整式乘除全章讲义

1、【学习目标】1 会根据乘方的意义推导幂的乘方法则2熟练运用幂的乘方法则进行计算预习案、知识(-5)3底数为幂为二、探究新知1 想一想10 2 3 等于多少分析： 102 3将括号里的数看作整体，102 3表示 3 个 102相乘，幂的乘即(102 ) X ( 102 )(102(a2)3=()x () x ()=aa(3) (am)2 = () X () =a a(4) (am)n= () X () XX()x () =aa总结为 : am n 即 ： 幂 的 乘 方 ， 底数 ， 指 数2221010232. 仔细阅读第一上面部分，计算下列计算下列各式，并说明理由。4(1) 62 = ()

2、X () =63 牛刀小试(1)103 5=(2)42a =(3)am 3 = 4mx = x2 x4+(x3)2=(6)、126432x教学案例 1、103 3x3 2xm 5a3 3?a53( 5)p p ( 6)a (a ) tm 2 t/ o 4 63 8(8) x x1.募的意义：a a a|a =（左例2、已知am 2,a3（ nn n是正整边有n个a）.数).求 a3m 2n的值.2.同底数募相乘：a例3.已知3x4y16y（m n为正整数）当堂检测不变，指数1、(23)43.募的乘方,5、(P)4即am n(a2)4、(103)3正整数）8、7、二.探究新知1.做一做（1 ）

3、3 5 4表示9、(x3)10;相乘,3/ 2、4(c) (c )2若x33 若 a2n3,4、已知【学习目标】(a+ b)42( c3)2 ( c)5求a3n 4的值。2, an 3,求 a2m 3n 的值.积的乘方1.经历探索积的乘方的法则的过程2.熟练应用积的乘方的运算法则。、知识链接可以用乘法交换率和结合写为用乘方表示为:用上面的办法探索2b 3的结果写出探索abn的过程总结：积的乘方：对于任意底数与任意正整数n,(ab) n方等于a、b即几个因数积的乘3牛刀小试、(2m)3 (_)3 (_)3 、(2 pq)2 (_)2 (_)2 (_)2 5m m3a2教学案例1、计算(ab)6(

4、2) ( - a)3._4(2x)(4) (ab)3(5)( xy)7(6)( -3abc)2例2、计算1、( -xy3z2)22、( 2anbm)3233、(2a2b)3 3(a3)2b34、(2x)2 ( 3x)2 ( 2x)2例3.用简便方法计算：5匚2(1 )35( 2 )3c 2011201180.125例 4.已知 x n 5 , y n 3 ,求 x2y的值。当堂检测1.(1) . ky2( 2 )( %b%)223(3) .- 2x2y3 3 (4)( 1xy3z2)22(5)、( -anbm)3(6)、3(2a2b)3 3(a3)2b3、(2x)2 ( 3x)2 ( 2x)2

5、( 8 )3 22 33x32x2、计算：2 100 0.5100 ( 1)2003 1 3.24 19990.25 20004、若n为正整数，且x2n=2,(3x 3n)2-4(x 2) 2n=。同底数塞除法学习准备同底数募相乘， m na a 幕的乘方，。mx n(a )积的乘方等于(ab)n现在我们用两种方式探讨同底数募除法运算方法一：转化为分数的形式，利用乘方的意义写为积的形式，再约分。1.你知道107 105怎样算吗先将募还原成大数再用分数的约分来计算:例1计算:在下面的算式中 用斜线划出 约分的过程，并写出计算结果。775101010510510 10 10 10 10 10 10

6、(6)4m 2 a10 10 10 10 10ab4(ab)(8)3m 3y y仿照上例计算方法二：利用乘除法互为逆运算直接写出运算结果。因为aa9,所以 a9 a5因为x7,所以因为y10,所以 y10从上述的两种方法中总结同底数募除法法则。同底数募相除，底数(9) x数募的值10 2(y x)3用分数或小数表示下列负整3) 2即：aman(a 0)牛刀小试(1) a11 a4(2)(2) 330,11233.610 41.实践练习:2m 22(5)b b ;(6)(m8 n)(m3n)；(2)ab2 32计算ab2(8)-23x3 5-3.14-1123 若3x a,3y b,求32x y

