广东省深圳市中考数学专题专练二次函数综合专题

1、二次函数综合专题1 .如图，直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A, C两点的二次函数 y= ax2+4x+c的图象交x轴于另一 点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC,点N是线段BC上的动点，作NDLx轴交二次函数的图象于点 D,求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点 M(4, m)是该二次函数图象上一点，在 x轴，y轴上分别 找点F, E,使四边形HEFM勺周长最小，求出点 F, E的坐标.温馨提示：在直角坐标系中，若点 巳Q的坐标分别为P(xi, yi), Q(x2, y2),当PQFHt x轴时，线段PQ的长 度可由公式PQ=

2、 |xi x2|求出；当PQ平行y轴时，线段 PQ的长度可由公式 PQ= |yi y2|求出.¥ 552 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = x2+4与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称.(1)填空，点B的坐标是;(2)过点B的直线y=kx + b(其中卜0)与*轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点, 且PB= PC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点 C关于直线BP的对称点C'恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标.3 .已知抛物线y=ax2+bx3经过(1, 0)

3、, (3, 0)两点，与y轴交于点C,直线y=kx与抛物线交于 A, B两点.(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A, B两点的坐标；(3)是否存在实数k使得 ABC的面积为 410?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.44 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y=x与二次函数y = x2+bx的图象相交于 Q A两点，点A(3 , 3),点M为抛物线的顶点.(1)求二次函数的表达式;P、Q作x轴的垂线交抛物线于点 Pi、Q,(2)长度为2艰的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点求四边形PQQP1面积的最大值; 直线

4、0A上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足Saaof= &aoM)若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由.5 .如图，抛物线y= ax2+ bx3(a W0)的顶点为 E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且B0= OG= 3AQ直线y = 3x+1与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)证明： DBS AEB(C(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.n6 .如图，抛物线 L： y = ax2+bx+c与x轴交于A, B(3 , 0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于

5、点 C(0, 3),已知对称轴 x= 1.(1)求抛物线L的解析式；(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所彳#抛物线的顶点落在 OBC内(包才OBC的边界)，求h的 取值范围；(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l : x= 3上，PBQtB否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角 形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由.图(1)图(2)7 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A(-1, 0)、B(0 ,也)、C(2, 0),其对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;1(2)若P为y轴上的一个动点，连接 PD,则

6、/PB+ PD的最小值为 (3)M(s , t)为抛物线对称轴上的一个动点.若平面内存在点 N,使彳#以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个;连接MA,MB若/AMB不小于60° ,求t的取值范围.图图8 .如图，抛物线与x轴交于点A(-5, 0)和点B(3, 0),与y轴交于点C(0 , 5).有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q交直线AC于点M和N,交x轴于点E和F.(1)求抛物线解析式.(2)当点M和N都在线段AC上时，连接 MF,如果sin Z AMF= 邛，求点Q的坐标.(3)在矩形的平移过程中，

7、当以点巳Q, M, N为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标.09.如图，已知抛物线y=1x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点3A(0, 1)，点B(-9, 10) , AC/ x 轴，点 P是直线AC下方抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点 P的坐标;(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点 Q使彳导以C,P,Q为顶点的三角形与 ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = ax2+bx8与x轴交于A,

8、 B两点，与y轴交于点C,直线l经过 坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(一2, 0),(6 , - 8).(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F,使AFO监AFCE若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点， 设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时， OP址等腰三角形.参考答案 21.解：(1)二.直线 y=5x+5与x轴交于点 A,与y轴交于点 C,，A( 1, 0), C(0, 5).二.抛物线 y =

9、 ax+4x+ca 4 c 02过点A( 1, 0), C(0, 5),则,解得c=5, a=1, 二次函数的表达式为y = - x +4x+5.c 5,图图2(2)如图，二抛物线 y = - x2+4x+ 5与x轴交于A, B两点，.解一x2+4x+5= 0的两根为k= 1, x?= 5.二点B5k b 0.在x轴正半轴，B(5, 0).设过B(5, 0), C(0 , 5)的直线BC解析式为y=kx+b,则，b 5,解得k=1, b=5, .直线BC表达式为y= x+5. DNL x轴，DN/ y轴.二点N在BC上，点D在抛物线22_,2_上，设 N(x , yi) , D(x, y2)

