初三数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题

1、初三数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题一、圆的综合1 .如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点 C作AC的垂线交AD 的延长线于点 E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5应，AD : DE=4 ： 1 ,求 DE 的长.【答案】 见解析；(2) .,5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,进 而得出答案.详解：(1)连接O

2、D.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC为。O 的直径， / ADO/ EDC=90 °.点 F 为 CE的中点，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, ，Ab = ?C， 1- BC=AB=5 72 -在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE = ,AC2=AD?AE.

3、AD AC设 DE为 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x,.-100=4x?5x, x= 75 ,，DE=石.点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=ad?ae是解题的关键.2.已知，如图：Oi为x轴上一点，以 Oi为圆心作。交x轴于C、D两点，交y轴于 M、N两点，/CMD的外角平分线交 OOi于点E, AB是弦，且AB/CD,直线DM的解析 式为 y=3x+3.(1)如图1,求OOi半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EN BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦 AB/ CD,试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请

4、写出你的结论，并证明.(3)在(2)的条件下，EF交OOi于点G,问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长(不写过程)，若变化自画图说明理由.【答案】(i) r=5 E (4, 5) (2) BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变，等于 572【解析】分析：(i)连接 ED. EC EQ、MOi,如图 i,可以证到 / ECD=/ SME=/EMC=/EDC,从 而可以证到Z EOiD=ZEOiC=90 °,由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=i, OM=3.设 OOi的半径为r.在RtA MOOi中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点Oi作OiPEG于P,过点Oi作O

5、iQ± BC于Q,连接EQ、DB,如图2.由 AB/ DC可证到BD=AC,易证四边形 OiPFQ是矩形，从而有 OiP=FQ, Z POiQ=90°,进而有 /EOiP=/ COiQ,从而可以证到 EPOiCQOi,则有PQ=QOi.根据三角形中位线定理 可得FQ=1bd.从而可以得到 BF+CF=2FQ=AC.2(3)连接 EOi, ED, EB, BG,如图 3.易证 EF/ BD,则有 Z GEB=Z EBD,从而有 BG=?D,也就有BG=DE.在RtA EQD中运用勾股定理求出 ED,就可解决问题. 详解：(i)连接ED EG EQ、MOi,如图i. ME 平分

6、 / SMC,/ SME=Z EMC. / SME=Z ECD, / EMC=Z EDC,，/ ECD=Z EDC,，/ EQD=/ EQC. ZEOD+Z EQC=180 °,，/EQD=/ EOiC=90°. 直线DM的解析式为y=3x+3, .点M的坐标为（0, 3）,点D的坐标为（-1,0）, .OD=1, OM=3.设。Oi的半径为r,则MOi=DOi=r.在 RtA MOOi 中，（r 1） 2+32=r2.解得：r=5,OOi=4, EOi=5,.OOi 半径为 5,点 E 的坐标为（4, 5）.（2） BF+CF=AC.理由如下：过点Oi作OiPL EG于

7、巳 过点Oi作OiQBC于Q,连接EO、DB,如图2. AB/ DC,Z DCA=Z BAC,Ad = Bc, ?d = Ac , BD=AC-OiP± EG, OiQ± BC, EF±BF, z. ZOiPF=Z PFQ=Z OiQF=90 °, .四边形 OiPFQ是矩 形，OiR=FQ, Z POiQ=90 °,ZEOiP=90 °- ZPOiC=ZCOiQ.EO1PCO1Q在EPQ 和 ACQ。中，EPOiCQOi ,O1E QC.-.EPQACQO,POi=QOi, . FQ=QOi.QOi± BC,，BQ=CQC

8、O=DOi, .OiQ=1BD）,FQ=1BD.22 BF+CF=FC+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ, . BF+CF=BD=AC.（3）连接 EQ, ED, EB, BG,如图 3. DC是。Oi 的直径，Z DBC=90 °,Z DBC+Z EFB=180 °, . EF/ BD,/ GEB=/ EBD,bg = ?D，BG=DE. DOi=EOi=5, EOi ± DOi , . . DE=572 ,，BG=5±,，弦BG的长度不变，等于 5衣.却图2图3点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三 角形的