7、的值。4 若(2x y 5)0无意义，且3x 2y 10,求x, y的值展的运算性质复习知识点总结：同底数募乘法法则：募的乘方法则公式：积的乘方法则 ：/4、3+m/、！-/1、(3) (a);(4)()3n 2 ；(5) a ( a2) ( a3)4(6)2m m 2/ m1、2a a ( a )(7) ( x-y) 3 - (y-x) 2 (x-y)4(8) ( c)3 (c2)4 2( c3)2 ( c)5例1计算(1) (a7+a2 a3) 3(-2a) - a-(-2a) 2(3) x8 ( x)5?( x)3(4 )(吊)2 ( m2)3 + (m4)2 ( 5 )、_2_2_2(

8、2x)( 3x)( 2x)(6)、(3a2)3 b4 3(ab2)2 a4公式：同底数募除法法则：(7)-2301-3.14 - 2(8).a b2n 3b2n a2a b例2(1) 已知m an3,a2,ap5,求3m 2n p a-1公式：a0 (其中a)a p (其中a)计算：(1) ( 2)8 ( 2)7(2) (- b) 3 (b) 7 b2.、已知 a 255 , b 344 , c 533 ,试比较a、b、c的大小1、如果 a2n-1 ax= a3,那么 x=()+2+2 C. 4 2nD. 4 -n2、下列计算中，正确的是()A. 2a+3b=5ab B. a a3= a3 C

9、.x=.a6 + a2= a3D. （ ab） 2=a2b211、(- 3a3) 2 -a3+ ( a) 2 a7 (5a3) 33、结果为a14的式子是（）A. a7 a2B.a7+a7C.（a 7）2D. （a 7）74、若 x2m+1 + x2=x5,则 m 的值为（）12、(- x4) 2-2( x2)3 - x - x+(-3 x)3 x5整式的乘法-一单项式乘单项式A. 0B. 1 C. 2【学习目标】1 .利用乘法交换律和结合律探索单项D. 3S 已知（x-2） 0=1,则（）A. x=3 B. x=1 C. x为式乘单项式乘法法则。2熟练应用单项式乘单项式乘法法则任意数 D.

10、x 才2进行计算。342522225555预习案学习准备(1) 和7、下列式子中计算正确的有()3 13(2) 3 18(3) 216(3.14)0149个 个个 个8、计算()2。5 ( 2 2严5()1259、已知 642 83 2n 1 ,那么 n=统称为整式。单项式是表示数字和字母 的式子。探索新知怎么计算单项式与单项式的乘积例如3a2b乘以2 ab31。、若3',则 x=; 若 3x 5 则_2_3_2_3_233a2b 2ab3 3 a2 b 2 a b3 (3 2) (a2 a) (b b3)仿照上例计算213xy xy) _ _ 2 ，_2、(2)6xy z (3xyz

11、 ) (3) ( 5a2b) ( 2a2) =(2)如何进行单项式乘单项式的运算归纳：单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的 、分别相乘，其余字母连同它的 不变，作为积的。教学案例一、计算：c2 c c 5(1)4xy32x(2) 2x2y3?xyz516(3 ) 4y (-2xy 3) ;( 4 )(2 103) (3 106)(5 ) (1x3y2)( 1x2y3)2( 6 )2 48xnyn1?3x2y(7)23 42 3(0.25xy )(xy)(0.5x y )511(8) ( 2x2 y)( xy2)( x2y2)xyz (9) 22_3_1 23 _22a2(x 2y

