尺规作图五点定椭圆的方法

1、尺规作图五点定椭圆的方法文平（东南大学南京 210096)摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作 图完成椭圆作图。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮 演了重要角色，在机械制图和土木工程领 域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图， 具有重要意义。一、引言在几何画板和cad软件中，任意五个 点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星 轨道，机械制图和土木工程中是有重要用 途。第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标x、y主轴方向第三步、确定椭圆的长轴 a和短轴b1）大狗熊定理1:二次圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交

2、点调和分割对 角线两极点。如图1,椭圆内接四边形 KLMN,对边线 KN与LM交于A,对边线KL与NM交于B, 对角线KM的极点为C,对角线LN的极点 为D, KM与LN交于Q点，则A、B、C D四点共线，且 AB调和分割 CD,即 1/AC+1/AD = 2/AB。双曲线和抛物线也具有 同样性质。晶I*12）命题1:已知椭圆的斜向割线 AB, 作一条过椭圆圆心 O点的任意割线JK JA BK交于E点，JR AK交于F点，确 定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭 圆的切线。证明：由于割线JK的切线交点极点在 无穷远，利用定理1,可以快速证明这个命题。定理2:圆锥曲线的内接完全四点形 的对边三

3、点形是圆锥曲线的自配极三点命题3 （高斯定理）：已知椭圆外一点 P,过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割 线，AD、CB交于Q点，AG BD延长交于 R,连线QR与椭圆交于& T两点，PS PT就是椭圆的切线。、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过已知五点，作椭圆切线， 获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心图 4问题1:只有五点，没有坐标轴和原 点，椭圆斜的，割线 PQ的切线极点如何 办切线方法：帕斯卡定理（五点 十 一 个切点二次）做切线，或者如图 5方法作 切线。图 5命题4:已知椭圆上P、H、G、Q、A 五点，利用椭圆内接四边形 PQGH确定对 角线PQ

4、和GH交叉点T,可绘制极点T的极线E F,利用椭圆内接四边形 PQAB（H） 确定对角线PQ和AB（H应叉S点（利用帕 斯卡定理，新构造椭圆第六点 B点，替换 H点），绘制极点S的极线MN,极线MN 和极线EF交于C点，C点即为PQ割线的 极点。证明：依据极点极线的对偶定理，由于& T为PQ极线上的二点，可可知 & T极点的极线MN和极线EF相交于C点就 是PQ的极点，连线PC QC就是椭圆的 切线。上五点，可以增加椭圆上一点Pascal定理为通过五点作圆锥曲线 提供了一种优美的解决方案。设已给1,2,3, 4, 5五点，其中任意三点不在同一直线 上（特例将在后面讨论），但五点

5、的平面 位置为任意。我们将这五点依次相连，并设线段12与45的交点为L。为了构作圆锥曲线上的任意一点，如5和M作直线c,则c与a的交点就是期 望的第六点6图74P日或曰定理应用：通过五点寻找圆锥曲线上任意第六点命题6:利用侯明辉三割线定理加上 阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多 椭圆点。在尺规作图五点定椭圆中，已知椭圆上五点（不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆 心，也不知道椭圆的xy坐标主轴情况下）， 需要构造其他的椭圆点。即A、B、C三点已经知道（还有其他 二点知道），采用其他办法作出AB割线的 极点N,利用侯明辉三割线定理以及调和 分割性质确定新的椭圆点 E点方法：连接CN线段交AB线段于M

6、点，取线段MN中点J为圆心，画圆直径 为MN,过C点作MN的垂直线交圆于F 点，过F点作切线（或者是作垂直JF的线 段EF）,交MN于E点，则构成调和分割 的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点 用途。图 7工程应用实例：（是用5点定圆心的，没 有构造第六点方法）图 8三、确定椭圆坐标主轴方向目标：通过已知的椭圆圆心和椭圆上 三点，寻找椭圆坐标主轴方向。原理：利用椭圆圆心，构造二条共拆直径，然后确定 椭圆坐标主轴方向方法：利用椭圆圆心，首先构造一条 共朝直径，作图共轲直径端点的切线方向 （确定另外一条共轲直径的方向），作平行线通过构筑一条椭圆共辗弦，采用仿射 几何方法转换为二条共较直径。2）作A