9、判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股 定理等知识，综合性比较强，有一定的难度.而由 AB/ DC证到AC=BD是解决第（2）小题 的关键，由EG/ DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键.3 .如图，PA、PB是。的切线，A, B为切点，/APB=60°,连接PO并延长与。0交于C 点，连接AC BC.(I )求/ ACB的大小;(n )若。0半径为1,求四边形 ACBP的面积.【答案】(I ) 60°； ( n)3/32【解析】分析：(I )连接A0,根据切线的性质和切线长定理，得到OA，AP, 0P平分/APB,然后根据角平分线的

10、性质和三角形的外角的性质，30。角的直角三角形的性质，得到 / ACB的度数；(n )根据30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角 形的面积即可.详解：(I )连接0A,如图,.PA、PB是。的切线， 0AXAP, 0P平分/APB,/八1,/ AP0=- / APB=30 ,2/ A0P=60 ；1-0A=0C,Z 0AC=Z 0CA,， 1 一 。/ AC0=- A0P=30 ,2同理可得 /BCP=30,/ ACB=60(n )在 Rt40PA 中， / AP0=30 , .AP=T30A=6 0P=20A=2,.OP=2OG1而 S*A OPAX2c 13

11、Sa aoc= & pao=,24.Sa acp=3±1,4 四边形 ACBP的面积=2Saacp=3/3 .2点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质 是解题的关键.4 .矩形ABCD中，点C (3, 8) , E、F为AB、CD边上的中点，如图 1,点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点 C在第一象限，若点 A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位 长度的速度运动，点 B随之沿y轴下滑，并带动矩形 ABCD在平面内滑动，如图 2,设运动 时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.(1)当t=0时，点F的坐标为;(2)当t=4时，求OE的长

12、及点B下滑的距离；(3)求运动过程中，点 F到点O的最大距离；(4)当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求 t的值.和【答案】(1) F (3, 4) ; (2) 8-4石;(3) 7; (4) t的值为图或名.55试题分析：(1)先确定出DF,进而彳#出点F的坐标;(2)利用直角三角形的性质得出/ABO=30°,即可得出结论;(3)当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论;(4)分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析：解：(1)当 t=0 时.AB=CD=8, F 为 CD 中点，DF=4,F (3, 4)；(2)当 t=4 时，OA

13、=4.在 RtABO 中，AB=8, Z AOB=90°,./ABO=30 ；点E是AB的中点，OE=gAB=4, BO=4 J3 ,，点B下滑的距离为8 4s/3.（3）当O、E F三点共线时，点 F到点O的距离最大，. FO=OE+EF=.图1却(4)在 RtADF 中，FD2+AD2=AF2, .AF=JFD2 AD2=5,设 AO=ti 时，OF与 x 轴相切，点 A 为切点，.FAI OA,ZOAB+Z FAB=90° . / Z FAD+Z FAB=90°,ti3/ 八,一,八 八 ABAO8，/BAO=/ FAD. Z BOA=Z D=90 ；RtA

14、 FAE RtA ABO,. , .FAFE532t2= .524ti=，设AO=t2时，OF与y轴相切，B为切点，同理可得,5,、, , ，一 .一 . 24 , 32综上所述：当以点 F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为£4或丝.55点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出/ABO=30。，解（3）的关键是判断出当 O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是 判断出RHFAaRtAABD,是一道中等难度的中考常考题.5.如图，AB是圆O的直径，射线

15、AMLAB,点D在AM上，连接OD交圆O于点E,过点D作DC=DA交圆O于点C （A、C不重合），连接 OC、BC CE（1）求证：CD是。的切线；（2）若圆O的直径等于2,填空： 当AD=时，四边形 OADC是正方形； 当AD=时，四边形 OECB是菱形.【答案】（1）见解析；（2）1 ;，3试题分析：(1)依据SSS证明OAD0OCD,从而得到/OCD=/ OAD=90;(2) 依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；依据菱形的性质得到 OE=CE则4EOC为等边三角形，则 /CEO=60°,依据平行线的性 质可知/ DOA=60 ,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：

16、解： AMXAB,/ OAD=90 : . OA=OC, OD=OD, AD=DC,.OADAOCD,/ OCD=Z OAD=90 : OCX CD, .CD是。O的切线.(2)二.当四边形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案为：1 .;四边形OECB是菱形，.OE=CE又. OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=60°.1. CE/ AB, / AOD=60 :在 RtA OAD 中,/ AOD=60 , AO=1,.AD>.用.故答案为：陋.点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，

