正切余切图像的性质反三角函数

1、正切、余切函数图象和性质反三角函数 知识要点1 正切函数、余切函数的图象与性质2 反三角函数的图象与性质3 已知三角函数值求角 目的要求4 类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点5 从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.6 能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.7 能用反三角函数值表示不同范围内的角. 重点难点1 正切函数图象与性质2 已知三角函数值求角 内容回顾、正切函数与余切函数图象由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由 图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象作三角函数图象的一般方法，有

2、描点法和平移三角函数线法个1 尸与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期之2内的图(-,7)00)小)象上三点4- 及两条重要的辅导线一一渐近线E 上，来作正切函LX数在区间占2上的简图，不妨称之为“三点两线法”若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案、正、余切函数的性质由图象可得y=tanxy=cotx定义域(r |2值域RR单调性一匹J匹、（幻兀 ）在22上单增（k Z）在，缶可上单减（k 6 Z）周期性T= TtT= Tt对称性岩110对称中心2,奇函数（k Z）20对称轴；无竽）10对称中心 小，

3、奇函数（k6Z）20对称轴；无注：1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）2、每个单调区间一定是连续的.3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内三、反三角函数的概念和图象四种三角函数都是由 x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个 x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所 有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（ 4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下 定义：1 . y=sinx, x 62 2的反函数记作 y=arcsinx, x -1,1,称为反正弦函

4、数y=cosx, x 6 0,0的反函数记作 y=arccosx, x G -1,1,称为反余弦函数.y=tanx , x 上上的反函数记作y=arctanx, x 6 R,称为反正切函数.y=cotx , x G (0,n)的反函数记作y=arccotx, x 6 R,称为反余切函数.2 .反三角函数的图象由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象y=arcsiraiy-flircooc（1, J）和（- 1, -注：（1） y=arcsinx, x -1,1图象的两个端点是 ?（2） y=arccosx, x 6 -1,1图象的两个端点是（1 , 0）和（-1 ,冗）河寓y - v

5、=-（3） y=arctanx, x 6 R图象的两条渐近线是乙和 二（4） y=arccotx, x 6 R图象的两条渐近线是y=0和y=n.四、反三角函数的性质由图象，有y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx定义域-1,1-1,1RR值域0,何(0,n)单调性在-1 , 1上单增在-1 , 1上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心(0 , 0)奇函数20对称轴；无0 *山(%)10对称中心L非奇非偶20对称轴；无10对称中心(0 , 0)奇函数20对称轴；无o 2山()10对称中心匚非奇非偶20对称轴；无周期性无无无无另外:1 .三角的反三角运算ar

6、csin(sinx)=x(x 6arccos(cosx尸x (x",何)arctan(tanx)=x(x 6(一/)-)arccot(cotx)=x(x6(0,冗)2 .反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x -1,1) cos(arccosx)=x (x -1,1)tan(arctanx尸x (x6 R)cot(arccotx尸x (x6 R)3 . x与-x的反三角函数值关系arcsin(-x)=-arcsinx(x 6 -1,1)arccos(-x尸n-arccosx (x -1,1)arctan(-x)=-arctanx (x 6 R)arccot(-x尸 Tt

7、-arccotx(x 6 R)arcsin + arccos x = 一F -1,1) arctan x + arc cot z =一 (xw a)4 .22五、已知三角函数值求角1 .若 sinx=a (|a| <1),则 x=k n+(-1) karcsina(k 6 Z)2 .若 cosx=a (|a| <1),贝U x=2k nt iarccosa(k 6 Z)6Z)6Z)3 .若 tanx=a (a 6 R),贝U x=k n+arctana (k4 .若 cotx=a (a 6 R),贝U x=k n+arccota(k具体计算和表示时，应根据x的范围来确定x的个数.典

8、型例题分析例1 .比较大小1723、COt(- - 切耳 cot(. - 1Q ：33tan( 7r+ V 与三 国一 1) 二 二.1723冗*- TC分析：98不在余切函数的同一单调区间内，应利用诱导公式设法将其化到同一单 调区间内，再利用单调性来比较大小解：（1）,由余切函数在（0,冗）上的单减性，有匹冗Cot .> C 0!t 9B,1723 .COt(- - 7T)> COt(- 7T)=-cot 1 < 0(2)- 1) = tan( - 1) = cotl > 0 tan(几+ 1) < tan(兀- 1)22.22例2.写出下列函数的单调区间y c

