初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附答案解析

1、初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附答案解析一、圆的综合1.如图，OM交x轴于B、C两点，交y轴于A,点M的纵坐标为2. B ( - 3 J3 , O),C ( B O) .(1)求。M的半径；(2)若CHAB于H,交y轴于F,求证：EH=FH.(3)在(2)的条件下求AF的长.【答案】(1)4； (2)见解析；(3) 4.【解析】【分析】(1)过M作MTLBC于T连BM,由垂径定理可求出 BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；(2)连接AE,由圆周角定理可得出 /AEC4 ABC,再由AAS定理得出AEHAFH,进 而可得出结论；(3)先由(1)中ABMT的边长确定出/BMT的度数，

2、再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.【详解】(1)如图(一)，过 M作MTLBC于T连BM,.BC是。O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，1 ，BT=TCh BC=2s/3,2 BM=，12 4=4； 如图(二)，连接 AE,则/AEC=/ ABC, .CE± AB, / HBC+-Z BCH=90 °在COF中， / OFC-+Z OCF=90,°/ HBC=Z OFC=Z AFH,在 AEH和AFH中，AFH AEHAHF AHE ,AH AH .AEHAAFhl (AAS), .EH=F

3、H；(3)由(1)易知，ZBMT=ZBAC=60, 作直径 BG,连 CG,则 / BGC=Z BAC=60 , .OO的半径为4,.CG=4,连AG, / BCG=90 ；.-.CG±x 轴， .CG/ AF, / BAG=90 ； AGXAB, .CEXAB, .AG/ CE四边形AFCG为平行四边形， .AF=CG=4.【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根 据题意作出辅助线是解答此题的关键.2.如图，已知 4ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG,AC于G,交BC的延长线于F.(1)求证：AE=BE(2)求

4、证：FE是。的切线；(3)若FE=4, FC=2,求。的半径及CG的长.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) 5.【解析】(1)证明：连接CE,如图1所示： BC是直径，./BEG90； .CELAB;又. AOBG，AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示： . BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,FE± OE,，FE是。的切线.(3)解：EF是。的切线，. FH=FC?FB.OE=3. OE/ AC, .FCGFOE设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2

5、=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;CG FC CG 2,J" 0 ,即"上 + "点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.3,已知？ABCD的周长为26, /ABC=120°, BD为一条对角线， 。内切于ABD, E, F, G 为切点，已知。的半径为 73.求？ABCD的面积.【答案】20、, 3【解析】【分析】首先利用三边及。的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13,然后利用切线的性质求出 BD的长即可解答.【详解】设。分别

6、切4ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F;平行四边形ABCD的面积为S;贝U S=2$abd=2 弓(AB OE+BDOF+ADOG)=V3 ( AB+AD+BD);平行四边形ABCD的周长为26,.AB+AD=13,.S= .3(13+BD);连接 OA;由题意得：/ OAE=30 , .AG=AE=3;同理可证 DF=DG BF=BE . DF+BF=DG+BE=13 3-3=7,即 BD=7, -S=j3 （13+7） =2073 .即平行四边形ABCD的面积为20 J3.4.如图，AB是。的直径，PA是。O的切线，点 C在。O上，CB/ PO.（1）判断PC与。O的位置关系，并说明

7、理由；若AB=6, CB=4,求PC的长.3 【答案】（1） PC是。的切线，理由见解析；（2） 3J52【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证Z PCO=90即可.（2）可以连接AC,根据已知先证明 ACPPCO再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB-.OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POCy.- oa=oc, op=op.,.APOACPO/ OAP=Z OCP.PA是。O的切线/ OAP=90 °/ OCP=90 

8、6; .PC是。的切线.（2）连接AC.AB是。O的直径/ ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO.ACBAPCOrr OCACW&2-，3戊 -二二BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.5.已知：如图，在矩形 ABCD中，点O在对角线 BD上，以OD的长为半径的。与AD, BD分别交于点 E、点F,且/ABE=/ DBC.（1）判断直线BE与。O的位置关系，并证明你的结论；（2）若 sin/A

9、BE=N5, CD=2,求。的半径.【答案】（1）直线BE与。O相切，证明见解析；（2）。的半径为 昱.2【解析】分析：（1）连接OE,根据矩形的性质，可证 /BEO=90°,即可得出直线 BE与。O相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出 BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知 BE的 长，设出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：（1）直线BE与。O相切.理由如下：连接 OE,在矢巨形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OD=OE, -ZOED=ZODE.又. / ABE=/DBC,Z ABE=Z OED, 矩形 A