17、熟练掌握相关知识是解题的关键.6.已知：如图1, /ACG=90°, AC=2,点B为CG边上的一个动点，连接 AB,将4ACB沿AB边所在的直线翻折得到 ADB,过点D作DFL CG于点F.(1)当BC=&5时，判断直线FD与以AB为直径的OO的位置关系，并加以证明；3(2)如图2,点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的。交于D、H两点，连接AH,当/CAB=/ BAD=Z DAH时，求BC的长.【答案】（1）直线FD与以AB为直径的。相切，理由见解析；（2） 2J2 2 .【解析】试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的。0相切;（2

18、）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长.试题解析：（1）判断：直线 FD与以AB为直径的。相切.证明：如图，作以AB为直径的OO; ADB是将 ACB沿AB边所在的直线翻折得到的, .ADBAACB,/ ADB=Z ACB=90 ,° .0为AB的中点，连接 D0,.OD=OB= AB,，AC=2；.点D在。O上.在 RtA ACB 中,BC- 黄,/BCg . tan / CAB-tt-, AL 3 / CAB-Z BAD=30 ,° / ABC-Z ABD=60 ,° .BOD是等边三角形. / BOD-60 : / ABC-Z

19、BOD, .FC/ DO. .DFXCGJ, / ODF-Z BFD-90 ； ODXFD, .FD为。O的切线.（2）延长AD交CG于点E,同（1）中的方法，可证点 C在。O上; 四边形ADBC是圆内接四边形./ FBD=Z 1 + /2.同理 / FDB=Z 2+Z 3. - / 1 = 7 2=73,/ FBD=Z FDB, 又/ DFB=90 .EC=AC=2设 BC=x,则 BD=BC=x / EDB=90 ； .EB= x. EB+BC=ECx+x=2,解得x=S - 2, BC=2/2- 2.7.如图，4ABC是。O的内接三角形，点 D, E在。O上，连接AE, DE, CD,

20、BE, CE, / EAC+Z BAE=180 , o<AB CD .(1)判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；(2)求证：ABEDCE;(3)若/EAC=60, BC=8,求。的半径.o【答案】（1） BE=CE理由见解析；（2）证明见解析；（3） 晅.3【解析】分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：Z BCE-+Z BAE=180 ,贝U / BCE玄EAC,所以？E= CE ,则弦相等；（2）根据SSS证明AB®4DCE；（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明 RtGBOW RtAHBO （HL）,则/ OBH=3 0 ,设 OH=x,则OB=2x,根据勾股定

21、理列方程求出x的值，可得半径的长.本题解析：（1）解：BE=CE理由： Z EAC-17 BAE=180, / BCE47 BAE=180, / BCE玄 EAC,l ?E= Ce，.BE=CE（2）证明：Ab Cd，ab=cd1 ?e=Ce, Ae Ed，- ae=ed由（1）得：BE=CE在ABE和ADCE中，AE DE. AB CD , BE CE2 .ABEADCE （SSS ；（3）解：如图，二.过。作 OGL BE 于 G, OHXBCT H,BH=1 BC=1 X 8=4 BGBE, 2223 BE=CE / EBC=Z EAC=60 , ° BEC 是等边三角形,BE

22、=BCBH=BG,.OB=OB,RtAGBO RtAHBO （HL）,_1 。/ OBH=Z GBO=- / EBC=30,2设 OH=x,贝U OB=2x,由勾股定理得：（2x） 2=x2+42, x= 4S ,3. .OB=2x=8百,。的半径为 犯3 . 33点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定 理、直角三角形30。的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的 结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键8.对于平面直角坐标系 xOy中的线段MN和点P,给出如下定义：点 A是线段MN上一个 动点，过点A作线段MN的垂线1,点P是垂

