测题自测题3前往前往3.1多维随机变量的概念多维随机变量的概念1。二维随机变量及其分布函数。二维随机变量及其分布函数2。二维离散型随机变量。二维离散型随机变量 练习题练习题3.113。二维延续型随机变量的概率密度和边。二维延续型随机变量的概率密度和边缘概率密度缘概率密度 练习

52、题练习题3.12前往前往1。二维随机变量及其分布函数。二维随机变量及其分布函数定义定义 n个随机变量个随机变量 ，构成的整体，构成的整体 称为一个称为一个n维随机变量或维随机变量或n维随机维随机向量，向量， 称为称为X的第的第i个分量。个分量。定义定义 设设 为一个二维随机变量，记为一个二维随机变量，记称二元函数称二元函数 为为X与与Y的结合分布函数或称为的结合分布函数或称为 的分布函数。的分布函数。nXXX,21),(21nXXXXiXni, 2 , 1),(YX,),(yYxXPyxFxy),(yxF),(YX续续续二维随机变量续二维随机变量 的两个分量的两个分量X与与Y各自的分布函数分别

53、称为各自的分布函数分别称为二维随机变量二维随机变量 关于关于X与关于与关于Y的边缘分布函的边缘分布函数，记为数，记为 与与 。 边缘分布函数与结合分布函数的关系。边缘分布函数与结合分布函数的关系。),(YX),(YX)(xFX)(yFY),(,)(xFYxXPxXPxFX),(limyxFy),(,)(yFyYXPyYPyFY),(limyxFx 几何图形几何图形几何图形几何图形如图如图xyo),(yxDD为分布函数为分布函数 在在 处的函数值处的函数值),(yxF),(yxD为以为以 为顶点，位为顶点，位于该点左下方的无穷矩形于该点左下方的无穷矩形),(yxxy0),(11yx),(21yx

54、),(22yx),(12yx1y1x2y2x矩形域为落在区域矩形域为落在区域内的概率。内的概率。,2121yYyxXx计算公式计算公式计算公式计算公式落在矩形域内概率为落在矩形域内概率为分布函数分布函数 的性质的性质(1) 是变量是变量x或或y的不减函数的不减函数(2)(3) 关于关于x和关于和关于y均右延续均右延续(4)对恣意固定的对恣意固定的 ， 有有),(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP),(yxF),(yxF1),(0yxF),(yxF21xx 21yy 0),(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxF前往前往2。二维

55、离散型随机变量。二维离散型随机变量定义定义 假设二维随机变量假设二维随机变量 只取有限多对或只取有限多对或可列可列无穷多对无穷多对 ，那么称，那么称 为二为二维维离散随机变量。离散随机变量。设二维随机变量设二维随机变量 的一切能够取值为的一切能够取值为 ， 在各个能够取值的概率为：在各个能够取值的概率为：),(YX),(jiyx, 2 , 1,ji),(YX),(YX),(jiyx, 2 , 1,ji),(YXijjipyYxXP, 2 , 1,ji分布律分布律性质性质性质性质 的分布律具有以下性质：的分布律具有以下性质：(1)(2)由由 的分布律可求得它的分布数的分布律可求得它的分布数 ，)

56、,(YX0ijp, 2 , 1,ji1ijijp引例引例3.1),(YX),(yxFxxyyijijpyYxXPyxF,),(引例引例3.2边缘分布律边缘分布律边缘分布律边缘分布律定义定义 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X,Y，分量，分量X或或Y的分布律称为的分布律称为X,Y关于关于X或或Y的边缘分布的边缘分布律，记为律，记为 或或可由可由X,Y的分布律求出。的分布律求出。ip1,2,3i jp1,2,3j iiijjpP Xxp1,2,3i jjijipP Yyp1,2,3j 性质性质性质性质边缘分布律具有以下性质：边缘分布律具有以下性质：120jp0ip ,1,2,3i j 1iji

57、p 1ijjp 前往前往3。二维延续型随机变量的概率密度和。二维延续型随机变量的概率密度和边缘概率密度边缘概率密度定义：设二维随机变量定义：设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为假设存在非负可积函数为假设存在非负可积函数为 ，使得对于恣，使得对于恣意意的实数的实数x,y都有都有那么称那么称 为二维延续型随机变量，并称为二维延续型随机变量，并称为为 的概率密度函数或的概率密度函数或X与与Y的结合密度函的结合密度函数。数。(, )X Y( , )F x y( , )f x y( , )( , )xyF x yf u v dudv (, )X Y( , )f x y(, )X Y性质性质性质性质按

58、定义：概率密度函数按定义：概率密度函数 有以下性质：有以下性质：12( , )f x y( , )0f x y ( , )1f x y dxdy 分布函数与密度函数的关系分布函数与密度函数的关系假设假设 在在 处延续，那么处延续，那么有有( , )f x y( , )x y2( , )( , )F x yf x yx y 概率计算公式概率计算公式概率计算公式概率计算公式假设知假设知 的概率密度的概率密度 ，那么，那么在平面区域在平面区域D内取值的概率为：内取值的概率为：(, )X Y( , )f x y(, )X Y(, )( , )DPX YDf x y dxdy几何意义：随机点几何意义：随

59、机点 落在平面区域落在平面区域D上的上的概率等于以平面区域概率等于以平面区域D为底，以曲面为底，以曲面 为顶的曲顶柱体的体积。为顶的曲顶柱体的体积。(, )X Y( , )zf x y引例引例3.3两种重要的分布两种重要的分布两种重要的分布两种重要的分布1。均匀分布。均匀分布 定义定义 2。二维正态分布。二维正态分布 定义定义 延续型随机变量的边缘分布延续型随机变量的边缘分布前往前往均匀分布定义均匀分布定义设设D为平面上的有界区域，其面积为为平面上的有界区域，其面积为S且且S0，假设二维随机变量假设二维随机变量X,Y的概率密度为的概率密度为那么称那么称X,Y服从区域服从区域D上的均匀分布或称上

60、的均匀分布或称X,Y在在D上服从均匀分布，记作上服从均匀分布，记作 01),(SyxfelseDyx),(DUYX),(特殊情形特殊情形特殊情形特殊情形1D为矩形区域，为矩形区域， 此时此时2D为圆形区域，如为圆形区域，如X,Y在以原点为圆在以原点为圆心，心，R为半径的圆域上服从均匀分布，那么为半径的圆域上服从均匀分布，那么X,Y 的概率密度为的概率密度为dycbxa,0)(1),(cdabyxfelsedycbxa, 01),(2RyxfelseRyx222 前往前往二维正态分布定义二维正态分布定义假设二维随机变量假设二维随机变量X,Y概率密度为：概率密度为：其中其中 都是常数，且都是常数，