第二章----随机变量及其分布标准答案

1、k一(k 1,2,3,4)，则10 _2 A10 10 10第二章随机变量及其分布2.1-2.2一、填空题1.设随机变量X的分布律是PX k1 5P - X - P X 1 P X 12 2162.设随机变量X的分布律是 P X kkaR(k ，)，0,为常数,3.已知随机变量X只能取-1,0,13 52,，贝 U c 22c 4c 8c 16c1 , 2这四个值，其相应的概率依次为一，1 因为2c3524c 8c 16c8 12 10 216c3216c4.设5个产品中有 不放回，直到把3个正品2个次品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后2个次品都取出来为止，用 X表示需要进行的测试次数，

2、则12P X 2, P X 5105解：Ai ： 第i次取到次品”2 11PX 1 2P(AA2) P(A1A2) P(A1)P(A21A1)； 6PAA2A3A4AAiA2A3A4A5AA2A3A4A5A A2 A3 A4 A5P A A2 A3A4A5) P(AA2 A3A4A5) P(AA2AA4A5)PCAzAAa2321 3221 3221 32115432 5432 5432 54325 .若 P X X21 ,P X Xi 1P x1Xx21解：P X1 X X2P XX2P XXiP X XiP Xx21 P Xx1P Xx1P Xx21 P Xx116. 一颗均匀骰子重复掷1

3、0次，用X表示3出现的次数，则 X服从参数为10 kk 0,1,2, ,107. 一电话交换每分钟接到呼叫次数，XP（4）,则每分钟恰好有 8次呼叫的概48率为 Le 4,每分钟呼次数大于 8的概率为 8 !8 4k , p X 8 1e 4 0.021363k 0 k!8. 一实习生用一台机器接连独立的制造了3个相同的零件，第i（i 1,2,3）个零件一 一一一、,1. ，一 是不合格品的概率为pi（i 1,2,3），以X表木3个零件中合格品的次数，I 1II在P X 224设A ： “第i个零件合格”，i 1,2,3 ；则P X 2PAA2A3 AA2A3 A1A2A3 PA生禽 P A

4、4A3 PAA2从p（Qp（A2）p（A）p（a）p（A2）p（A3）p（a）p（A2）p（A3）=1 231 1 31 2 111111-2342342 3 4481224二、车从某校到火车站途中，要经过3个设有红绿灯的十字路口中，遇到 红灯是1相互独立的，并概率都是 1。3（1） 求X表示途中遇到红灯的次数，求 X的分布律1解： Xb（3,）,则X的分布律为3k3 kP X k C3 11 1 ,k 0,1,2,333X0123P8126127272727（2） 若以Y表示汽车从学校出发首次遇到红灯前已通过的路口数，求Y的分布律。Y0123P1248392727k3111解：PY k 1

5、,k 0,1,2 PY 31 -3 33（3） 求从学校出发到火车站途中至少遇到一次红灯的概率3-219解：P X 11 P X 01327三、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各个部件需要调整的概率分别为0.10, 0.20和0.30,设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求X的分布律。解：设A ： “第i大部件需要调整” ，i 1,2,3P X 0P(AA2A3) P(A)P(A)P(A)(1 0.1) (1 0.2) (1 0.3) 0.504P X1P(A1A2 A3AA2A30.10.80.70.90.2 0.7p x2P(AA2A3Na2A30.10.20.70.

6、90.2 0.3A A2A3) P(AA2 A3) P(A1A2 A3)0.9 0.8 0.3 0.398AA2A3) P(A&A3) p(A1a2A3)0.1 0.8 0.3 0.092P(AA2 A3)P(AA2 A3)27018 ,而 X b(20,0.8)15X0123P0. 5040.3980.0920.006P X 3P(AA2A3) P(A1)P(A2)P(A3) 0.1 0.2 0.3 0.006四、某些产品的次品率为0.1,捡验员每天捡验6次，每次有放回的10件产品进行检验若发现这10件产品中有次品，就去调整设备，设X为一天中调整的次数， 求X的概率分布。解：每次出现次品的概