23、线l上的另外一个动点.如果以点 P为旋转中 心，将垂线1沿逆时针方向旋转 60。后与线段MN有公共点，我们就称点 P是线段MN的关联点如图，M (1, 2) , N (4, 2).(1)在点 Pi (1,3), P2 (4, 0) , P3 (3, 2)中，线段 MN 的关联点”有_;(2)如果点P在直线y x 1上，且点P是线段MN的关联点”，求点P的横坐标x的取 值范围；(3)如果点P在以O (1, 1)为圆心，r为半径的OO±,且点P是线段MN的关联 点”，直接写出OO半彳仝r的取值范围.量庄区1【答案】(1) P1 和 P3； (2) 1xW 3131 ; (3) 33<

24、; r <3 43. 22【解析】【分析】(1)先根据题意求出点 P的横坐标的范围，再求出P点的纵坐标范围即可得出结果；(2)由直线y=x+1经过点M (1, 2),得出x>,设直线y=x+1与P4N交于点A,过点A作ABMN于B,延长 AB交x轴于C,则在 4AMN中，MN=3, / AMN=45 ,/ANM=30 :设 AB=MB=a, tan / ANM=ABBN即 tan30 =3求出a即可得出结果;(3)圆心。到P4的距离为r的最大值，圆心 。到MP5的距离为r的最小值，分别求出两 个距离即可得出结果.【详解】(1)如图1所示:I Q 1 工 345M mi点A是线段MN

25、上一个动点，过点 A作线段MN的垂线1,点P是垂线l上的另外一个动点，M (1, 2) , N (4, 2),，点P的横坐标1W x/4:以点P为旋转中心，将垂线1沿逆时针方向旋转 60后与线段MN有公共点，当/ MPN=60 时,2MN 3PM= = 一tan60 、3同理P' N=3 ,.点P的纵坐标为2- J3或2+ J3 ,即纵坐标2-J3WyW2/3,线段MN的关联点”有Pi和P3；故答案为：Pi和P3;(2)线段MN的 关联点午的位置如图所示,直线y x 1经过点M (1, 2), x> 1.设直线y x 1与P4N交于点a .过点A作ABXMN于B,延长 AB交x轴

26、于 C.由题意易知，在 AMN 中，MN = 3, / AMN = 45； / ANM = 30.° 设 AB = MB = a,ABtan ANM,即 tan30BN解得a 3/L2，点A的横坐标为x a 13J_j 1 3_J_j.2223. 3 12综上(3)点P在以O (1, -1)为圆心，r为半径的OO±,且点P是线段MN的关联点”，如图3所示:r0邳连接P4O交x轴于点D, P4、M、D、O共线，则圆心。到P4的距离为r的最大值，由(1)知：MP4=NP5 = J3,即 OD+DM+MP4=1+2+ 百=3+ 73 ,圆心。到MP5的距离为r的最小值，作 OEL

27、 MP5于E,连接OP5, 则OE为r的最小值，MP5= JmN2_NP52 =丫3(向)2 =26 OM=OD+DM=1+2=3, OMP5 的面积=-OE?MP5=-OM?MN，即1 X OEX& =1 X 3内3 2222解得：OE=3_3,233-< r < 3+3 .2【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握关联点”的含义，作出关于 MN的 关联点”图是关键.9.如图1,已知AB是。的直径，AC是。的弦，过。点作OF, AB交。于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点 F,点G是EF的中点，连接 CG 判断CG与。的位

28、置关系，并说明理由；（2）求证:2OB2=BC?BF;（3）如图 2,当/DCE= 2/F, CE= 3, DG= 2.5 时，求 DE 的长.图1图2【答案】（1） CG与。相切，理由见解析；（2）见解析；（3） DE= 2【解析】【分析】（1）连接CE由AB是直径知4ECF是直角三角形，结合 G为EF中点知/ AEO= / GEC=/GCE 再由 OA= OC 知/OCA=/OAC,根据 OF，AB 可得 / OCA+/GCE= 90；即OCX GC,据此即可得证；一 BC(2)证ABJFBO得出BOAB,结合 AB=2BO即可得;BFEC(3)证 ECDEGC得EGDE ,解之可3如图1

29、,连接C匕 FED ,根据CE= 3, DG= 2.5知 3ECDE 2.5得.【详解】解：（1） CG与。相切，理由如下:.AB是。的直径，/ ACB= / ACF= 90 °, 点G是EF的中点，.GF= GE= GC,/ AEO= ZGEC= / GCE .OA=OC,/ OCA= / OAC,. OFAB, / OAG/AEO= 90 °, / OCA+Z GCE= 90 :即 OCX GC, CG与。O相切；(2) Z AOE= Z FCE= 90°, ZAEO= Z FEC/ OAE= / F,又 : / B= / B,.ABCAFBO,BC AB ,