12、)3 -ab2(2y x)323例二、光的速度每秒约为3X 105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是 5 X102秒，地球与太阳的距离约是多少千米训练案(1) 5x3 2x2y (2) 3ab ( 4b2) (3)3ab 2a (4) (2x2y)3 ( 4xy2)(5) ( 2an 1bn)2 ( 3anb) ( a2c)(6)(1ab2c) 2 ( - abc2) - (12a3b)23(7) 2(2x 3y)32 -(3y 2x)23(2x 3y)4 22.若 am 1bn 2 a2n1b2m a5b9,求 m+n的值。整式的乘法一一单项式乘以多项式【学习目标】1.利用乘法分配律探索单

13、项式乘以多项式乘法法则。2熟练应用单项式乘以多项式乘法法则进行计算。学习准备1 .去括号 3(2x 3y 1) 2( 2x y 1)2.去括号 5 34x 3y) 2( 3x 2y)2 .计算：(1) 3a2b 2abc 1abc2(2)3(1m3n)试一试：(1) a(a2m n) (2)b2(b 3a a2)(3) ( 4x2)(3x 1)如何进行单项式乘以多项式的运算教学案(1) 2ab(5ab2+3a2b)(2)( 2ab2- 2ab) 1ab 2 ( 2m2n)(3) ( 3x2) ( - 2x3 + x2 - 1) 2探索新知：我们知道乘法分配律可以表示为 a(b+c尸ab+ac,

14、其中a为单项式，(b+c)为多项式，我们可以仿照这个式子进行单项式乘以多项式。例如2m2(3m 2n)我们将2m2看作a, 3m看作b , 2n看作c, 2222m (3m 2n) 2m 3m 2m 2n =(2_ 2)(2ab2 2ab)1ab(4)( -4x +6x8) ( -12x)322a2 (- ab b2) 5a( a2b ab2)2(7)(2x2)3 6x3(x3 2x2 x)(8) . ( 4xy) (xy 3x2y)1 、金23 2 6、(9 ) .( - xy)(- x y -xy - y)2325(10) . 3xnyn 1( 2xn 3yn 3x5y5)训练案(1 )2

15、(1 骂 4x(2 -)( 2 )24_ 2 12222a2(- ab b2) 5a(a2b ab2)2(3),1 2 323 22 2, 1 2 3 2、(-x y 5xy )4x y 3x y ( - x y 5xy)(4)、2 3i 2232 432a b(a b 3a b b ) 2ab (a b 3a 2ab )(5)222223x2 ( 3xy)2x2(x2y22x)312(6)( 4xy) - xy 3(xy - x y)42整式的乘法-一多项式乘以多项式【学习目标】L理解多项式乘以多项式的法则的探究过程并熟练应用.怎样计算 ( m a)(n b) 这样的运算呢探究一 : 图 1

16、 1 是一个长和宽分别为m， n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a， b， 所得长方形(图1 2)的面积可以怎样表示方 法 一 ： 长 方 形 长 为 ， 宽 为, 所以面积可以表示为 ；方法二：长方形可以看做是由四个小长方形拼成的，所以长方形的面积可以表示为由于求的是同一个长方形的面积，于是我们得到：m a)(n b) =探究二：(m a)(n b)我们可以考虑将(m+a)看作一个整体，然后利用乘法 分配律乘以多项式(n+b)的每一项，即：m a)(n b)=( m a)n ( m a)b =观察(m a)(n b)乘积结果的四项，试 着用 连线 的方式表示积中的四项分别是因式中哪两项

17、的积用这种整体的方法计算(x 2)(x 3) ，再用 连线 的方式表示积中的四项分别是因式中哪两项的积归纳： 多项式与多项式相乘: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘 另 一 个 多 项 式 的， 再把所得的积。 教学案例1.计算:(m 2n)(m 2n)(x 2y)2 ® ( a b)( a b)(4)( x 2y)(2x y)(5 )(ax b)( cx d) ( 6) 2x y 3x 4y例 2 计 算 (1)2(x 4)(3x 2) 5(3x 7)(x 1)(2) 计 算 ：3xy(x2 2x 1) (2x 3y)(3x 4y)例3. ( 1 ) ( x 4) ( x+

