初中数学第二十一章一元二次方程复习汇总

1、辅导宝典学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：授课内容第二H一章一元二次方程授课日期教学内容I.课前热身1、回顾一元一次方程的概念？2、有一面积为54m 2的长方形，将它的一边剪短 5m ,另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？1、了解一元二次方程及有关概念。2、掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程。3、掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法。4、了解一元二次方程两个根与系数的关系（韦达定理）。教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。2、用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程。3、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问

2、题。教学难点1、一元二次方程配方法解题。2、用公式法解一元二次方程时的讨论；用因式分解法的技巧。3、建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别。,把握住, 一个未知数.最高次数是2.整式方程-元二次方程的定义,般形式：axZbw+Bfl(a#)考点1 :7L7L一元二次方程的解法I 儿一次方程的应用二次方程的概念f直接开平方法:配方法:因式分解法工二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是辿成,形妇（x-k）2 =h Lh>0）型适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程适应于左边能分解为两个一次式的积,右边是0的方程2 ,且系数不为0 ,这样的方程叫7L

3、二次方程。例如：2x 2+2x-4=0等。【三种形式次项系数 2;常数项-4); 4x 2-4=0 ; 3x 2+8x=0等(二次项2x2,二次项系数 2; 一次项2x, ax=b （b>0,注意b<0则无实数根）的方程两边直接开平方而转化为两个次方程的方法。x+a=0, ax 2+c=0, ax 2+bx=0(a 中 0般形式:ax2 + bx+c=0（a w0, b、c为实数，未限定范围）。注意：判断某方程是否为二次方程时，应首a的取值范围判定、分母是否含有未知数（分母含有先将方程化为一般形式，一定要符合一般形式格式，特别注意 未知数的方程是分式方程）考点2 :二次方程的解法1

4、、直接开平方法：对形如（x+a ）【(ax + b)2、配方法:x =-a+用配方法解a, b,次方程:x2 =-a- 二 bc为常数）】ax2 + bx+c=0（k w0）的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项到方程的右边；化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ) 2 =b的形式；如果 b>0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 b<0,则原方程无解。3、公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的。一元二次方程的求根2b b 4ac 2公式是x (A=b2-4ac &

5、gt;0)o步骤：把方程转化为一般形式；确定 a, b, c的值；求出2a=b24ac的值，当 =b24ac >0时代入求根公式， =b24acv0时，则该方程无实数解。4、因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据：若axb=0 ,则a=0或b=0或a=b=0。步骤是：将方程右边化为 0;将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。因式分解的方法： 提公因式、公式法、十字相乘法。(1)提取公因式法：iini+hm+cm=m(a+b+c).(2)公式法：a2-b2=(a

6、+b)(a-ba2+2ab+b2=(H+b)2.(3)十字相乘法:x1+(a+b)x+ab= (x+iO(x+b),_力5、一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调aw0,因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a, b, c的值；若b2 4acv0,则方程无解。 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。如一2(x+4)2 =3 (x+4)中，不能随便约去x + 4 (因x + 4可能等于0,两边不能同时除于 0,因此需要移项提取公因式进行计算)。(4)注意：解一元二次方程时一

7、般不使用配方法(除特别要求外) 但又必须熟练掌握， 解一元二次方程的一般方法选用顺序是：开平方法一因式分解法一公式法。6、判断一元二次方程解的情况b24ac >0方程有两个不相等的实数根；b2 4ac=0方程有两个相等的实数根；b24acv0方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根” “没有实数根”时，往往首先考虑用b2-4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点3:根与系数的关系：韦达定理对于方程 ax2+bx+c=0(a w0)来说，xi +x 2 = b/a , xiXx2=c/a 。利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形)22,、2

8、 c如 xix2 (xi x2)2x1x211xix2x1x2xx2韦达定理的应用:(1)已知方程的一个根，求另一个根和未知系数(2)求与已知方程的两个根有关的代数式的值(x12+ x22, 1/x1+1/ x2 )两根的和或关于两根的二元一次方程，则需(3)已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值(比如,要建立二元一次方程组)(4)已知两数的和与积，求这两个数(5)已知方程的两根 x1, x2 ,求作一个新的一元二次方程x2 - (x1+x 2) x+ x 1x2 =0(6)利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c= a(x- x 1)(x-x 2)考点4：利用实际问题建立一