10、,，N(x, x+5), D(x , x + 4x +5) . . DN= x +4x+5(x+5) = x +5x= 时5 - 2 =X+2175 一 2-X一 .25DNWM 丁如图,作点H关于y轴的对称点H ,点M关于x轴的对称点m ,连接H' M ,分别交 x轴，y轴于点F,E,则四边形 HEFM勺最小周长为 HM HE+ EF+ FM= HM H' M .丁 y= x + 4x+5= (x 2)2+9,H(2, 9) ,H'( 2, 9),当 x=4 时，y = 5,，M(4,5) ,M'(4 , 5).设直线H'M7k -r的解析式为y =

11、k' x+b',则2k b 9，解得 3,.直线H' M的解析式为y= 1x + 13.当y=0时，x4kb 5,1333b 3=:, . F(母,0);当x=0时，y/，旧0,畀5,2 1,1 一、， 一 _112.解：(1)由 y=x+4得：A(0, 4)BQ 关于 A 对称，B(。，/2)如图，二.直线 BC 过点 B(0 ,),1BC斛析式为y = kx + 2. .图图11C(-, 0),又" 是直线l上一点，可设 P(- -, 2k2ka).过点P作PNLy轴，垂足为 N,连接PB,则在RtPNB中，由勾股定理得：PB2=Phi+ NB2,/ PB

12、= PC= a,a2=(白2+(a 1) 2,解得 a2k211 111_1 -11= 4k2+ 4, p点坐标为(示，充+工)，当x=一云时，y=4p+ 4，点p在抛物线上.(3)如图，由C'在 y 轴上，可知/ CBP= /C'BP,PB=PC. / CBP= /PCB-PC/C B,/ PCB= /ABC./C' BP= /CBP= /ABC= 60°,PBC为等边三角形，OB= g,.BC= 1,OC=坐，. PC= 1,，P(乎，1).3 .解：(1)令 x=0,得 y=ax2+bx3=3,，C(0, 3),把(一1, 0)和(3 , 0)代入 y

13、= ax2+bx3 中，得a b 3 0,a 1,解得 ，9a 3b 3 0, b 2抛物线的解析式为y = x2-2x-3.(2)A( -y3, 273) , B(、/3, 2、/3) . (3)不存在实数k使得 ABC的面积为当短4 .解：(1)由题意知，A(3 , 3)在二次函数y=x2+bx图象上，将x=3,y=3代入得9+3b=3,解得b=- 2,，二次函数表达式为y = x2-2x.(2)如图所示，过点 P作PB! QQ于点B,图(aa2+2a) + ( a+ 2 a2 2a)PQ= 22,且在直线 y=x 上，PB= QB= 2 ,设 P(a, a),贝U Q(a+2, a +

14、2),贝U R(a , a2-2a) , Q(a+2, (a + 2)22(a+2),即 Q(a+2, a2+2a),所以四边形 PQQPi 的面积为：S= 2Xo1 °5,一，,一 ,12a2+2a+2=2(a 2) 十 万，当 Q运动到点 A时，。之 OQ- PQ= 2, a= 1. a 的取值范围为 0v av 1. .当 a=1 时，四边形 PQQP的面积最大，最大值为 5. (3)存在，点E的坐标为E1(4, 3，E2(14, 14),如图所示，连接23 333OM二.点 M为抛物线顶点，M(1, 1),又,OA所在直线为 y = x,，OM_OA即/AO璃90°

15、 ,在 AOF 和AOM 中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，又 OMLOA且 OM=小，.,可作两条与 OAM相平行且距离为。2的直线， 如图所示，在直线 HD MC上的点F均满足Saaox Saao叫只需满足 E点的对称点F在这两条直线上即可，如图,过点A作ACL MC于点C,易求四边形 OACM矩形，AM为该矩形的一条对角线，取 AM中点O',过O'彳AM垂线，交 OA于点 Ei,交 MCT点 Fi, OA= 3。2,，AMh,OA+ OM = 2，5, .AO = 5,则AO E isaOM 1AO图AM AMAO AE AO- OE . J5 3