7、率为：P 10.9 10 0.65而Xb(6, p),则P X k C：pk(1 p)6 k C：0.65k(1 0.65)6 k,k 0,1,2,3,4,5,6X0123456P0.00180.02050, 09510.23550.32800.24370.00754五、某车间有20台同型号的机床，每台机床开动的概率为0.8,若机床是否开坳相互独立，每台机床开时需要耗电15个单位，求该车间消耗电能不少于270个单位的概率。解:P X 18 P X 18 P X 19 P X 20C200.8180.22 C29O.8190.21C|o0.8200.1369 0.0576 0.0115 0.20

8、602.3一、 填空题1 .随机变量X的分布函数是事件X x的概率，2 .用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率F(X a) F(a), pX a F(a) F(a),PX a 1 P X a 1 F aP(x1 X X2) F(x2) F(x1)3 .设F(x)是离散型随机变量 X的分布函数，若 P X b 0,则F(b) F(a)成立。因这有P a X b F(b ) F(a) F(b) P X b F(a) F(b) F(a)二、 设袋中有标号分1、1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2的六个球，先从中任取一球的标号X 的分布函数，并作出分布函数的图形。解：分布律为X-112P1

9、116230 x 111 x 1F(x)62-1x2312 xX-1012:空心点暂时无法画上去已知离散型随机变量X的概率分为P X 10.2, P X 20.3, P X 30.5,试写出X的分布函数 F(x),并给出其图形解：分布律为X123P0.20.30.50x10.21x0.52x13x2F(x)3X0123YY说明：空心点暂时无法画上去、选择题1 .设f(x) sinx ,要使f(x)为某随机变量x的概率密度函数，则x可能取值的区为(D)331A.，.3 .0, , D.0，2 ,f (x)和F(x),则下列选项中正2 .设连续型随机变量的概率密度函数，分布函数分别为确的是(B)A

10、.0 f(x) 1,B.P X x F(x),C.P X x F(x),D.P X x f (x)某电子元件的寿命x (单位：小时)的概率密度函数为x 1000f(x)1000x 10000小时内正好有2个元件需要更换的概则装有5个这种电子元件的系统在使用的前1 率是(C)A 13,0 x 1000解：F(x)P X 2二、填空题( 10001 xxC52(1)2(1 1)333100080243p X 15001 F(1500)3351 x 6其他1为对称中心,11 .设随机变量kU1,6,则K的概率密度函数是f(x) 5,02 .设随机变量kN1,4,且P X a 0.5则a 1 (因为1

11、2 2e(x 1)2-8-dx 1)如果函数f (x)是某随机变 量的概率密度 函数，则(因为 f (x)dx0AexdxAe xdxA(1 0) A(0 1)2A 1 )4 .设 X U 0,1 ,-2X 在(0,1)内的概率密度函数为_1_fY (y) 2 , y 00 y 1其他解：FY(y) P Y y P X2 yPX y F(y)0 y 0y,0y 11y 1_1_则 fY(y) FY(y)27y00 y 1其他解法2.因yx2,x (0,1)知x Jy ,由定理2.2知11 fY(y)2 .y00 y 1其他5,设 X N( 3,2),则 YX 3N(0,1)(因为YN(0,1)

12、1F(-) F( 1)四、设电池寿命(单位:h) X是一个随机变量，且X N(300,352)6.已知 X n(2,21解：P 1 X - ),且 Y aX b N(0,1)，则 a 1, b 12因为 Y aX bN(a 2 b,a222) N(0,1)1.1则 a-,b1,或a-,b122三、设连续型随机变量 X的概率密度函数为x 0 x 1f(x) 2x1x20 其他求(1) X的分布函数F (x);0x0 20 x 1解：F (x)2 2x 2x 11 x 2212 x(1) 求电池寿命在250 h以上的概率;求数a ,使得电池寿命在区间(300 a,300 a)内的概率不小于 0.9.解：(1)P X 2501 P X 2501250 30035101011.4290.923677 P 300 a X 300 aP X 300 aX 30Ca35a35a_ a一 2 1 0.935350.95,即-a 1.66,则 a 57.753535五、设某公共