求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

1、精选文本求数列前N项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式， 即先有通项公式， 再在分析数列通项公式 的基础上，或分解为基本数列求和， 或转化为基本数列求和。 当遇到具体问题时， 要注意观 察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。1 .公式法等差数列前n项和：迨3 na1 n(J)d2 2特别的，当前n项的个数为奇数时，82kl (2k 1)|ak 1,即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1 时，Sn na1ai i qn "wh、+ -人q 1, 8口 ，特别要注意对公比的讨论。n1 q其他公式：c n 1c n

2、211、Snk-n(n1)2、Snk2-n(n1)(2n 1)k 12k 16C n 3123、Snk3n(n 1)2k 121例1已知log 3 x ，求x x x x 的刖n项和.log 2 3解：由log 3 x1 log 2 3log 3 xiog3 2 x -由等比数列求和公式得23nSnx x x x(利用常用公式)x(1xn)1 x1(1 )2(2n12n1 一2例 2设 Si= 1+2+3+ +n , n C N，求 f (n)Sn(n 32)Sn1的最大值.解：由等差数列求和公式得用常用公式)(利-1 , 一 1 ,Sn-n(n 1),Sn 1-(n 1)(n 2)22f(n

3、)Sn(n 32)Sn 1n111= 648 250n 34( . n )2 5050n. n当 <n8,即 n = 8 时，f (n)max一 n1502.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由题可知，(2n 1)xn 1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn1的通项之积234n设 xSn 1x 3x 5x 7x (2n 1)x得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn 1 (2n 1

4、)xn(错位相减) 1xn 1n再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x (2n 1)x1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn(1 x)(1 x)2例4求数列2,4,与 ,2n,前n项的和.2 22 2 32 n1，的通项之积2n2n解：由题可知,的通项是等差数列2n的通项与等比数列2n设Sn2Sn（设制错位）222了62362n2n2n歹(112)Sn2 2n_ n_ n 122（错位相减）Sn12 n 1n 22n 12n2n 1练习：求：S=1+5x+9x 2+(4n-3)xn-1解：Si=1+5x+9x2+两边同乘以x,得x &=x+5 x2+9x3+ 一

5、+(4n-3)xn-1+(4n-3)xn-得，(1-x) Sn=1+4 (x+ x2+x3+nx ) - (4n-3)当x=1时,Sn=1+5+9+ (4n-3) =2n2-n当xw 1时,xn 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序），Sn= 4x(1-xn) +1- (4n-3)1-x1-x3.反序相加法求和sin2 882 _sin 89的值.、一 _22解：设 S sin 1 sin 2sin2 32sin2 882sin2 89再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1 an）.222例 5求 sin 1 sin 2 sin 3将式右边反序得一2 一

6、S sin 89sin2 882 一2 一sin 3 sin 2. 2 .sin 1（反序）又因为 sin xcos(90x),sin2cos x 1（反序相加）2S (sin 21cos21 ) (sin2 2cos2 2 )(sin 2 892cos 89 ) = 89S= 44.5精选文本n(n 1)2(n2)4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1例6求数列的刖n项和：1 1, a解:-1设 Sn (1 1) J 4) a1 4,- aJa7,二 3n2,将其每一项拆开再重新组合得

7、Sn (1 1 a12 a（分组）当a= 1时,Sn组求和）当a 1时,Sn例7求数列n(n+1)(2n+1)的前解：设 akk(k 1)(2k（分组）7)(1(二n 1a3n 2)3n 2)(3n 1)n2T a1 1 an项和.1)nSn k(k 1)(2k k 1将其每一项拆开再重新组合得Sn=2(13 23（分组求和）(3n1)n2(3n 1)n(3n 1)n2k31)=3k2n(2k3k 13(12223k2k)n2)nk3(1 2k2n)2/n (n21)2n(n 1)(2n 1)n(n21)精选文本练习：求数列J c1 1-,2-,J1、，38,.一,（n 2J,.？的前n项和。