18、8)=x2+mx+n 则m、n 的值分别是多少2(2 ) 已 知 二 次 三 项 式2x +bx+c=2(x3)( x+1) ， 则 b=， c=.训练案一计算：(x y)(a 2b) (2)3(2a 3)( b 5) (3) (2x 3)( x 1) 2(4 ) ( 2m 1)(3m 2)(5)(x y)2(6)、22x x 2 x x 4(x 2)(y 3) (x 1)(y 2)(8)3(x 1)(2x 2) 3( 2x 1)(x 2)2 .若 x的积，等于它们的。公式的结构特点：左边是两个二项式的,即两数 与这两数 的积；右边是两数的.牛刀小试：用平方差公式计算： 2 y 2 y 3x

19、4y 3x 4y mx 36 (x 2)(x b),且a,b, m为整数，则m的值可能取多少个3 .若(x2 px q)(x2 2x 3)的展开项中不含x2和x2x2 5 2x2 5 -3x 4y 3x 4y的项，求p和q的值.平方差公式(1)【学习目标】 会推导平方差公式，说出平方差公式的结构特点，并能正确地运用公式进行简单的运算；学习准备：1.计算下列各题(1) x 2y x 2y(2)1 3y 1 3y(3) x 3y x 3y(4)5x 2y 5x 2y分析：算式x 2y x 2y表 示 的 意 义 是x与2y的和与x与2y的差的积，它最终的计算结果表示的意义是用这种方式分析算式2:1

20、 3y 1 3y 表示的意义是它的结果表示的意义是分析算式3, 4及结果归纳：平方差公式：(a+b) (a -b)=,即两数 与两数例1、请将以下各式中能用平方差公式计算的计算出来。(1) (2a+b) (2a b)(2)(4a+1) ( 4a 1)(2x7y) ( 2x+7y)(4)33(2x+3) (3+2x)(5) (2a+1)(2a1)1 1(6) ( m 3n)( m 3n) 33(-5+6x) (5+6x)(8)(3n+n) (3mm)例题3、计算,、_2_(1) (m+2) (m+4) (m 2) (2) 2(x 1) (x+1) (2x+1) (2x-1)(a -b) (a+b

21、) (a 2+b2) (a4+b4) (4)(x 一 ) ( 一 x ) 2x ( x+ ) 22231、判断下列各式能否利用平方差公式进行计算。(1) (1+4a)(1 4a)(2) (a-2b) (2a+b)(4x 5y)( 4x+5y ) (-2x-1) (2x -1)(5) ( - 1 a+b) (b+ 1 a) (6) 22(x+1) (4x 1)2计算(1 ) (m n)(m n)( 2 )(x 2y)(x 2y)(3) ( x 5)( x 5)1 一 1(4).- xy 3- xy 3(5)222121(7x-y)(7x- y)(6)22xy 3 3 xy3、简答题 (a+b)

22、(4a - b) - (2a b)(2a+b),其中，a=1,b= - 2 计算：(a 1) (a2+1) (a+1)平方差公式(2)平方差巩固练习(m n)(m n)(2).( x 5)( x 5)1 1(3) . ( - m 3n)( - m 3n) 332121(4 )(7x-y)(7x-y) ( 5 )22(2x 3)( 2x 3)6)2.平方差公式解决的是二项式与二争2 y2)( r2y2)项式的乘积，一些特殊的多项式乘积 用整体的思想也可以这样做，仔细阅 读。显然这种方法的关键是将其中两项结合为一个整体，通过分析相同项和相 反项，思考到底应该将哪些项结合起 来。例题 1、计算 10

