113导数的几何意义2

1、n. 3导数的几何意义先来复习导数的概念定义：设函数yhW在点工。处及其附近有定义当 自变量工在点必处有改变量工时函数有相应的改变量 J=Ao+ /x）/Uo）如果当/xtO时,Ay/Ax的极限存在, 这个极限就叫做函数/在点工。处的导数（或变化率）记 作广（兀0）或V即、；，心to Ax 心toAx例1：踌=屮,求八兀）,广（_1）,广（2） 思路：先根据导数的定义求厂（兀）,再将自变量 的值代入求得导数值。解：由导数的定义有 广=曲/（兀+3-念）=曲9+3-/山 t°Ax心 aAx=lim心tOAx(2x +Ax)Ax=2x.广(_l)=f(Q_ =2x(-1) = -2广(2

2、)=广(讥2 = 2x2 = 4例2：求函数y =仮在x = l处的导数。解:Ay = J1 +Ax 1Ay _ V1 +Ax -11Ax Ax Jl + Ax+1limJ +1X=1下面来看导数的几何忌义:如图，曲线C是函数才的图象f (必必)是曲线C上的 任意 _ 点,0 (x0+Jx,j0+Jj) 为P邻近一点fQ为C的割线, PM/Zr轴,创/的轴出为PQ的 倾斜角.贝 l:MP = Ax,MQ = Ay,型二tan0Ax请问：乞是割线PQ的什么？AxyIAI请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着O我们发现，当点Q沿着曲线无限接近点P即 X-0时，割线PQ 有一个极限位置PT

3、.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.111初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。设切线的倾斜角为a ,那么当AX-0时，割线PQ的斜率，称 为曲线在点P处的切线的斜率. 即：徧线=/W = Hm = lim用。+初 用。）这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质一函数在x=x°处的导数.（2）若曲线=/a）在点尸（北，/©（）处的导数厂（,）不 存在，就是切线与歹轴平行.切线与鼻轴正向

4、夹角为锐角，“）（）,切线 与7轴正向夹角为钝角；/丿（乂0）=09切线与2轴平行.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 解：Jl = lim/Uo + Ax)-/(xo)心 toArr (1+3+1-(1+1)=lim ?山 TOAxy = x+l= 1.m2Ar + (Ar)2=2Ar->0因此，切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x求曲线在某点处的切线方程AyQ1Ay-1 o:<>；AxI的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率，然后 利用点斜式求切线方程.Axpr3X3342O-2III练习:如图已知曲线"卩'

5、;上一加(2，|)求点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.ai(x + Ax)3Ar解：(l)j = -x3v y9 = lim - = lim3AttOAr->01 3x2Ar + 3x(Ar)2 + (Ar)3=lim3 Ax->0=lim3x2 + 3xAx + (Ax)2 = x2.3 Ar->Oyf L=2= 2? = 4.2，(2)在点 P 处的切线方程是 y-8/3=4(x-2),BP12x-3y-16=0.即点P处的切线的斜率等于4归纳:求切线方程的步骤(1)求出函数在点X。处的变化率广E),得到曲线 在点(Xo，f(X。)的切线的斜率o(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即:n无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导数概念。B /(xo)<O b Z(xo)不存在2.（测试知识点i、2）如果曲线，=兀5）在点（口， /（xo）处的切线方程为乂 + 2，：3 = 0：那么（） a. fC. /（xo） = O3.（测试知识点2）若函数/（a:） =/ +bz + c的图象顶点在第四象限，则数严（工的