16、V2 OE4 ,2 一，_ 4斛得 OE=y-, 丁点 E1 在 y=x 上，E1(-, 3344,2 一一4. 2-),同理可得 HE=GE = -,又OG 2OA= 642, . OE= 62 333呼，E2(, J).综上所述，符合条件的 E点的坐标为：E1(： 333314 143)、E2(万，万).(5. (1)解：当 x=0 时,y=ax2+bx3=3, . C(0, 3),即 OC= 3,. OB= OC= 3OA OB= 3, OA= 1 ,，A(a b A(-1, 0),点 B(3, 0)代入y=ax+bx3 得 0,解得a=1, b=-2, .抛物线的9a 3b 3 0,解

17、析式为 y = x2 2x 3.(2)证明：由 y = x22x3= (x 1)24 可得 E(1 , 4),当 x=0 时，由直线 y= ：x+13得 y=1,D(0, 1),即 OD= 1, .-.BD= RD+ OB = 10, CE=/，BE= 2® BC= 372,，在 ODB和 CEB中，,DB DO BO 2有一 三彳一+， DB6 EBC. (3)解：存在点 巳使彳# PBC是等腰二角形，点 P的坐标分别为：P1(1 ,EB EC BC 2-1) ,P2(1, 3 + V17),P3(1, 3 V17),P4(1,V?4),P5(1,/).6 .解：(1)把 C(0,

18、 3)代入 y = ax2+bx + c,彳# c= 3,把 B(3, 0)代入 y = ax2+bx+3,得 9a+ 3b+3=0,又一一 2a=1, a=- 1, b = 2, ,抛物线 L 的解析式是 y=- x2+2x+3.(2)图由y= (x 1)2+ 4得抛物线的顶点 D(1 , 4),如解图，过点 D作y轴的平行线分别交 CB OB于点E,F ,则条裳EF= 2, .4-2<h<4,即2WhW4.(3)能，设 P(x , x2+2x+3),如解图，过点 P分另U作x轴、OC BO直线l的垂线,图垂足分另 I是点 M N, / PMtB= /PN0 90° ,

19、 / QPB= 90° , / BP阵 / QPN PB= PQ .PM里 PNQ(AAS)PM= PN.当点 P在 x 轴上方时，一x2+2x+3=x+3,即 x2-x=0,解得 xi=0, x2=1, z. Pi(0, 3) , P2(1 , 4); 23士、/ (3)当点 P 在 x 轴下万时，x +2x + 3=- (x +3)，即 x 3x-6= 0,解得 x = -P3(3-序9-逸3 + 4339 + 433),P4(,)，满足条件的点P有四个点，分别是Pi(0, 3), P2(1 , 4),P3(),P4(3+"339 + P33)7 .解：(1)设二次函数

20、的表达式为y=a(x+1)(x 2),将B(0 , ，3)代入，得a=亭，二次函数的表达式为y*(x+1)(x 2)=乎仅一2)2一学士顶点的坐标为(2,一.(2) °卓；【解法提示】连接AB,过点P作PHLAB,垂足为H,如图,. OA= 1, OB= 313,AB= -1+ 3 =2, / ABO= 30° , . PH= -PEI, .-.-PB+ PD= PH+ PD 的值，. .要使1PB+ PD 的 2 '22值最小，只要使 PH+ PD的值最小，此时 H,P,D在同一条直线上，且 DHL AB,在 RtADH中，/ ADH= 90° -Z O

21、AB = 30° , AD= 1+2 = 2,DH= AECos30° = 343,2pB+ PD的最小值为手，(3)5;【解法提示】以点 B为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，作AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，共有5个点使M,N,A,B构成的四边形为菱形.连接AB,彳AB的垂线，垂足为点 A,交y轴于点E,如图,图以BE的长为直径画圆，与对称轴交于点M,点M,与x轴交于点A, F, BE为直径，AF± BE,，AB= FB,，/ BFA1.“= /BA已 60 , a AB勺度数为 120 ,