10、BDC, / A=90 °,Z ABE+ / AEB=90 °, . / OED+/AEB=90 ；，/BEO=90； .直线 BE 与。O 相切；(2)连接EF,方法1:,四边形 ABCD是矩形，CD=2, .,./A=/C=90： AB=CD=2. /ABE=/DBC, ，sin/CBD=sin ABEBD WC诟2技在 RtA AEB 中，CD=2, . BC2J222.2AE设OC的半径为r,则r2 (J6)2 (2屈、23r),，尸 2方法 2: DF是。的直径，./DEF=90°.四边形 ABCD是矩形，. / A=/ C=90 °,. /A

11、BE=/DBC, . .sinZ CBD=sin ABEAB=CD=2.立3设 DC x, CD=2, .BD V3x,则BC 2V2BC2xx tanZ CBD=tanZABE, DCBCAE一，AB222AE一，2AEDC. tan/CBD=tan / ABE, ' BC由勾股定理求得BE J6 .在 RtBEO中，/BEO=90°, EC2+eB?=OB2.E为AD中点.DF 为直径，ZFED=90°,EF/ AB,DF1BD2OO的半径为2点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的 综合性，有一定的难度.6.如图，4ABC

12、 内接于。C,弦 ADLBC 垂足为 H, Z ABC= 2 Z CAD.(1)如图1,求证：AB= BC;(2)如图2,过点B作BMLCD垂足为 M, BM交。于E连接AE、HM,求证：AE/ HM;(3)如图3,在(2)的条件下，连接 BD交AE于N, AE与BC交于点F,若NH=2j5 ,AD= 11,求线段 AB的长.1国UM喇M溷&【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AB的长为10. 【解析】分析：（1）根据题意，设/CAD=a,然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出 /BAC=/ ACB,再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N,连接ED

13、.根据圆周角定理得出 ZN=Z DEN=Z BAN,进而根据 等角对等边，得到 DE=DN,BA=BN再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得 MH / AE;（3）连接CE,根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HC,然后结合勾股定理求出AG-AH2=CC2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设Z CAD=a,贝U / ABC=2aZ C=90 -a, / BAD=90 -2a, / BAC=90 -2a+a=90 -a °/ BAC=Z ACB.1. AB=BC证明：延长 AD、BM交于点N,连接ED. /

14、 DEN=Z DAB,/ N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z DEN=Z BAN.DE=DN,BA=BN又 ; BH±AN,DM±ENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)连接CE./ BDA=Z BCA,Z BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD± EF. AFNBAENB,同理可证 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NE . NH / EC,EC=2NHK -NH=2>/5,，EC

15、=445/ EAC=2Z AEC=2a=/ ABC可证弧 AC=M EC, .AC=EC=4 J5设 HD=x, AH=11-x, / ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG可证 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=CC2-DH2, (4/5 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x2xi=3,x2=27 (舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2一 AHCH. z. tan2a,/ BH=6-ab=>/bM2AH2，6821 0BH DH点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性 质

16、，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键7.如图，已知平行四边形 OABC的三个顶点 A、B C在以。为圆心的半圆上，过点CD± AB,分另I交AB、AO的延长线于点D、E, AE交半圆。于点F,连接CF（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）若半圆O的半径为6,求AC的长.【答案】（1）直线CE与半圆。相切（2） 4【解析】试题分析：（1）结论：DE是。的切线.首先证明 AABO, BCO都是等边三角形, 证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）只要证明OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题.试题解析：（1）直线C

17、E与半圆。相切，理由如下：四边形OABC是平行四边形，AB / OC. / D=90 ；/ OCE± D=90 ；即 OCX DE, 直线CE与半圆O相切.(2)由(1)可知：/COF=60, OC=OF .OCF是等边三角形， ./AOC=120 °1206.1. Ac的长为=4兀.1808.如图，Rt ABC内接于。O, AC BC, BAC的平分线 AD与。O交于点D,与 BC交于点E ,延长BD ,与AC的延长线交于点F ,连接CD , G是CD的中点，连 接OG.(1)判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明(2)求证：AE BF ；若OG gDE 3(2 J

18、2),求。O的面积.【答案】(1) OG，CD (2)证明见解析(3) 6兀【解析】试题分析：(1)根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；(2)先证明4ACE与4BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；(3)构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解.试题解析：(1)解：猜想 OG，CD.证明如下：如图1,连接OC、OD. -. OC=OD, G是CD的中点，由等腰三角形的性质，有OG± CD.(2)证明：AB是。的直径，./ACB=90°,而/CAE=/CBF (同弧所对的圆周角相 等).在 RtACE 和 RtA BCF 中，/ Z ACE=Z BCF