23、02 X 998(2)2009 ( )(5a+1)=1 -25a2, (2x3)=4x29, ( - 2a2 - 5b)( )=4a4-225b 99 X 101= () 2008 X2010例题 2(1)(y+2)( y 2)( y2+4) 2.计算(2x 1)(2x 1)(4x2 1)(16x(1_ 1)例题 3 (1) (a b 3)(a b 3)(2)2x 3y 4 2x 3y 4【当堂测评】19981997 1999 11.运用平方差公式计算(1) 69X 71 402 X3391(3)32(6) 2x y 2x y x2y22009 -2008 2010 (5) (4x2y -2)

24、(-2 4x2y) (5ab 3x)( 3x 5ab)(10)计算完全平方公式学案(2)【学习目标】能熟悉公式的推广，公式逆用，变形。1、填空：(1 ) (2a - b) (2a+b)=()2 ()2灵活运用完全平方公式【主体知识归纳】(1)完全平方公式推广计算(a+b+c) 2(2)完全平方公式的变形，在下面的横线上填上一个单项式，使等式左右相等(3) a2+b2=(a+b)2a2+b2=(a-b)2(a b)2+=(a+b)2;(a+b)2 =(a b)2(3)形如a2 2ab+b2的式子叫做完全平方式(因为 a2 2ab+b2能化成(a b)2 形式)。类型一 完全平方公式的应用例1计算

25、(1) 2012(2) 1972(3) 2类型二完全平方公式与平方差公式，的综合应用例2计算(1)( a+b+3 ) (a+b 3)(2)(x+3y+2)(x+2 3y)(3)( x2+2x+1 ) (x2 2x+1)(3x+2y 4)(2y 3x+4)例 3(1 )(x+3)2 x2(2)(x+5)2 (x 2)(x -3)类型三公式的逆用11例 4 已知：a+1 = 3,求(1) a2+J2 (2) aa(a-)2 (3) a4 工 aa随堂练习：(1) x+1=2,求x2+:，xx1 (x-1)2x例5 (1)若x2+4x+k是完全平方式，求k; (2)若x2+2kx+4是完全平方式，求

26、k随堂练习：(1)要使4a212成为完全平方式，应力口上;(2)若x2+kx+64是完全平方式，求k ：(3)(a 2b+3c ) (a+2b 3c)(3a+b)(3a -b)+(2a+b)(b -a)2 已知：x+y=3 4xy=3, 求(x y)23要使9x2+1成为完全平方式，应加上 整式的除法-一单项式除以 单项式学习目标：1 .经历探索整式除法法则的过程，会 进行简单的整式除法运算2 .理解整式除法运算的算理，发展有 条理的思考及表达能力.学习准备:同底数募除法除法法则：公式为:3m 1(2) x/ 23(x )(a b)5(ab)3单项式乘以单项式法则:单项式与单1 .填空：(1)

27、 6xy + ( 12x)=2 2) -12x6y5-=4x3y2.(3)12(m n)5+4(n m)3=(4)已知(3x4yj 3+ (一 工 xny2)= m)8y7,贝U m=_n= 3-. 3x5 9x2项式相乘，把它们的(3x2n3yn2) (2xn2y5)的结果是分别相乘，其余字母连同它的例3月球距离地球大约X 105千米，一架飞机的速度约为千米/时如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要【当堂测评】2.计算:不变，作为积的12 .(1 ) 2a( 2ab -ab ) 3,1、,2 2326、(-xy)(-x y 二 xy 二 y)2325(2)新知探究：18x5 6x2等于多少

28、为什么说(1) (x2y)(3x 3y4) + (9x4y5).(2xn)2(4x2)2.3 .已知实数 a,b,c 满足 |a 1|+|b+3|+|3c 1|=0, 求(abc) 125+(a9b3c2)的值4 .若 ax3my12+ (3x 3y2n)=4x6y8,求(2m+n a) n 的值.(3整式的除法多项式除以明你的理由。再试试-12x3 y4 3x2y2单项式2)+(5a3bc). (1)【学习目标】单项式与单例 1 (1)( x2y3) +(3x2y) ; (2)(10a 4b3c(2a6b3) +(a3b2) (2)(x3y2)+(x2y).1.经历探索整式除法法则的过程，会