8、5.项）-1解：sn 12(1 21 243 ?裂项法求和“1? (n 2n)11121n)(2?-)222232n1) 1 J这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通分解，然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)(3)(5)(6)anann(n 1)例9求数列（裂项）（裂项求和）f(n 1)f (n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan nn(n 1)an(2n)2(2n 1)(2n 1)1(2 2n 1 2n 1n(n12n1)(n 2)2(n 1)n(n 1)2n(n12n1)(n1n

9、 2n 1Snj,则 Sn (n 1)2n的前n项和.an(n1_1)2n=(2.1) (、.3.2)( . n 1, n)例10在数列an中,an，又bn2,求数列bn的刖an an 1n项的和.解:an（裂项）（裂项求和）例11求证:解：设S（裂项）（裂项求和）sin1(tan 1练习：求bn数列bn的前n项和Sn8(13)(3一）(1n= 8(18ncos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1cosn cos(n 1)cos0 cos1cos1 cos2tan0 ) (tan 2 tan1 ) (tan3s

10、in 11 一(tan 89 tan 0 ) = cot 1sin 1原等式成立1 1 13，1 5，3 5，63N和°18(一 ncos127sin 1tan(n1)tan ncos88 cos89tan2 ) tan 89tan88 cos1. 2 .sin 1精选文本S2002=a1a2a3a2002-1解：a312121115(1(12(16.合并法求和1351)3131) 9163 1(1 2 3111511-31 s- (1针对一些特殊的数列,) (3 5) (3 54951)715-71(11712 7 91 17 9)将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此，在求

11、数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + -解:设 Sn= COSl+ cos2° + cos3 °一+ cos178° + cos179° 的值. + + cos178° + cos179°并求和）例 13解:殊性质项）cosncos(180 n（找特殊性质项） Sn( COSl+ cos179° )+ ( cos89° + cos91 °数列an： a11但a73, a3a2a3a41,1, a21,

12、a5a83,a6k 13,a32,3,a6aga6ka6k3,a6k(cos2° + cos178° ) + + cos90°2, an 2 an(cos3+ cos177° ) + (合S2002.a2002an 2 an 1an可得2,2, a101, a113,a122,a6k 33a6k2,a6k 4a6k 51,a6k 53,a6k 6a6k 6（找特精选文本（合并求和）(a1 a2 a3a6 ) (a7 a8a12 )(a6k 1 a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999 a 2000a2001a 2002a19

13、99a2000a 2001 a 2002a6k 1a6k 2 a6k 3 a6k 4例14 在各项均为正数的等比数列中，若 a5a69,求 log 3 a1log3 a2值.解：设Snlog3 a1 log3 a2 log3 a10由等比数列的性质m n p qamanapaq殊性质项）和对数的运算性质log a M log a N log a M N 得log 3 a10 的（找特Sn(log 3 a1log 3a10) (log 3 a2log3 a9)(log 3a5 log3a6)（合并求和）(log 3 a1 a10 )(log 3 a2 a9 )(log 3 a5 a6 )log3

14、9 log39 log3 9107. 利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例 15 求 1 11 111111 1 之和 .n个1解：由于111k个1999k个11(10k 1) 9（找通项及特征）1 11 111111 1n个19(101121) -(102 1)13(103 1)91 C1(10n 1)9（分组求和）112(10109103n、10 )9(11)1 10(10n 1)101(10 81109n)例16已知数列an:an(n 1)(n 3)，求n(n 1)(an1an 1）的值.解：丁 (n 1)(anan 1) 8(n 1)项及特征）（设制分组）（裂项）(n 1)(ann 1裂项求和）(n 1)( n14 (一3)(n 2)(n 4)（找通(n 2)(n 4) (n1-7)18土）1an 1)4(n 1 n 21n 4)11(n 31n 4)（分组、二4(311-)84413万练习：求5, 55, 555,，的前n项和。解：a1=_5（i0M）55