19、=90°, AC=BC, /CAE=/CBF,RtA ACE RtA BCF ( ASA), ，AE=BF.“ _ _1(3)解：如图2,过点O作BD的垂线，垂足为 H,则H为BD的中点，OH=-AD,即2DEDB,即 bd2=ad?de,AD=2OH,又 / CAD=/BAD?CD=BD, . . OH=OG.在 RtA BDE和 RtADB 中，/BD Z DBE=Z DAC=Z BAD, . .RtABDE RtAADB, AD BD2 AD DE 2OG DE 6(2 扬 又 BD=FD,B0肛BF2 4BD2 242 J2)，设 AC=x,则 BC=x, AB=J2x AD

20、是/BAC的平分 线， . / FAD=/BAD.在 RtABD和 RtAFD 中，/ Z ADB=Z ADF=90°, AD=AD, /FAD=/BAD,RtAABD RtA AFD (ASA) ,，AF=AB=72X，BD=FD, .CF=AF:-AC=72x X (夜 1) X在RtBCF中，由勾股定理，得:BF2 BC2 CF2 x2 (V2 1) x2 2(2 后 x2，由、，得 2(2 柩 x2 242 J2)，»2=12,解得：x 2，3或 2x/3 (舍去)，ABJ2x近2，32%/6,，OO 的半径长为J6,.So。=兀？(J6)2=6 兀.图1图2点睛：

21、本题是圆的综合题.解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质.9.如图，4ABC内接于。O,且AB为。的直径./ ACB的平分线交 OO于点D,过点D 作。的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AE，CD于点E,过点B作BF，CD于点F.Lf(1)求证：DP/ AB；(2)若AC=6, BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析【解析】【分析】(1)连接OD,由AB为。的直径，根据圆周角定理得 /ACB=90,再由/ACD=/ BCD=45 ,°则/ DAB=Z ABD=45 ,°所以 DAB为等腰直角三角形，所以 DOLAB, 根据切线的性质得 O

22、DLPD,于是可得到 DP/ AB.(2)先根据勾股定理计算出AB=10,由于 DAB为等腰直角三角形，可得到AB 10AD 225J2；由 ACE为等腰直角三角形，得到6衣 3 J2 ,在RtAAED中利用勾股定理计算出 DE=4J2 ,则CD=7点,易证得PD PA AD. PDAs PCD,得至i PC PD CD5 2，尸，所以7.25PA= PD,7PC=7PD,然后禾I用PC=PA+A（CT计算出PD. 5£D【详解】解：（1）证明：如图，连接 OD,.AB 为。的直径,/ACB=90.°/ ACB 的平分线交 O O 于点 D,Z ACD=Z BCD=45 :

23、/ DAB=Z ABD=45 . DAB为等腰直角三角形.DOXAB.PD为。的切线,2 .DP/ AB.3 ODXPD.(2)在 RtACB 中,AB -EiC： = K ,A，心e右一,AB 10之片 DAB为等腰直角三角形，2 = 丁=不=又拄AE± CD, ACE为等腰直角三角形.具工=CE =在 RtAED中，DE ='AD：-：=45后 T3¥ . 4点, .CDtCE-DE =3右-4.PD PA AO 邛 PC = TO" CD= 72. AB / PD,/ PDA=Z DAB=45 .°/ PAD玄 PCD.又 / DPA=Z

24、CPD, PD PCD.35 PA=-PD, PC=- PD.又PC=PA+AC 7PD+6=5PD,解得 PD= . 57r10.如图，DABCD勺边AD是4ABC外接圆。的切线，切点为 A,连接AO并延长交BC 于点E,交。O于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点 P,且/BCP=/ACD.(1)求证：PC是。的切线；(2)若/B= 67.5 °, BC= 2,求线段PC, PF与弧CF所围成的阴影部分的面积 S.【答案】(1)见解析；(2) 1 4【解析】【分析】(1)过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得ZM+ZBCM=90°, 再根据AB/ DC可得

25、/ ACD= / BAC,由圆周角定理可得 / BAC= / M, / BC之ZACD,从 而可推导得出/ PCM=90°,根据切线的判定即可得；(2)连接OB,由AD是。的切线，可得 /PAD= 90°,再由BC/ AD,可得API BC,从而得BE= CE= 1BC= 1,继而可得到 /ABC=/ACB= 67.5 ；从而得到Z BAC= 45°,由圆周2角定理可得Z BOC=90,从而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 °,根据已知条件可推导得出OE= CE= 1, PC= OC= JOE2 CE2 亚，根据三角形面积以及扇形面积即