29、进行简例 2(1) ( 2r2s)2 (4rs2) (2) (7a5b3c5)单修济瞅用可。，学习准备：3a b2 8a3b21单项式4！以单项式法则：(4) (3x2y)2 ( 15xy3) ( 9x4y2) (5) 4ab (a2b)2 a2b (6)3项式相藤，把它们的 2n 2m 1 7. 2n 1 2m32x y z 4x y的因式，对分别相除后、作为类型三 单项式除以单项式在实际生活中的应用于只在被除式里含有的字母，则连同例1计算:它的 一起作为商的一个因式。2x3y2+ 6xy2= 4xy2+( -xy)=15m2+ 5m2= 5x2y+(_1x)=一242 x5y3z- xy3

30、=( - - x4yz2) 一356(2x2z2)= ( - 3 a2bc) + ( 3ab)=34新知探究：例：因为 2x(x2 3x 5) 10x3 6x2 10x所以(10x3 6x2 10x) 2x 仿照上题填空：因为 4x2y3()=12x5y4 8x3y5 4x2y3所以(12x5y4 8x3y5 4x2y3) 4x2 y3 =(1) (6ab+8b)+2b;(2)(27a 315a2+6a)+ 3a(3)(9x 2y 6xy2)+(3xy) ;(4)(3x2y xy2+1xy) + (练习：计算：(1)(6a3+5a2) +( a2); (2)(9x 2y 6xy23x)3xy)

31、;类型二多项式除以单项式的综合应用例2 (1)计算:(2)化简求值:其中 x=2,y=1【当堂测评】1.填空(2)(35a(3)(2x+y) 2 y(y+4x) 8x + (2x)(3x+2y)(3x 2y) (x+2y)(5x 2y)一2：(1)(aa) +a=32+28a +7a) + (7a)=3x2y4) -( - xy3)=2. (a 2) 4+a3a (ab) 2受一=()因为-3a2b3()=9a4b4 12a3b5 6a2b6所以(9a4b4 12a3b5 6a2b6) ( 3a2b3) =+a 5 a3b2 +a 3 ab2 +a4 a2b23.计算:(3x 3y 18x2y

32、2+x2y) +( 6x2y);-2) -2x2y2+4 +(xy).+a(2)2-a2b2(xy+从这三个算式总结多项式除以单项式的法则：4.探索与创新(1)化简2n 4 2 2nc c n 32 2练习：(1)计算：(2a2b) 2(3b3) 2a2(3ab 2)3+ (6(2)如果 2x y=10，求(x2+y2) (x y) 2+2y(x+ （4y）的值整式的乘除复习1、同底数募的乘法，底数 ,指数。即：am an （ m , n都是正整数）。逆向应用：2、募的乘方，底数,指数。即：am n （m, n都是正整数）。逆向应用：3、积的乘方等于每一个因数的、分别相乘，其余字母连同它的指数

33、不变，作为积的因式。（2）单项式与多项式相乘就是用 ,并把所得的积（3）多项式与多项式相乘的方法是：8、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。即：a b a b 09、完全平方公式：,2,2a b , a b 0文 字 叙 述 为 ：即：abn （n是正整数）逆向应用：4、同底数募相除，底数 ,指数即：am an （a 0,m,n都是正整数，且m>n）,a0, a p（ a 0, p是正整数）逆向应用：5、整式的乘法：10、整式的除法：单项式相除，把?分别相除后，作为商的因式；对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数 一起作为商的一个因式。11、多项式除以单项式的方法是（1）单项式与单项式相乘，把它们、基本计算练习2x 3y 5 2x 3y 5(x)5(x y9)2(b a)2-2xy22xy)2 y(y 4x) 8xy 2x其中-3x3y2 32xy )x 2, y(2a1 2 mn36 3一 mn52(3 m 2