9、元二次方程的数学模型，并解决这个问题解题步骤：理解题目实际问题，可画出简图便于理解；找出实际问题中的等量关系；列出一元二次方程；求解方程(一般用因式分解法或配方法)；验证两个解的合理性(三角形两边与第三边的关系；现实长度不能小于0等)列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题温馨提示：(1)若设每次的平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)前的数量为a,则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x), 第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2.(2)面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组

10、合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程.(3)列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性方法技巧：(1)变化率问题中常用 a (1±x) n=b,其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x是变化率.变化率问题用 直接开平方法求解简单.(2)解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系题型1 : 一元二次方程的判定以及相关参数取值或取值范围1、下列方程中，关于 x的一元二次方程是()211A3(x 1) 2(x 1) B2 0x y 222.C.ax bx c 0 D.x 2x

11、 x 12、把方程(1 2x) (1+2x ) =2x21化为一元二次方程的一般形式为 m2 1 3、已知关于x的万程(m 1)x (m 2)x 1 0,问：(1) m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；(2) m取何值时，它是一元一次方程？题型2 :利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1、关于x的一元二次方程(m-1 ) x2+5x+m 2-1=0的常数项为0,求m的值。22、若一元二次方程(2a 4)x(3a 6)x a 8 0没有一次项，则a的值为题型3 :利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式1、已知关于x的一元二次方程 x2+bx+a=0的一个根是-a ( aw 0),则a

12、-b值为()A. -1B.0C.1D.22、若一元二次方程 ax2+bx+c=0中，a - b+c=0 ,则此方程必有一个根为 .2a2 13、已知实数a是一兀二次万程 x2 2013x+1=0的解，求代数式 a2 2012a 1的值.2013题型4 : 一元二次方程的解法一一直接开平方法1、解方程(x + 3) 2= 22、解方程(3-2 x ) 2=49题型5 : 一元二次方程的解法一一配方法1、若方程25x 2- (k-1 ) x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则 k的值为()A. -9 或 11 B . -7 或 8 C . -8 或 9 2、解方程 3x(x+4)=8x+123

13、、用配方法证明：无论 x为何实数，代数式2x2+4x 5的值恒小于零。题型6:利用判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围1、关于x的方程kx 2+3x+2=0 有实数根，则k的取值范围是()2、已知a , b , c分别是三角形的三边，则方程( a+b ) x2+2cx+ (a+b) =0的根的情况是()A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根3、已知关于x的方程a2x2+ (2a 1) x+1=0有两个不相等的实数根 x1，x2。求a的取值范围题型7 : 一元二次方程的解法一一公式法1、解方程 x2+4x+8=4x+112、解方程 x2+

14、17=8x题型8 : 一元二次方程的解法一一因式分解法1、解下列方程：(1)y2+7y+6= 0;(2)t(2t1) = 3(2 t 1) ;(3)(2 x 1)(x1) = 12、解下列方程：(1) 2y2=y+15 ;(2) y2-35y+300=0;(3) 6x2 13x 2 03、解下列方程：(1) 3(2x 1)2 9(<3x 2)2 0(2) x2 (2 2<2)x 3 2庵 0题型9 :解绝对值方程和高次方程1、若方程(x2+y2-5) 2=64 ,贝U x2+y2=.2、解方程 x2-|x -1| -1=03、已知|m 2| 1,试解关于x的方程mx(x 2) 2

15、(x 1)(x 1).题型10 ：利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值1、已知 ”，3 是方程 x2+2006x+1=0的两个根，贝 U ( 1+2008 “+/)( 1+2008 3+ 32)的值为().A. 1B . 2C. 3D. 42、关于x的方程kx 2+(k+2)x+k/4=0有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在求出k的值；不存在说明理由。3、设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x 3=0 的两个根，2x1 (x22+5x2-3) +a=2 ,贝 U a=.24、已知x1、x2是一兀二次万程 a 6

16、 x 2ax a 0的两个实数根，(1)是否存在实数a,使x +xx2=4+ x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由;(2)求使(x1 + 1) (x2+1)为负整数的实数 a的整数值.根据这一5、(1)教材中我们学习了：若关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为x1、x2,x1+x2=一，x,X2=一. aa的两根,性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代数式的值.例如：已知 x1、x2为方程x2-2x-1=0(1 ) x 1+x 2 =, x 1 x 2=, 那么 x12+x 22=( x 1+x2)2-2 x 1 - x2=_请你完成以上的填空(2)阅读