30、即 BO?AB= BC?BF,BO BF .AB=2BO,.-2OB2 = BC?BF；(3)由(1)知 GC= GE= GF,/ F= / GCF / EGCf= 2/F,又 / DCE= 2/ F, / EGC / DCE, / DE。/ CEG .ECtDAEGC,EC ED一 一,EG EC,. CE= 3, DG= 2.5,3 DE 一 ,DE 2.53整理，得：DE2+2.5DE- 9=0,解得：DE= 2 或 DE= - 4.5 (舍)，故 DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与 性质及直角三角形的性质等知识点.10.如图

31、，AB是。的直径，弦BC= OB,点口是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC, OE于点F, G.(1)求/ DGE的度数；c 什 CF 1- BF i(2)右=，求 的值；OF 2 GF(3) iEACFB, ADGO的面积分别为 S, S2,若更 =k，求 色 的值.(用含k的式子表OFS2示)，_7 S 2【答案】 /DG三60。；(2； (3)=2k_k_J .2 S2 k 1【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得 /DGE的度数；(2)过点F作FH，AB于点H设CF= 1,则OF=2, OC= OB= 3,根据勾股定理求出 B

32、F的 BF.长度，再证得 FG8 4FCB进而求得 的值；GF(3)根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表，Si ,不出的值.S2【详解】解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；“1 / CDB= ZCOB= 30 ,2- OC= OD,点E为CD中点，OEXCD,/ GED= 90 ；/ DGE= 60 -(2)过点F作FHAB于点H设 CF= 1 ,贝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 °.OH= 1OF=1,2 .HF=6oH=6, HB=OB- OH=2,在 RtBHF 中，BF JhB2 HF277，由

33、OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°,又 / OGB= / DGE= 60°,/ OGB= / OCB, / OFG= / CFB,. .FG8"CB,OF GF一 ,BF CF2GF=：,BF 7=-.GF 2过点F作FHAB于点H,设 OF= 1,则 CF= k, OB= OC= k+1, / COB= 60 ；1 1OH = OF=一,22.HF= 、, 30H3 ' HB=OB-OH=k+1 ,在 RtBHF 中，BF= JHB2 HF2 Jk2 k 1 ,由(2)得：AFGOAFCB,.GO OF_GO1一，即 I

34、2CB BF k 1 k2 k 1.GO_k_1_*211过点C作CP, BD于点P / CDB= 30m 1 -PC= - CD, 2点E是CD中点,1.DE= - CD, 2PC= DE,.DEXOE,Q _ k k 12Si BFk k 1=一=k 1=S2 GO -k 1,k2 k 1圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答.11.如图，DABCD勺边AD是4ABC外接圆。的切线，切点为 A,连接AO并延长交BC 于点E,交OO于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点P,且/BCP=/ACD.（1）求证：PC是。的切线

35、；（2）若/B= 67.5 °, BC= 2,求线段PC, PF与弧CF所围成的阴影部分的面积 S.【答案】（1）见解析；（2） 1 4【解析】【分析】（1）过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得ZM+ZBCM=90°, 再根据 AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圆周角定理可得 / BAC= ZM, Z BCP= ZACD,从 而可推导得出/ PCM=90°,根据切线的判定即可得；（2）连接OB,由AD是。的切线，可得 /PAD= 90°,再由BC/ AD,可得API BC,从而得BE= CE= - BC= 1 ,继而可得到/ABC=

36、/ACB= 67.5 ；从而得到/ BAC= 45°,由圆周 2角定理可得Z BOC=90,从而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 °,根据已知条件可推导得出oe= ce= 1, pc= oc= Joe2 ce2 近，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】（1）过C点作直径CM,连接MB,. CM为直径，/ MBC= 90 °,即 / M+ / BCM= 90 °, 四边形ABCD是平行四边形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC= ZM, / BCP= / ACD,Z M = Z B