22、AMB=/AMB=万>< 120 =60 .在 RtAOE 中，/ EAO= 30 , O±AO- tan30 ° =孝，. . BE= O曰 OB=当+出=芈，.圆心 N(0,半)，半径 NE= 233, . NM= NM= 33,设M(2, t) , NM=(2)2+(t +当2=(芋J tY-号，2=普-当M(1, 号-号,M(；,警一¥)故当"I9 wt w39 J3时，/ AMB勺度数不小于 263263636360°8.解：(1)根据题意得，A(-5, 0), B(3, 0)在x轴上，设抛物线的解析式为 y=a(x+5)

23、(x 3).二抛物线过点(0 ,5) ,，a= 1.，抛物线的解析式为y=-1(x+5)(x -3) =-1x2-|x+5.(2)如图，过点 F 作 FDLAC于点 D, / OA3333= 5,OC= 5,.Z CAO= 45° .设 AF 的长为 m 则 DF=坐3 ME= AE= m+ 1. .sin Z AMF= DF,，MF= 一 2MF sin2DF 10X 2m/AML10= pm.在 RtMEF中，FMi=ME+ EF2,(5m)2=(m+ 1)2+12,解得m=1,m= ；(不符合题意，舍去).，AF= 1,，点Q的横坐标为4.又丁点Q在抛物线y= gx2；x+5上

24、, 233.Q(-4, 7) . (3)设直线AC的解析式为y=kx+n(kw0),由题意得，解得，直线AC的解析式为y=x + 5.由题3知，点 Q N, F及点 巳M, E的横坐标分别相同.设 F(t , 0), E(t + 1, 0),点M N均在直线y = x+5上，N(t ,t + 5) , M(t + 1, t + 6), .点 P, Q在抛物线 y=-1x2-|x+5±, .-.Q(t , -t2-2t + 5) , P(t +1, -1t2-4t+4), 333333在矩形平移过程中，以P、Q N、M为顶点的平行四边形有两种情况：点 。P在直线AC的同侧时，QN= P

25、M.(-1t22t+5)(t +5)=(1t24t+4)(t +6),解得 t=3.，M( 2, 3).点 Q P 在直线 AC 的异侧时，QN 3333=MP.，( 一3t2 3t+5) (t + 5) = (t +6) ( %23t+4),解得 t1=-3+'76, t2=-3-76, - M(- 2+ 加，3+峋或(2 。6, 3亚).，符合条件的点M是(2, 3), ( 2+加，3 +加)或( 246, 3-响.1 2/日C '9.解：(1)把点 A(0, 1), B(-9, 10)代入 丫 =小+bx + c,得 12解得,c=1 ,3-9 2 9b c 10,3，抛

26、物线的解析式是y = ；x2+ 2x+ 1.(2)39 一. 一 81 9当01= 2时，四边形AECPW积的最大值是 彳，此时点P的坐标是(35-4)。(3)存在.由 y = -x2+ 2x + 1 = -(x + 3)2 2,33则在 RtCFP 中，PF= CF,/ PCF= 45° ,得顶点 P 的坐标是(一3, 2),此时 PF= yFyp=3, CF= XfXc=3,同理可求/ EAF= 45° ,PCF= /EAF，在直线 AC上存在满足条件的点 Q,如解图，CPQ4ABC或ACOPsABC.A(0, 1), B(9, 10), C(-6, 1) , PF=

27、CF= 3, . AB= 9>/2,AC= 6, CP= 3/，当CPQsABC时，设 Q(t 1, 1),由CQ= C5导"6 =邛，解得 t = 4.即 Q( 4, 1);AC AB 69 , 2,CQ CP r t 2+ 63 , 2. rr，一 当CQPs 4ABC时，设Q(t2, 1),由茄=AC得碰=怖，解得,2=3,即Q2(3 , 1) .综上所述，满足条件的点Q有两个，坐标分别是 Q(4, 1)或Q(3, 1).10.解：(1) .抛物线y = ax2 + bx8经过点A(2,0) ,D(6, 8),将A,D两点的坐标代入，得4a 2b 8 0,36a 6b 88,a解得ab11 21 212252，抛物线的函数表达式为y = 2x