9、ot(- - 2工)-(3)y=|tanx|1 兀u = x 分析：（1）若设 26 ,则原函数可看作是由y=tanu,InLi = X 26复合而成的复合函I 冗Li = X 数，由于26在r上单增，由复合函数的单调性确定法则,可解决之.类似地，可解决（2）.解：（1） :y = tan 4在(妇c - - 3 Jar 十)二 之上单增,(k£Z)yj.1. j7CfCTC -<£= Z < jfcX + 此时， 上 (k (k2(kcz)2qt < x < 2上五十一应解之得 m3 «c z)y = tan( )tc)26在区间'

10、;33 上单增(k c z)a = -2a = - -2;原函数由y=cotu, 4复合而成，而 4 在r上单减,又 y=cotu 在1" Q (k c Z)上单减,丘（口 二 一一2K京十兀此时，4（k Z）-ku: - - it < 工<-解之得 £*2* (k 6 Z)1 .3,/1 L耳tr- -3T<X<itx+即“23(k 6Z)y = cot(- - 2工)- 在区间"十(k Z)上单增.分析：由y=tanx图象作翻折可得 y二|tanx|的图象，由图象即可得其单调区间y=|tanx|kf tx + )(日一二饲的单增区间是2

11、 (k 6 Z),单减区间是 2 (k 6 Z).2sec x - tan xy 一7例3 ,求函数 sec N + t血犬的值域.分析：考虑到最简原则，将sec2x化为tan 2x+1 ,这样去分母，作变形，就可以得到关于tanx的二次型方程，而 tanx R,可考虑用判别式法求值域.有tan 工一 tan工十1/ =5；一'一 (y-1)tan 2x+(1+y)tanx+(y-1)=0当ywi时,J = (1 m- y)1 -4O-1)2 > 0.”3当y=1时,tanx=0 6 R 综上，所求值域为法二：另分析，先对解析式变形“切割化弦”1 sin x_ cos2 z co

12、s ,1 sin xcos cosxI1.、1 - - sin 2r2；1、1 * - sin 2x2一 .1 十 L疝 2xe-,-2 l2 221一人一T也1 + sin 2%2法三：也可由式1 .八1 - -siny -1 卜 Lin 2K1_逐 2(1-4解不等式二亦可得/(x) = sin(ax +a,b 6例4 .设36，它们有相同最小正周期T, (0,1),若 f(1)=g(1),求 f(x),g(x)和分析：先从f(x)与g(x)有共同最小正周期入手，找参数 a,b关系.T解：in(0+= tan(小十f(1)=g(1),2 tan(A 十)=tan( + 看)tang + )

13、 = 0 taxQ + ) = ±16 或 61 S耳 J客 靠",加 /丁 L rr£3 = >CK - ICTC+ 一敦旧一一一 QtW ZJ 6或 4 64 6%，. 郭汨h =，a =又 b 6 (0,1),126/（芥）=通白4三）,1（方=皿各瑶）'-,:二，T=i2.例5 .若4.,cosx+tsinx=t,求t取值范围.G81/ =：分析：先将t表示出来， l-£in工，观察到此式右端与半角正切的有理公式q siri at 1 - cos ct tan =;2 1+8£ & sin a 很相像，能否转化？.

14、 7CCC>S A1 - sin z-国 / _ X)1 - COS(y -工)r 案河it E Cot , COt 147，即片L卷十1tan arcsin(-) - -：cos(ancsin 一十 arcsin 2| + artsin ) 一(4)arctan2+arctan3解：（1）设arcsin( - -) = oe sin(-/0)1sin oi3-tan a -*-21+""2a原式31- 1 arcsui = aj.arcsui =p设之3,sm a = F sin 0 = p 3,6 e (0p '：232 ,原式.史施理.过二2 32 33

15、662而aarcsin " a,arcsin p设 三 ,sin a - -Tsin jS - - na?nff e (。二)332一 ，21-tanoftan-l- 75x - " 052,乜gw «(4)设 arctan2=a, arctan3=b,贝 12+3tan(o( += -11 - 2 k 3.又 33Ct +p = 7t巾.4 ,原式=4.sin xcos;-2V2-3 匚OEO?X, cos - - V2.23,-g£(of + 6) = cos a cosjS - sin win #2tan 口 一J5, t儆 6 521 ，2 .原式值不存在.通L), tan a - 2 Jan P = j2,