第3节勾股定理及逆定理的综合

1、第三节勾股定理及逆定理的综合、课标导航课标内容课标要求目标层次勾股定理及逆定理利用勾股定理及逆定理解决有关问题、核心纲要1 .勾股定理与逆定理勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法.综合应 用勾股定理及逆定理，可以解决很多几何问题 ，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形(或添加辅助线后的图形)中的某个三角形为直角三角形，然后在应用勾股定理解决问题 .2 .直角三角形的性质(1)角的关系：两锐角互余.(2)边的关系：勾股定理.(3)边角关系：30。角所对的直角边等于斜边的一半.这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有

2、广泛的应用.3 .勾股定理及逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度 ，二者相辅相成，完成对 问题的解决.掌握一些常见的基本图形本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用.三、全能突破基础演练1 .下面的判断：在 ABC中,a2+b2w c2,则 ABC不是直角三角形；* ABC是直角三角形,/ C=90° ,则a2+b2=c2;若 ABC中，a2 b2 = c2,则 ABC是直角三角形；若 ABC是直角三角形,则（ca）（ a+c尸b2:以上判断正确的有（B. 3个C

3、. 2个D. 1个，两直角边总长（计算时视管道为线，中心为B.A . 2m3m,AB的垂直平分线交OO)()图 17 3 43.如图 17-3-2 所示，在 ABC 中，/C=90°，/B=30BC于点D,垂足为2 .如图17-3-1所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道E,BD=4cm,则CD的长为4 .如图17-3-3所示,在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘白A处;另一只爬到树顶 D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相

4、等，则这棵树高米.5 . 一张直角三角形的纸片，按图17-3-4所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若/ B=30° ,AC= J3 ,则DC的长为6 .如图17-3-5所示，折叠长方形的一边 AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm,求 EFC的面积.图 17 3 57.如图 17-3-6 所示，在 ABC 中，/ B=45°,/ C=30° , AB=丘,求 SABC 的面积8 .某市在“旧城改造”中计划在市区一块如图 17-3-7所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，其中/ A=150° , AB=20米，AC=30

5、米.已知这种草皮每平米售价a元，则购买这种草皮至少需要 元.9 .如图17-3-8所示，长方形 ABCD中，AB=8,BC=4,将长方形沿 AC折叠，点D落在D/处,10 .如图17-3-9所示，把长方形 ABCD纸片折叠，使点 B落在点D处，点C落在C/处，折叠EF与BD交于点O,已知AB=16, AD=12,则折痕 EF的长为.11 .如图 17-3-10 所示，在 ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC, P 是 ABC 内的一点，且 PB=1 ,PC=2, PA=3,将 PBC绕点C旋转后，与/ AP/C重合，连接PP/,则PP/=, / BPC的度数为.12 .等腰

6、三角形的一边长是12,另一边是10,则其面积为13 .如图17-3-11所示，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=30°，点A处有一所中 学，AP=160m.假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公 路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知 拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？；V IQ14.如图17-3-12所示，在一笔直的公路 MN的同一旁有两个新开发区A、阳17算出9B=10千米,直线AB与公路MN的夹角/ AOM=30° ,新开发区 B到公路MN的距离BC=3千米.(

7、1)求新开发区A到公路MN的距离；(2)现要在 MN上某点P处向新开发区 A、B修两条公路PA、PB,使点P到新开发区A、B的距离之和最短.请你用尺规作图在图中找出点痕迹)，并求出此时PA+PB的值.P的位置(不用证明，不写作法，保留作图15 . (1)如图17-3-13所示，已知，在等腰 RtABC中，AC=BC=4, / ACB=90 °，点P在线段BC 上，且PC=2,若点D在线段AB上运动，求PD的最小值；若点P从初始位置先运动到 AC边上，再运动到 AB边上，求点P运动的最短路劲.图 17 3 13(2)如图 17-3-14 所示，已知，在 ABC 中，AC=8, BC=6

8、, /ACB=90°，点 P 在线段 BC 上,且PC=2,若点P从初始位置先运动到 AC边上，再运动到 AB边上，求点P运动的最短路CA图 17 3 1416 .在4ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 厉 J10、J13 ,求这个三角形的面积.小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点4ABC (即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图17-3-15 (a)所示.这样 不需求 ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.(1)请你将中 ABC的面积直接写在横线上 .思维拓展(2)我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法.若

9、ABC三边的长分别为 J2a、Ji3a、J17a (a>0),请利用图17-3-15 (b)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的 ABC,并求出它的面积填写在横线上 .探索创新(3)若4ABC中有两边的长分别为 J2a、J10a (a>0),且4ABC的面积为2a2,试运用 构图法在图17-3-15 (c)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出所有符合题意的ABC (全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三边长填写在横线上 .(4)利用上述解题方法完成下题：如图 17-3-15 (d)所示，一个六边形绿化区 ABCDEF被 分割成7个部分，其中正方形 ABQP、

10、CDRQ、EFPR的面积分别为13、20、29,且 PQR、 BCQ、DER、 APF的面积相等，求六边形绿化区 ABCDEF的面积.(a)(b)(c)(d)图 17 3 1517.如图17-3-16所示，在等腰直角 ABC中，AB=AC,点D是斜边BC的中点，点F、E分别为AB、AC边上的点，且DELDF.(1)证明：BF2+CE2=EF2.(2)若 BF=12, CE=5,求 DEF 的面积.18.如图17-3-17所示，在4ABC中，AM是BC边的中线，AE为BC边上的高，试判断AB2+AC2与AM2+BM2的关系，并说明理由.19.如图 17-3-18 所示，已知：/C=90°

11、; , AM=CM, MPXAB 于点 P.求证：BP2=AP2+BC2.图 17 3 1820.如图 17-3-19 所示，在 RtABC 中，/ ACB=90° , CDAB 于点 D, BE 平分/ CBA 交CD于点F,交CA于点E,且FG /AB交CA于点G,若BC=13, BD=5 , (1)判断 CEF的形状.(2)求AG的长.图 17 3 1921 .【背景材料】小颖和小强在做课后习题时,遇到这样一道题：“已知RtA ABC中，ZACB=90° , CA=CB, /MCN=45° ,如图 17-3-20 (a)所示，当点 M、N 在 AB 上时，贝

12、U MN2=AM2+BN2” 小颖的解题思路：如图 17-3-20 (b)所示，将4 ACM沿直线CM对折，得 A/CM ,连Al, 进而证明 A/CNABCN,结论得证.【解决问题】当 M在BA的延长线上，点 N在线段AB上，其嘴 1 气1 16图17320(c)所示，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？根据上述材料帮助小颖判断结论，并给出证明.图 17 3 20图 17 3 21中考链接22(2011 山东烟台)如图17-3-21所示，在四边形ABCD 中，/ ABC=90 ° , CDXAD ,AD2+CD2=2AB2.(1)求证：AB=BC.(2)当BE LAD于点E时

13、，试证明：BE=AE+CD.23. (2012 山东荷泽)如图11-3-22所示，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O为原点，点 A在x轴的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上， OA=10, OC=8,在OC边上 取一点D,将纸片沿AD翻折，使点。落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.图 17 3 22图 17 3 23巅峰突破24.如图17-3-23所示，ABCD是一张长方形纸片，将 AD、BC折 起，使A、B两点重合于CD边上的点P,然后压平得折叠 EF 与 GH .若 PE=8cm, PG=6cm, EG=10cm.贝U长方形名氏片 ABCD 的面积为()A . 105.6 B, 110.4C. 115.4D, 124.825.探究：如图17-3-24所示，C为线段