天津大学2019年高数第二学期期中考试2ppt课件

1、2009年第二学期高数期中考试题年第二学期高数期中考试题讲解讲解 求 其中 是由圆 和 围成的平面区域.【分析】首先，将积分区域分为大圆减去小圆再利用对称性与极坐标计算即可。解由对称性， 22()Dxyy dD224xy22(1)1xy221,|4Dx yxy 222,|11Dx yxy0Dyd12222222DDDxy dxy dxy d3222cos2220002dr drdr dr16321632399一一 5.LsyxxyayxL._d)43(， 则，其周 长其134为椭圆设2222Lsxyd12原式LLssxyd12dasxyL12d . 0d Lsxy由对称性知.12a故原式a12

2、22143xy223412xy解解由 知一、一、5.C此题15人做错二、二、3.计算计算,dd22 yxyxze22yxz 为为锥锥面面及平面及平面 z = 1 , z = 2 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧所围立体的表面的外侧. .解一解一由由GaussGauss公式公式 zyxyxeyxyxezzddddd222222 e 解二解二,321 4,2:221 yxz上侧上侧1,1:222 yxz下侧下侧1 xzy3 2 123 41222222222ddddyxyxyxyxeyxyxe 41222222ddyxyxyxyxe（用极坐标）（用极坐标）rrrerrredddd1

3、02020220 rrrredd2120 22e 21 ,:223 zyxz 外侧外侧41223 yxxy：平平面面的的投投影影在在oyxz二、二、4.求椭圆柱面求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: zyxSSyzDydd212d21将曲面分为前后将曲面分为前后两部分：两部分：21935:yx .,21 yz zyDyz90022309814819814812uuuzyyyyddd 几何与物理意义,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积

4、sL),(yxfz Ldsyxf),(sySLd tttdsincos45302 5ln4159 ttttdcos9sin5sin3220 ttytxL0,sin3,cos5:syszSddd 解解: OxyzL uu d53202弧微分弧微分三、三、 3.设闭区域设闭区域 : ， 为为 上的连续函数上的连续函数,且且 求求 【解答】设【解答】设 ，在已知等式两边求区域在已知等式两边求区域 上的二重积分上的二重积分,有有D22,0 xyy x( , )f x y228( , )1( , )Df x yxyf u v dudvD( , )f x y( , )Df u v dudvADsin232

5、20001221(1 cos)323Adrrdrd12623A228( , )1DDDAf x y dxdyxy dxdydxdy221DAxy dxdyA从而故即解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0d)(Vyzxy, 同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0d Vxz由由对对称称性性知知 VyVxdd22, 则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐标标下下：,20, 10,222z, 122 yx投投影影区

6、区域域 xyD：2222222010d)cos2(ddzz).89296(60dxdydzzx)2(22.,sin,coszzyx三、三、 5. 计算计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz解解 设设 P P0 0( (x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0) )为为曲曲面面上上任任一一点点（其其中中 x x0 0 0 0，y y0 0 0

7、 0，z z0 0 0 0） ， 曲曲面面在在 P P0 0点点的的切切平平面面方方程程为为 0)(2)(2)(2000000 zzzcyyybxxxa ( (2 2) ) 因因 P P0 0在在曲曲面面上上，即即 1000 zcybxa， 将将它它代代入入( (2 2) )式式，可可化化切切平平面面方方程程为为，1000 zzcyybxxa因因此此 , ,切切平平面面与与三三坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体的的体体积积abczyxV6000 . .于是问题转化为求函数于是问题转化为求函数 u=xyzu=xyz（x0 x0，y0y0，z0z0）在条件）在条件( (1 1) )下的下的最

8、大值问题最大值问题. .令令 F(F(x,y,z)=x,y,z)=xyzxyz ( (1 zcybxa) )，解方程组，解方程组 02,2, 020 zcxyFybxzFxayzFzyx 01 zcybxa (3) (3)可得可得 zcybybxa ,代入代入（3 3）式得唯一解）式得唯一解 )91,91,91(),(222cbazyx 依题意，满足所给条件的最大体积一定存在，故在该点达到最大值依题意，满足所给条件的最大体积一定存在，故在该点达到最大值D五、五、 1.质点质点M沿以沿以AB为直径的半圆为直径的半圆,从点从点A(1,2)运动到运动到 Dyxdd2点点B(3, 4),到原点的距离到

9、原点的距离,解解:故所求为故所求为AByxxydd ABBAAB xxxd)1(31 22 锐角锐角,其方向垂直于其方向垂直于OM, 且与且与y 轴正向夹角为轴正向夹角为AB )dd(yxxy 1方程 xyABF求变力求变力 F 对质点对质点M 所作的功所作的功. , ),(xyF F 的大小等于点的大小等于点M 在此过程中受力在此过程中受力 F 作用作用,sFWd ),(yxMBAyxo五、五、 2.计算计算2/3222)(ddzyxzdxdyydzdxzyxI其中其中提示提示: : 作辅助小球面作辅助小球面，取取内内侧侧2222azyx 然后用高斯公式然后用高斯公式. . 是椭球面是椭球面

10、1222222 czbyax取外侧。六六.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf证证明明 证：方法一证：方法一思路：从改变积分次序入手思路：从改变积分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xxtdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx0vutDvtDx六六.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf证明证明方法二方法二.)()(2102 xdttftx udttfuF0)()(令令duuFdudttfvvu 000)