勾股定理题型总结

1、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为1 -ab222c 2ab c222大正方形面积为s (a b) a 2ab b2 b2c 1 ,、tS弟形(a b) (a b)S梯形 2s ADE方法三： 2,S abe 2 ab24:勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a2 b2c2R勾股定理1:勾股定理 2、勾股逆定理 3:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下:,122>.0

2、qq4 -ab (b a) c方法一：4S金方EFGH金方形ABCD,2,化简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面 积.a, b, c为正整数时，称a, b, c为一组勾股数记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8，10； 5，12,13； 7,24,25 ; 8,15,17; 9,40,41等2用含字母的代数式表示n组勾股数:1，2n，n1 （n 2, n 为正整数）；欢迎下载fl22-,2n 1,2n2n,2 n 2n 1 （ n 为正整数）2 c22n ,2mn,m n （m n, m , n 为正整数）勾股定理典型例题及专项训练 专题一：

3、直接考查勾股定理已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。2、已知：如图，/ B=/ D=90° , /A=60° , AB=4 CD=2求：四边形 ABCD勺面积。3:4:在 ABC中，AB=13 AC=15高AD=12则BC的长为多少?已知如图，在 ABC, / C=60 , AB=4J3, AC=4 AD® BC边上的高，求BC的长。5、如图，在 RtzXABCt, /ACB=90 , CDLABT D,设AB=g AC=b BC=a CD=h111,2. 2. 2求证：a b h6 .如图，ABC ,AB=ACZ A=450, AC的

4、垂直平分线分别交 AB AC于D E,若CD=1贝U BD于（A. 1 B. 2 C.忘 D, V2-17 .已知一直角三角形的斜边长是2,周长是2+厌,求这个三角形的面积.8 .如图Rt ABC, C 90 AC 3，bc 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积欢迎下载59 .如图，ABC, AB=AC=20 BC=32 D 是 BC上一点，且 ADL AC 求 BD的长.7 .如图，ABC, /ACB=90 , AC=BC P是ABCft一点，满足 PA=3 PB=1, ?PC=2 求/ BPC勺 度数.8 .已知ABC, /ACB=90 , AC=3,BC=4,(1) ADF分/ B

5、AC,交 BC于 D点，求 CD<(2) BE平分/ ABC交AC于E,求CE长专题二勾股定理的证明1、如图，直线l上有三个正方形a, b, c,若&c的面积分别为5和11,则b的面积为（(A) 4(B) 6(C) 16(D) 552、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形 ABC于口 EF 都是正方形.证：4AB售ADAE3、图是一个边长为（m n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）,、2 ,、22,2A （m n） （m n） 4mnb（m n） （mn2)2mn 第3题图222C (m n) 2mn

6、 m n22(m n)(m n) m n专题三网格中的勾股定理1、如图1,在单位正方形组成的网格图中标有 AR CD EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角 形三边的线段是（）(A) CDEF、GH(B)ABEF、GH(C)ABCD GH(D)ABCD EF2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABO,边长为无理数的边数是（）A. 0 B .1 C . 2 D . 33、 （2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为 1, A、B、C是小正方形的顶点，则/ ABC的度数为（）A. 90°B . 60°C . 45° D . 3

7、0°4、如图，小正方形边长为1,连接小正方形的三个得到，可得 ABC则边AC上的 高为（）3 2A. 2B.IO忑 C. 3新 D. 菖5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1,每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为 3、2点、石的三角形.所画的三角形是直角三角形吗？说明理由.6、如图，每个小正方形的边长是1,在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四 实际应用建模测长1、如图（8）,水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根产苇，出水部分 BC的长是0.5米, 把产苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，

8、并求水池的深度AC.2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯 就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏 力，如图，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为 12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15千米/时的速度沿北偏东 30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.

9、(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?欢迎下载11专题五梯子问题1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，(1)这个 梯子的顶端距地面有多高？ ( 2)如果梯子的顶端下滑了 4米，那么梯子的底端 在水平方向滑动了几米？3、如图，梯子AB斜靠在墙面上，ACL BC AC=BC当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是()a. x y b. x y c. x y d.不能确定专题六最短路线1、如图

10、，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路” .他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.、6B、5 C 、42、如图，一圆柱体的底面周长为 20cm,高人3为10 01）, BC是上底面的直径。一蚂蚁从点 A出发, 沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程。BCZCaL_Z_Jd3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20 cm,高AB为10 cm,在圆柱的下底面A点处有一只蚂蚁，它 想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端 C点处，那么它所行走的路程是多少？CA4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， AD是杯底直径，C是杯口一点，其他已知

11、条件不变，蚂蚁 从外部点A处爬到杯子的内壁到达高 CD的中点E处，最短该走多远呢？（杯子的厚度不计）AD5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1米，且封闭的正方体盒子外部的顶点 蚁爬行的最短路程为多少米？A向顶点B爬行，问这只蚂6、如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高 为20cm,点B到点C的距离为5cm, 一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？7、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 2ml 0.3m、0.2m, A和B是台阶上两个 相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到 B点的最短路程是 多少？A与B重合，

12、折痕为DE专题七折叠三角形1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6cm, BC=8cm。现将直角 边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使若已知AC=10cm BC=6cm能求出CE的长吗？3、如图，zABC勺三边BC=3 AC=4 AB=5,把ABCS最长边AB翻折后得到 ABC ,则CC的长等于（）6121324A. 5B.5C.5D.5专题八折叠四边形1、折叠矩形 ABCD勺一边AD,点D落在BC边上白t点F处，已知AB=8CM,BC=10CM,求（1） CF的长（2） EC的长.2、在矩形纸片ABCDf

13、r, AD=4cm AB=10cm按图所示方式折叠，使点重合，折痕为EF,求（1） DE的长；（2） EF的长。3.矩形纸片ABCD勺边长AB=4 AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与 点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为4、如图2-3,把矩形ABCDS直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上, 已知AB=?3 BC=7重合部分 EBD的面积为.5、如图5,将正方形ABCDff叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E,交BC于F,边AB 折叠后与BC边交于点G如果M为CDa的中点，且DE=6求正方形ABCD勺面积DMC6、矩形ABCg, AB=6 BC=8先把它对折,折痕为EF,展开后再沿 折叠，使A落在EF上的A1,求第二次折痕BG的长。专题九旋转问题：1、如图，P是等边三角形 ABCft一