7、F共较直径（连接OA）,作CL共辗 弦（平行AN）图ii3）仿射几何构筑OE共辗半径图 12方法：作直径为AF的圆，过N点作MN 垂直AF,作三角形 MNL.作KO垂直AF,过K点作MLDE平行线，KE和OE延伸 交于E点。依据仿射原理，可知，OE为 椭圆的共辆半径。4）构筑椭圆 坐标主轴方向图 13方法：绕椭圆圆心O点，OE旋转90度， 获得N点，连接NA连线，获得NA中点KK点为圆心，作任意半径的圆， 与KO交于W点，与NA交于H、G点。. 则WC为长轴方向，HW为短轴 方向，完成椭圆坐标主轴方向确定。证明：分析OK线段的余率与NA线段的 斜率的关系(1)共朝直径的性质图 14如果，点A”

8、， ,椭圆共辗直径推理，则aca b用 CC xi,- yib a对于点C分析)则有：cos 2 sin 1sincos(2)共较直径的椭心角为90简单分析可以得到，/ C1OA仁90图 15(3)共辗半径旋转90图 16分析可以得知:A acos 1, bsin 1 , C acos 2, bsin 2C点绕原点旋转90°贝I : ) N bsin 2, acos 2(4)图形分析研究图 17问题1:延伸连线NK,与坐标轴交于U、 V两点。要构筑椭圆坐标主轴方向的方法 成立，只需证明e 1 / VOA1 = / VOK=Z OVU=0 1,即证明 OKV和AONU是等腰 三角形，命

9、题就成立。现在，/ V0K=e 1已经成立A acos 1, bsin 1 , N a sin 2, bcos 2由于： cos 2 sin 1 sin 2 cos 1贝:N bsin 2, acos 2 坐标，可以化为N bcos 1, a sin 1分析NA线段的斜率:tan( 3)x2 x1b cosa cos 1tan( 1)y2 小a sin 1 bsin 1则：31,等腰三角形图形成立，命题成立。问题2:K点为OA1与NA线段的交点， 是不是位于NA线段的中点啊。假如K为NA线段的中点， 分析K、A1、O三点共线，就okK点坐标，Aacosi,三输i对于OK线段分析斜率：tan（）

10、yy1 tan（ J ,斜率相同，命题 x2 xi成立。四、确定椭圆长轴a和短轴b目标：已知椭圆心和坐标轴、已知椭圆上二点，确定椭圆长轴 a和短轴b原理：运用极点和极线关系，构造自配 极三角形，确定椭圆长轴和短轴位置。方法：利用椭圆上二点构造轴对称二 点，构成椭圆内接四边形，连接对角线， 获得交叉点和对边交叉点，运用二个极点 的数学关系，完成长轴和短轴位置。1）构造自配极三角形，寻找二个对偶 极点E点为B点的轴对称点，N点为x轴与 AE的交叉点令OE l , OQ c极点极线关系方程分析得知：l a2c（类似椭圆准线方程）2）确定长轴a位置连线QN, K为QN中点，以K圆 心半径为KN画圆，过O点作圆K的切线 E,以OE为半径原点O为圆心作一个圆， 与x轴交于F点，F点即为长轴a图 193）确定长轴b位置利用切线方法，构造割线 AB的极 点N点，过N点作水平线交y轴于G点, 延伸割线AB与y轴交于P点，连线PG, K为PG中点，以K圆心半径为KP画圆， 过O点作圆K的切线R,以OR为半径原 点O为圆心作一个圆，与 y