26、可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,.CM为直径，/ MBC= 90 °,即 / M+ / BCM= 90 °, 四边形ABCD是平行四边形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC= ZM, / BCP / ACD,. . / M = / BCP, / BCP匕 BCM= 90 ；即/ PCM= 90 °, CMXPC, .PC与。O相切；(2)连接OB,.AD是。的切线，切点为 A,OAXAD,即 / PAD= 90 ；1.BC/ AD, /AEB=/PAD= 90 , /.API BC. . BE=

27、CE= 一 BC= 1,2AB= AC, / ABC= / ACB= 67.5 ,° / BAC= 180 ABC- / ACB= 45 °,/ BOC= 2/ BAC= 90 ;. OB= OC, APXBC, / BO± / CO9/ OC945 , / PCM= 90 ；/ CPO= / CO9/ OC& 45 ,.oe=c$i, pc= oc= Joe2 ce2 贬,【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键7tA,速度(1)求弦AC的长;11.如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦

28、，点P沿BA方向，从点B运动到点为1cm/s,若AB 10cm,点O到AC的距离为4cm.(2)问经过多长时间后， APC是等腰三角形.【答案】(1) AC=6; (2) t=4或5或14s时，APC是等腰三角形;5【解析】【分析】AC的(1)过O作ODLAC于D,根据勾股定理求得 AD的长，再利用垂径定理即可求得 长；(2)分AC=PC AP=AC AP=CP三种情况求t值即可.【详解】(1)如图1,过O作ODLAC于D,易知 AO=5, OD=4,从而乱斗口,2-0碎3, .AC=2AD=6；(2)设经过t秒4APC是等腰三角形，则 AP=10-t 如图2,若AC=PC过点C作CHI

29、77;AB于H,2 / A=Z A, / AHC=Z ODA=90 ；.AHCAADO,.AC: AH=OA: AD,即 AC:10-t c o=5: 3,解得t=514s,s后4APC是等腰三角形;，经过又. AC=6,则10- t=6,解得t=4s,，经过4s后4APC是等腰三角形；如图4,若AP=CP P与O重合,第4则 AP=BP=5,，经过5s后4APC是等腰三角形. 口综上可知当t=4或5或q-s时，4APC是等腰二角形.【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当 BPC是等腰三角形时，点 P的位置有三种情况.12.如图，四边形 ABCD内接

30、于。O, /BAD=90°, AD、BC的延长线交于点 F,点E在CF 上，且/ DEG=Z BAC.(1)求证：DE是。的切线；【解析】【分析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到BD± DE,即可得出结论；/ F=Z EDF,根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根据勾股定理得到 CD JDE2 CE2 J5,证明CD上DBE,根据相似三 角形的性质即可得到结论.【详解】(1)如图，连接BD. ./BAD=90； .点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，. / BCD=90 ；/ DEG/CDE=90 ： / DEC=

31、Z BAC, / BAG / CDE=90 : / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90 ； . . / BDE=90 ；即：BD± DE. 点D在。O上，DE是。的切线；(2) Z BAF=Z BDE=90°,Z F+Z ABC=Z FDEZ ADB=90°. .AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FDE, . DE=EF=3.,. CE=2, /BCD=90；Z DCE=90 ； . . CD TdE-2CE2 & / BDE=90 ； CD± BE, . / DCE=Z BDE=90 :3.5土，

32、.二。的半, 一一CD BD5 3 Z DEC=Z BED,ACDE ADBE,， ,/. BD CE DE2径 3_!_ 413.如图，直角坐标系中，直线 是射线AO上一动点，OP过B,(1)求直线AB的函数表达式.1) y3人88一x 6 ; ( 2) D (425216、)25【解析】【分析】(1)把 A、B两点坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可；(2)连结BC,彳DE，OC于点相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理,本题考查了圆周角定理，垂径定理, 求出DE=EF是解答本题的关键.y kx b 分别交 x,y 轴于点 A(-8, 0), B(0, 6), C ( m,0)O, C三点，交直线 AB于点D (B, D不重合).(2)若点D在第一象限，且tan/ODC=5,求点D的坐标.3E,根据圆周角定理可得 /OBC=/ ODC,由tan/ODC=5可求出OC的长，进而可得 AC的3长，利用/DAC的三角函数值可求出 DE的长，即可得 D点纵坐标，代入直线 AB解析式求 出D点横坐标即可得答