14极限的运算法则导学答案

1、1.4 极限的运算法则导学答案一、相关问题13和 lim n( n 4n ) ，总结用极限定义1. 能否用极限的定义求 lim1 x3x 1 1 xn求函数极限的基本步骤；解：难以用极限定义直接求出这两个极限，直接用极限的定义只可确定少数最基本的函数极限， 用极限定义求出更多的函数极限会很困难，给定的两个极限难以用极限定义直接求出.用极限定义求极限的基本步骤：(1) 通过计算或估计得f ( x)Ag( xx0) 是xx0的简单函数式( 有时要事先给出某个限制不等式xx0).(2)0 要使f ( x)A, 只要g( xx0),解得xx0( ),取() 或min(),1,当 0xx0时,有f (

2、x)A.(3) 得出结论 .2. 探讨利用已知函数和数列的极限来计算复杂函数和数列的极限的方法.二、相关知识1. 用函数极限的四则运算法则和复合运算法则求极限的前提条件是什么？能否用极限的减法运算法则求极限13，并说明理由。lim1 x3x 1 1 x答 . 前提是参入极限计算的所有函数的极限都要存在，比如，不能用极限的减法运算法则去求极限 lim13，因为极限 lim1与极限 lim3都不存在 .x 1 1 x 1 x3x 1 1 xx 1 1 x32. 求分段函数的分界点处的极限，一般可以用极限的四则运算法则和复合运算法则2 1cos x , x0吗？以函数 f x0, x 0为例进行研究

3、 .x2x3 , x0答 . 分段函数的分界点处的极限，涉及到分界点左、右点处的函数值，因此，求分界点处的极限要分左、右极限来求，求左、右极限时，可以用这些法则，但得分界点的极限还要根据极限的定义得出，比如，lim f xlim x3x20, lim f xlim2 1 cosx0, 因此 lim f x 0x 0x 0x 0x 0x 0三、练习题1. 指出下面各题解法中的错误，并写出正确的解法.xlim xx 3;（ 1） limlim x 3x 3 x 3x 3（ 2） lim(2 x3x1)lim 2x3lim xlim111 ;xxxx（ ）lim1222Ln2lim12lim22Ll

4、imn20 0L0 0 .3333333nnnnnnnnnn解： 错误应用极限运算法则.（ 1） limxtx 3lim t3lim1 3;x 3 x3t0tt 0t（ 2） lim(2 x3x1)lim2 x3xlim1lim x 2x22 11;xxxx（ 3） lim1222Ln21222n2n(n1)(2n1)333lim3lim3nnnnnnn6n1 112limnn1.n632. 求下列数列或函数的极限（ 1） lim13;1 x3x1 1 x解 . lim13limx2x 13(x 1)(x 2)333lim2x1x 1 x 1x 1x 1x 1x 1 ( x 1)(xx 1)l

5、im( x 2)1;( x2x1)x 1（ 2） lim 3x34x22x7x35x233x34x223423解 . lim分子分母同时除以3x x332xlim53;x7x5x3x77xx3（ 3） lim( n1)(n2)( n 3)5n3n(n 1)(n2)(n3)111213limnnn解 .lim5n35nn111lim12lim1311 1 11limnnn5;5 nnn5（ 4） limn (n4n)n解 .limn (n4n)limn4n4limnnnnn4nnn4n4lim14 ;n141n（ 5） limx2x2xx 0解 .limxlim x2x2xlim x2x2 x2

6、 x2 x2 x (2 x)2xx 0x 0x 0lim2x22x1 lim2x2x1222 .x02 x023 已知 lim f (x)A, lim g (x)B, 证明 limf (x)g( x)AB ；证明见教材4. 计算 limx2.2x2x5x14解：原式 = limx2lim1lim111.( x 2)(x 7)9 3x 2x 2x 7x 2 x7四、思考题1. 在同一极限过程中，若函数f ( x) （数列xn）的极限存在，则f (x)（数列xn）和 f 2 ( x) （数列xn2）的极限是否存在？反之，若函数f (x)（数列xn）和 f2 (x) （数列 xn2）的极限存在，则函数f ( x)或数列xn的极限是否存在？解：在某一极限过程中，若函数f (x) （数列xn）的极限存在，容易用定义证明f (x)（数列xn）的极限存在；用极限运算法则证明f2(x)（数列xn2）的极限存在。反之则不成立： 例如数列(1) n，容易验证xn）和xn2的