导数的几何意义课件

1、回顾回顾以平均速度代替瞬时速度，然后通过以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.函数函数 在在 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxf xxf xyxx 我们称它为函数我们称它为函数 在在 处的导数，记处的导数，记作作 或或 ，即：，即：( )yf x0 xx0 xx( )yf x( )fx0000()()( )limlimxxf xxf xyfxxx 0|x xy 由导数的定义可知由导数的定义可

2、知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的步骤是导数的步骤是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数回回顾顾)(xfxxfxxf)(00你能借助函数的图象说说平均变化率你能借助函数的图象说说平均变化率表示什么吗？请在函数表示什么吗？请在函数图象中画出来图象中画出来割线斜率平均变化率表示的是割线npp的斜率 圆的切线0 x割线割线ppn的的变化情况的的变化情况 在在的过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来你能描述一下吗？你能描述一下吗？曲线切线曲线的切线

3、定义曲线的切线定义 npp00(,()p xf x0 x当点00(,()np xx f xx( )f x沿着曲线逼近点时，即，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线pt称为点点p p处的切线。处的切线。0 xnk已知曲线已知曲线y=f(x)上两点，上两点， 0000(,(),(,()nxxp xf xp xf x 结合两点坐标，割线结合两点坐标，割线 的斜率的斜率 可表示为什么？可表示为什么？ ptnk思考思考根据切线定义可知：根据切线定义可知： ，割线割线 切线切线 ，那么割线，那么割线 的斜率的斜率 ？nppnppnpp结合结合 ，割线，割线 切线切线 ，则切线则切线 的斜率的斜率 可

4、以表示怎么表示？可以表示怎么表示？0 x nppptptk函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义几何意义就是就是 函数函数 的图像在点的图像在点 处的处的切线的斜率切线的斜率. （数形结合）（数形结合） )(xf0 xx 0/xf)(xf00(,()p xf x导数的几何意义：导数的几何意义： 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 而通过而通过逼近逼近的方法，的方法，将将割线趋于的确定位置割线趋于的确定位置的直线的直线定义为切线定义为切线（交（交点可能不惟一）点可能不惟一）适用于适用于各种曲线。所以，这种各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线定义才真正

5、反映了切线的直观本质。的直观本质。 2l1lxyabcppp 根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点p附近，曲线可以附近，曲线可以用在点用在点p处的切线近似代替处的切线近似代替 。.,.,.以以直直代代曲曲想想方方法法这这是是微微积积分分中中重重要要的的思思附附近近的的曲曲线线点点这这替替近近似似代代切切线线我我们们用用曲曲线线上上某某点点处处的的这这里里近近似似代代替替无无理理数数用用有有理理数数如如例例刻刻画画复复杂杂的的对对象象数数学学上上常常用用简简单单的的对对象象14163例例1:（1）求函数）求函数y=3x2在点在点 (1,3)处的导数处的导数.（2）求曲线）求曲线y=f

6、(x)=x2+1在点在点p(1,2)处的切处的切线方程线方程.2222111133 13(1 )|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx 222100(1)1 (11)2|limlim2xxxxxxyxx 22(1)yx20 xy 例例2.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ， 的几何意义的几何意义. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0ot (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在

7、在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thto3t4t0t1t2t跳水 (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝对值的大小的绝对值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭

8、程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象(2) 曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 0t曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调0t,1t,1t2t如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升递增递增2l1l3l4l3t4t上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth

9、0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减递减下降下降小于小于下降下降,3t4t 例例3如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1) 血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率, 就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看,它表示它表示曲

10、线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率.函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象 t 0.2 0.4 0.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 3 . 004 . 15 . 0 .,.,.41804180 ft所以它的斜率约为处的切线作)(xf0 xx 0/xf2.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线的斜率处的切线的斜率（数形结合）（数形结合） )(xf00,()p xf xxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切线切线 的斜率的斜率k4.导函数导函数(简