11-12引言及欧拉法

1、SHAANXI NOAMAL UNiVeilStYY常微分方程初值问题的数豔法1.1引言 1.2欧拉法（E讥纣方法）1.1引言本章研究常微分方程初值问题的主要数值解法，包括基本方法和基本理论问题。目标在于给出解在一些离散点上的近似值。考虑常微分方程初值问题牛二伽）dttQ<t<T(1.1)(1.2)注：在后面的讨论中，我们总认为这个初值问 题的解存在、唯一且连续依赖于初值条件，即 初值问题（1.1）, （1.2）是适定的。1. 2欧拉法（EW"方法）1. 2. 1欧拉方法将解的存在区间N等分，得到N个小区间。任取一个小区间匕，也，由原方程z* /dt為+i得 u(f&qu

2、ot;+l)-%() = J /(,%)/tn在区间也+J上，用fz在点-上的值来代替/(皿,得到u(tn+1)u(tn) + hf(tn,u(tn)其中力二4+17二-于为步长。/（側） £?+1图1.1在上式中分别用叫和血+1来代替O和叽）并由的任意性，得到叭+1 二碣+(,)“0 = ll(t0)“二0,12(3)这就是欧拉公式。欧拉公式亦可由帀展式得到1 ? 1 2w(/+1) = u(ttl)+hu VJ + h u''(tn)+h 讥(),金(也J% S) = /(，%()心+J Q "() + 妙(:/(-)几何意义图12(0几何意义图1.2在

3、上式中分别用叫和監+1来代替心）和心）则得碣+1二血+朋亿心）一般而言，并不要求步长相等，则有Un+ = Un + （£+1 一 - ）/（£，给）（1.4）例11 畝=0.1为步长，用欧拉法求初值问题dy=xex-y dx的数值解，并与精确解y(x) =+ 2)ex比较。先编写右端函数：function dy=Euler_fun1(x,y) dy=x.*exp(-x)-y;再采用Euler公式编写如下主程序求数值解，并与精 确解比较，所得图形如下Clear;h=0.1 ;xend=2;N=2/h; x(1)=0;y(1)=1; x=h.*(O:N);for n=1:N00

4、.51X1.52y(n+1 )=y(n)+h*Euler_fun1 (x(n),y(n); end y_real=1/2*(x.A2+2).*exp(-x); plot(x,y',x,y_real,'r') xlabelfx','FontSize',16); ylabelfy','FontSize',16);1. 2. 2收敛性研究所谓收敛性冋题，就是研究“TO, o+Mt/时, 要求绻T%(f) °局部截断误差1?1aThRn=-h2uytn)+-ha金(切尙)即"CJ+hf (tn, u(ttl)+

5、Rn-un + hf (, un)s+1整体截断误差 陥二"亿+1)-叭+i二也)+- un + hf(tn,un)(1.6)Th也+i)-冷+i 二7?这里冷+1二呛J + /(M(G),企(也+1)误差的产生:(1) 、计算格式本身不能准确描述原来的方程(2) 、计算机本身引入的误差(舍入误差)注：不考虑计算机引入的舍入误差为保证Euler公式是一个好的数值计算格式，需 研究Euler公式的收敛性和稳定性问题。定理1. 1假定u = u(t)eC2tT,则欧拉方法 的局部截断误差7?满足其中力为步长，M = max u't) I(1.12)Back定理12设f(t,u)关

6、于"满圧Lipschitz条件, 厶为相应的Lipschitz常数，则欧拉方法的整体截断 误差匕满足1匕15严泌I勺I+£(严讥1)(1.13)nL其中人为局部截断误差的上界。Th 1.4由定理11, 1. 2,可得定理13设f（t,u）关于"满足Lipschitz条件， 厶为相应的Lipschitz常数，且当力->0 ，如>心），则欧拉方法的解哲一致收敛到初值问 题(1.1), (1.2)的解 心，并有估计式L(T-g)(1.14)(1.15)e l<eL(r-Zo)leol+(eL(r-l)"°2L如果% =心，即勺=0,

7、由此有 lefl l<-M(eL(rro)-l)n2L即I讣o（h）欧拉方法的整体截断误差与力同阶，由広的 表达式可知，心=0（胪），这说明局部截断误差比整 体截断误差高一阶。我们称欧拉方法为一阶格式。1. 2. 3稳定性研究前已指岀欧拉方法的稳定性问题是决定欧拉法在利 用计算机能否得到精确解的关键问题，只有稳定的算法 才可能是有用的算法。定理14在定理12的条件下，欧拉方法是稳 定的。Thl.2由定理1.2,我们看到如初始误差勺=0,则整体截断 误差的阶完全由局部截断误差的阶决定，事实上，若局 部截断误差阶为O（护7 ,则整体截断误差阶为0（护）。因 此为了提咼数值算法的精度，往往从提咼局部截断误差 的阶入手，这也时构造高精度差分方程数值方法的主要 依据。定义1.1如果存在正常数c及几，使对任意初始值如*0 ，由= Un+hf(tn,Un)I叫+1 =匕+Vo注意：这里冷宀分别是以心为 初值得到的精确值，毫无舍入误 差，因此这里稳定性定义式对初 值的稳定性，即研究初值误差在 V过程中的传递问题。计算所得之解给也满足估计式lUn <CUQVQ I则称欧拉方法稳定。