16极限存在准则两个重要极限new

1、第六节极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限一、极限存在准则1.夹逼准则准则I若数列代、儿、乙满足下列条件:从某项起，即，当n>n0时，有儿"X(2) lim 儿 二 a, lim zn = a,n->oo/?>oo则£的极限存在,且lim X* = a.MTS证 当一>00时，儿g:.V > 0, 3 N> 0, “2 > 0,使得当n>Nx 时，有yn-a<£,当 n>N2 时，有zn-a<,取N = max N,N2，"o，贝1U>N时，上面两式同时成立， 艮

2、卩,CI £ < 儿 < a + £ 冃 CI £ < Zn < d + &因止匕，当 n>N 时，有 a-£<yn<xn<zn<a + s,即，xn-a vs成立故，lim xn = a.ns 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则I'若0(1)当兀wU(兀0,5)(或卜|>M)时, g(x)<f(x)</i(x),lim hx) - A.X(XToo)(2) lim g (x) = A,X(XToo)则lim于（兀）存在，且等于A.XXq（XT8）注意：利

3、用夹逼准则求极限关键是构造出儿（或g）与 乙（或方（兀）,且儿（或g（兀）与乙（或力（兀）的极限是 容易求的.例 1 求 lim(= +8脸么+n2 +n y/n2 +1H1a/w2 +nn2 +1，又 lim ,= limmoo=L111+-nlim f , = limf aA? + 1由夹逼准则得=L1+4n烈"+2 +-+) = 1. n +25 +n结论：(1) lim亦=1 (2) lim亦=1 (a > 0)H>00Z2TOO例2 lim“l + 2"+3"+4"moo解 4< “1 + 2"+3"+4&

4、quot; < 44且 Iim4-V4=4moo. lim“l + 2"+3"+4" =4比TOO例2的结果可以推广到更一般的情形：设ava2,-ak是比个正数，则lim町a； +a； a； = A,ns v其中，A = mai.a2.-ak.2.单调有界准则若£满足条件>单调数列<2< « <xn<xn+1<- «,单调增加、兀1 >兀2''百£+i >， 单调减少.准则n单调有界数列必有极限例3证明数列£=#3 +的极限存在+語（重根式）证

5、显然心>£,.&”是单调递增的；又： X =忑 < 3,假定 xk < 3, xk+l = J3 +忑 < a/3 + 3 < 3, /. x/?是有界的；.- lim x/7 存在 设 limx”=Av 7yismsXn+严再忆，扁+i=3 + £,辄尤+=辄（3 +乙）, A2=3 + A,解得 4 =a=1zV13 舍去2 2r1 + V13/. lim x =.s n2Q(n = 123,),且兀i >(X a > 0,设 £+1 = Jx” + )2 £ 求 lim £MTooX抽扌2

6、 a:.4a <xz?+1 <xn < <兀 故，n+1)<=(1)=1,即 Xn+1 Xn »lim £存在.二:-r设 lim兀“=A,贝！J 4 =丄(A + ), =>A = ±J,n<x)2 A77>colim xn = 4a.n-»oo/AOB的面积V扇形AOB的面积</AOD的面积二、两个重要极限litn巴匕=1XTO %证：当"（0,今）时，有于是，sinx< jx <|tanx1 x1上式除以一sin兀可得，1<<2 sin x cos x（续）当x

7、u（却0）时，则于是sin(-x) < (-x) < tan(-x)二>2 2 21<X < sin(-x)tan(-x) sin(-x)综上,cos x < "n” < 1 (0 < x | < f)当Ov2时，0vosm 2<2(2)=2xe(-f ,0)lim(l-cosx) =0 (夹逼准则)故，1< < sin % cos x故，v sinx 1lim= 1jvO（夹逼准则）说明例5解：更一般形式超号狞3> v sinx 1如 lim=1xtO 兀(2)注意 lim = 0.X丄、十 tanx求

8、lim0 X原式=亦竺XT0 X1=14 = 1COSX求lim1 cos X%22sin2 原式=lim= -limKTO X2 XT01 sin = -lim( )22 x>ox2limx-»0arcsin xx解：令 t = arcsin 兀贝h = siin，且x>0时，t0原式=lim宀° sin/= lim no sin/=1例 8 求 lim x sin XTOOX.1sm 解：原式=lim = lim 里U 二 1XToo 1/T0 tX例9求 /二lim里旦兀->0 sin 2xs tan3x 2x 3x 3解：原式=lim=-xtO 3

9、x sm2x 2x 2(2q+fq+:+d + i + - l)(qE H X I uqdo+ iy+:+Flv+1 Hxq+EH + + IK (I + MS：(ISM I(IMvU OOTl/iui + I)w=来00-X ，(+-)§ (II)类似地，百+i =1+1+习a一齐y)+I。 12n 1H (1)(1)(1)nln + 1n + 2n + 1+_J_(1_ )(1_ ).(1_J.( + l)! n + 1n + 2n + 显然兀+i > &，二R是单调递增的；1 1 i l.i i o Q X* V 1 + 1 +习 + + / v 1 + 1 + 3 + 盯=3-尹 <3,. %“是有界的；故lim兀“存在H>00记为血1(1+丄)"=ns 17(幺= 2.71828 )HOOTX亍+SWHSTH X STH9好+ -)§、 OT(X)诸论巔収(z)KSTH .m+-)旨例11.求下列极限(1) lim(l-i)x (2) lim(l + |rXT8XToo解：(1)令t = -X,则lim (1 -= lim(l+ |)r= lim-XTOO X ts t tg ( + l)/