37、CP, / BCP匕 BCM= 90 ；即/ PCM= 90 °, CMXPC, .PC与。O相切；(2)连接OB,.AD是。的切线，切点为 A, OAXAD,即 / PAD= 90 ；1.BC/ AD, ZAEB=Z PAD= 90 , /.API BC. . BE= CE= - BC= 1,2AB= AC, / ABC= / ACB= 67.5 ,° / BAC= 180 ABC / ACB= 45 °, / BOC= 2/ BAC= 90 ; . OB=OC, APXBC,Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 ,° / PCM= 90 ；

38、/ CPO= / COE= / OCE= 45 ,° oe=ce= i, pc= oc= JOE2 CE2.S= Sapoc S扇形 OFC= 1 衣夜 457t 近 1 .23604P C【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.12.如图，0O的直径 AB=26, P是AB上述与点 A、B重合)的任一点，点 C、D为。上 的两点，若/APD=/BPQ则称/CPD为直径AB的问旋角若/BPC=/DPC= 60 °,则/CPD是直径AB的 回旋角”吗？并说明理由；13(2)若Cd的长为一兀，求 回旋角/ c

39、pd的度数；4(3)若直径AB的 回旋角”为120°,且4PCD的周长为24+13J3,直接写出 AP的长.L【答案】(1)/CPD是直径AB的回旋角”，理由见解析；(2)回旋角”/CPD的度数为45°(3)满足条件的AP的长为3或23.【解析】【分析】(1)由/CPR / BPC得至ij / APD,得到/BPC=/APD,所以/ CPD是直径 AB的 回旋 角”；(2)利用CD弧长公式求出ZCOD= 45。，作CH AB交。于E,连接PE,利用 /CPD为直径AB的 回旋角"，得到/APD=/BPC, Z OPE= / APD,得到 1Z OPE+Z CPD+

40、Z BPC= 180 即点 D, P, E三点共线， Z CED= - Z COD= 22.5 ,2得到 / OPE= 90 - 22.5 = 67.5 °,贝U / APD= / BPC= 67.5 °,所以 / CPD= 45° ( 3)分出情 况P在OA上或者OB上的情况，在 OA上时，同理(2)的方法得到点 D, P, F在同一条 直线上，得到 4PCF是等边三角形，连接 OC, OD,过点O作OGL CD于G,利用sin/DOG,求得CD,利用周长求得 DF,过O作OHLDF于H,利用勾股定理求得OP,进而得到 AP;在OB上时，同理 OA计算方法即可【

41、详解】/CPD是直径AB的 回旋角”，理由： Z CPD= / BPC= 60°,/ APD= 180 - / CPD- ZBPC= 180 - 60 - 60 = 60 °,/ BPC= / APD, / CPD是直径AB的回旋角”；(2)如图 1 , AB= 26,.OC= OD= OA= 13,设/ COD= n°,.Cd的长为13兀， 4n n13 13 -1804n = 45, / COD= 45 :作CE! AB交。于E,连接PE,/ BPC= / OPE,/ CPD为直径AB的回旋角”，/ APD= / BPC,/ OPE= / APD, / APD

42、+Z CPD+Z BPC= 180 : / OPE+Z CPD+Z BPC= 180 ； 点D, P, E三点共线，“1 / CED= 一 /COD= 22.5 ,2 / OP曰90 - 22.5 = 67.5 ；/ APD= / BPC= 67.5 ,°/ CPD= 45 ；即：回旋角”/CPD的度数为45。， 当点P在半径OA上时，如图2,过点C作C。AB交。于F,连接PF, PF= PC,同(2)的方法得，点D,巳F在同一条直线上，直径AB的回旋角”为120 ；/ APD= / BPC= 30 °, / CPF= 60 ;.PCF是等边三角形，/ CFD= 60 ；

43、连接OC, OD,/ COD= 120 ； 过点O作OGL CD于G,- 1 -.CD=2DG, /DOG= /COD= 60 ,213 3.DG=ODsinZ DOG= 13 x sin60 2 CD= 13 3, .PCD的周长为 24+13 3， .PD+PC= 24, PC= PF, .PD+PF= DF= 24, 过O作OHDF于H, .DH= 1DF= 12, 2在 RtA OHD 中，0H= Jod2DH 25在 RtAOHP中，/ OPH= 30°,.-0P= 10, -.AP=OA- 0P= 3;当点P在半径OB上时， 同的方法得，BP= 3, .AP = AB-