17、材料：已知 m2 m 1 0, n2 n 1 0,且mn一 .11.11 0 可知 n 0.，1 0. n nn一 rr11 .r 20,且 mn 1,即 m -m,一 是万程 xnnmn 1 , =1 .n解：由n np 2又m m 11. m 1 n(3)根据阅读材料所提供的的方法及(mn 11 .求1 0.的值.x 1 0的两根.1)的方法完成下题的解答.题型11 ： 一元二次方程的应用已知 2m2 3m 1 0, n2 3n 2 0,. c 1 ,一且mn 1 .求m2 的值.n（一）利用一元二次方程解决面积问题1、如图：要设计一幅宽 20cm ,长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的

18、彩条，横、竖彩条的宽度比为2： 3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（二）利用一元二次方程解决变化率问题1、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有 30% ,大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2014年的利用率提高到60% ,求每年的增长率.（取 J2= 1.41 ）2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，3轮感染后，被感染

19、的电脑会不会超过700台？（三）利用一元二次方程解决市场经济问题1、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过 60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元.请问该校共购买了多少棵树苗？（四）利用一元二次方程解决生活中的其他问题1、如图每个正方形是由边长为 1的小正方形组成（1）观察图形，请填与下列表格:止方形边长1357n （奇数）红色小止方形个数止方形边长2468n （偶数）红色小止方形个数（2）在边长为n （n&

20、gt;1）的正方形中，设红色小正方形的个数为Pi,白色小正方形的个数为 P2,问是否存在偶数n ,使P2=5P i ?若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由. .S *>«. _<1、（ 2016?台 州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了 45场，每两队之间都比赛一场，则下列 方程中符合题意的是（）A . x （x T ） =45 B . x （x+1 ） =45 C . x （ x 1 ） =45 D . x （ x+1 ） =45a2 b22、（2014湖南株州）已知 x=1是一兀二次万程 ax2 bx 40 0的一个解，且 a b,求的值.2a 2b3、（ 20

21、16?雅安）已知关于x的一元二次方程x2 +mx - 8=0 的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为（）A.4, - 2 B . - 4, - 2 C.4,2 D , -4,24、（ 2016?广 州）定义运算：a*b=a （1- b）.若a, b是方程x2 - x+m=0（ m v 0 ）的两根，则b*b - a*a 的值为（）A . 0 B . 1 C . 2 D.与 m 有关VI .巩固练习一、基础经典题（44分）（一）选择题（每题4分，共28分）【备考1】如果在1是方程x 2 +mx 1=0的一个根，那么 m的值为（）A. -2 B . - 3 C. 1 D. 2【备考2】方程2

22、x（x 3） 5（x 3）的解是（）_55_x 3B.x-C.k 3,x2D.x322一一. 2【备考3若n是方程x mx n 0的根，n wo,则m+n等于（）A. 7 B.6 C. 1D. 12【备考4】关于x的方程x mx n 0的两根中只有一个等于 0,则下列条件中正确的是（）A . m=0, n = 0 B . m=0, n w0C . mw0, n = 0D . mw。，n w0【备考5】以5 2和5+2、/6为根的一元二次方程是（）2A x 10x 1 0_2C. x 10x 120 D.x 10x 1 0【备考6】已知x1,2x? 方程x x 3=0的两根,一. 22 .那么x

23、x2值是（）C. 7D、4941x2 （m【备考7】关于x的方程4A. 2 B. - 1 C. 023）x m 0有两个不相等的实根，那么D. lm的最大整数是（二）填空题（每题 4分，共16分）【备考8】已知一元二次方程x 2 + 3x+1=0的两个根为x 1, x 2那么(1+ x 11+ x 2）的值等于【备考9已知一个一元二次方程x 2 +px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则 P的值是的根，则【备考10如图，在口 ABCD 中，AELBC于E, AE=EB=EC=a ,且a是一元二次方程 x2+2x 3=0 abcd的周长是E【备考11】关于x的方程(k 1)x2 3(k 2)x k2 42 0的一次项系数是3,则k= 2【备考12】关于x的方程(a 1)xa 3 x 5 0 是一元二次方程，则 a=.三、实际应用题(9分)本题为增长率问题，一般形式为a (1+x) 2=b , a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量【备考13】2003年2月27日广州日报报道：2002年底广州自然保护区覆盖率 (即自然保护区面积占全市面 积的百分比)为4. 65%,尚未达