44、BP=23,即：满足条件的 AP的长为3或23.c【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论 13.如图，点B在数轴上对应的数是-2,以原点。为原心、OB的长为半径作优弧 AB, 使点A在原点的左上方，且 tan/AOB-、/3 ,点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数 为4.(1) S扇形AOB= (大于半圆的扇形)；(2)点P是优弧AB上任意一点，则/PDB的最大值为 °(3)在(2)的条件下，当 /PDB最大，且/AOPV 180°时，固定OPD的形

45、状和大小， 以原点O为旋转中心，将 4OPD顺时针旋转 a (0。WaW 360。 连接CP, AD.在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；当PD/AO时，求AD2的值； 直接写出在旋转过程中，点 C到PD所在直线的距离d的取值范围.10 一一【答案】(1) (2) 30 (3) AD=2P 20+8 73 或 20+8 代 1 wd W 3【解析】【分析】(1)利用扇形的面积公式计算即可.(2)如图1中，当PD与。相切时，/PDB的值最大.解直角三角形即可解决问题.(3) 结论：AD=2PC.如图2中，连接 AB, AC,证明COW4AOD,即可解决问题. 分两种情形：如图 3中

46、，当PD/ OA时，设OD交。于K,连.接PK交OC于H.求出 PC即可.如图 中，当PA/ OA时，作PK± OB于K,同法可得.判断出PC的取值范围即可解决问题.【详解】(1) tan Z AOB=屈,/ AOB= 60 ;.c3002210 S扇形AOB （大于丰圆 的扇形）,3603OPXPD,/ OPD= 90 ； sin PDOOP 2OD 4/ PDB= 30 °,同法当DP与。相切时,12/ BDP'= 30°,/PDB的最大值为30 °, 故答案为30.(3)结论：AD=2PC.理由：如图2中，连接AB, AC. .OA=OB,

47、 /AOB= 60； .AOB是等边三角形， BC= OC,.-.AC± OB, / AOC= / DOP= 60 °,/ COP= / AOD,AO OD - 2,OC OP.-.COPAAOD,AD AO 八 2,PC OC，AD=2PC.如图3中，当PD/ OA时，设OD交。于K,连接PK交OC于H.D图3,. OP=OK, Z POK= 60；.OPK是等边三角形，1. PD/ OA,/ AOP= / OPD= 90 °, / POH+/AOC= 90 ； / AOC= 60 ；/ POH= 30 ；,-.PH= 1OP=1, OH=73PH= J3 ,2

48、,下C= PH2 CH2：12 (13)25 2 3，.AD=2PC,.AD2=4 (5+26)=20+8 后.如图 中，当PA/ OA时，作PK! OB于K,同法可得：PC2=12+ ( J3 - 1) 2=5-2技 AD2=4PC2=20-8>/3 .图4由题意1巾Cc§，在旋转过程中，点 C到PD所在直线的距离d的取值范围为1甫W3【点睛】 本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定 理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.14.如图1, AB为半圆。的直径，半径 OPLAB,过劣弧 AP上一点D作DC

49、，AB于点C.连接 DB,交 OP于点 E, / DBA= 22.5 ：若OC= 2,则AC的长为;试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；连接AD并延长，交 OP的延长线于点 G,设DC= x, GP= v,请求出x与y之间的等量 关系式.(请先补全图形，再解答)P田1£ 2【答案】272 2；见解析；y=2x【解析】【分析】(1)如图，连接 OD,则有Z AOD=45 ,所以4DOC为等腰直角三角形，又 OC=2,所以DO=AO=2j2,故可求出 AC的长；(2)连接AD, DP,过点D作DUOP,垂足为点 F.证AC=PF或AC=EF,证DP=DE1 _证 PF=EF=2PE ,故可证出 PE=2AC；(3)首先求出 OD J2CD T2x，再求 AB=2>/2x,再证DGEDBA 得GE=AB=2J2X，由 PE=2AC得 PE=2(J2x x),再根据 GP=GE- PE可求结论.【详解】(1)连接OD,如图, / B=22.5 ,/ DOC=45 :DC&#