学高中数学第一章1.1.3集合的基本运算讲解与例题新必修1

1、研卷知古今；藏书教子孙。1.1.3集合的基本运算性质基础知识基本技能文字语百一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的兀素组成的集合， 称为集合A与B.白勺并第，记作A»B(读作“八并8”)定义符号语后AJB- x|xwA,或 xwB图形语百1.并集(1) A A= A,即一个集合与其本身的并集是其本身；(2) AJ 0 = A,即一个集合与空集的并集是其本身；A B= B A,即集合的并集运算满足交换律；A二AIJB, B二AI.JB,即一个集合是其与任一集合并集的子集;(5) A B= B=A二B,即一个集合与其子集的并集是其自身.谈重点 对并集的理解 (1)并集概念中的“或”指的

2、是只要满足其中一个条件即可，这 与生活用语中的“或”是有区别的.生活用语中的“或” 一般指或此或彼，必居其一，二者 不可兼有，而并集中的“或”是可兼有的.(2)“xwA 或xB”包含三种，情况：“xwA,彳IxEB'；"xB,4IxA”；“ x三 A,且xwB' . Venn图如图所示：jc三日-T更84 工W4.口五之8(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A_, B中仅出现一次.如A= 0,1 , B= -1,0,则 AJB= 1,0,1,不能写成 1,0,0,1.【例 1 1】设集合 Mh 4,5,6,8, N 3,5,7,8,那么 M，N等

3、于(). 5,8. 4, 5,6,8M N= 3,4,5,6,7,8A, 3,4,5,6,7,8 BC. 3,5,7,8 D 解析：由并集的定义知, 答案：A辨误区求并集应注意的问题注意应用集合元素的互异性，重复的元素只能出现一次,防止出现AjB= 3,4,5,5,6,7,8,8这样的错误.【例 1 2】若集合 A= x|x>- 1 , B=x -2<x<2,则 AU B 等于()A. x|x>2 B . x| x>- 1 C. x|2vxv1D . x| - 1 <x< 2解析：画出数轴如图所示，故AU B= x| x>- 2.-666-7 -

4、1? X答案：A点技巧 数轴的应用 用数轴来表示不等式的解集较为直观，有助于准确、迅速地解题.2.交集定义文字语百一般地，由属于A且属于 与B的交集,记作aHb.B的所有兀素组成的集合，称为 (读作" A交B')A符号语后AB= x|xWA,且 xB(1) A A A, AQ 0 = 0 ; (2) A、B= BCA;冲壬 (3) A B= A, ABC B; (4) AB= A- A= B; 性质(5)( AB)nC= A(BC);(6)( ACB) £ (AL B)释疑点 对交集的理解 (1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必 须同时是两个集合

5、的元素.(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出.如A=1,2,3,4,B=2,3,4,5，则AQB=2,3,4，而不是A。B= 2,3, 2,4或3,4(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A, B没有交集，而是 AB=0 .(4)定义中“ xWA,且xWB'与" xW(AR”是等价的，即由既属于A,又属于B的元素 组成的集合为AB.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A B.【例 21】已知集合 A=0,2,4,6, B= 2,4,8,16,则 AB等于()A. 2 B. 4C. 0,2,4,6,8,16 D . 2,

6、4解析：观察集合A, B,可得集合A B的全部公共元素是2,4 ,所以AB=2,4.答案：D【例 22】设集合 A= x| -1<x<2, B= x|0 WxW4,则 AT B 等于()A. x|0 & x<2B , x|1 & x<2C. x|0WxW4D . x|1WxW4解析：在数轴上表示出集合A与B,如下图.则由交集的定义可得 AQ B= x0 w x< 2.答案：A3.补集与全集(1)全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全 集，记作U谈重点 对全集的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，

7、它是依据具体的问题来加以选择的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集 Z看作全集.(2)补集定义文字语百对干-个集合 A由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集 合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作ua.符号语后JuA= x| x三 U,且 x皂 A图形语百性质八三U；(2) uU= 0 , u0 = U4CUA) =A(4) Aj(CuA)=U; Ap(CuA)=0谈重点对补集的理解 （1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运 算.求集合 A的补集的前提是 A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不 同的，

8、因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.（2） uA包含三层意思： AU;QuA是一个集合，且；uA=U;uA是由U中所有不属 于A的元素构成的集合.（3）若xwU,则xA或xwiA,二者必居其一.【例31】已知全集U=1,3,5,7 , A=5,7,则>A等于（）A. 6 B . 5,7 C. 1,3,5,7 D . 1,3解析：全集U中除去集合A中元素剩下的元素是 1,3,则；iA= 1,3. 答案：D【例32】已知全集U= R,集合A=x|1 <2x+1<9=,求£iA.错解：由题意，得 A= x|0Wx<4=, 因此ua= x| x< 0, x

9、>4=.错因分析：（1）求集合A的补集时，端点的取舍出现错误；（2）xv0与x>4之间应该用“或”连接，因为没有“或”连接就表示“xv 0且x>4”的意思.正解：由题意，得A= x|0Wx<4=, 因此ua= x| x< 0,或 x>4=.辨误区求不等式表示的集合的补集易疏忽两点一是要注意不等式在端点处是否带等号，二是要注意两个不等式之间到底用“或”还是用“且”连接.出本方法小能力加_4.集合的运算（1）集合的基本运算对于用列举法表示的集合，可以根据交集、并集、补集的定义，利用观察法或借助 Venn 图直接写出集合的运算结果.这里要注意集合元素的特征，做到不

10、重不漏.当集合A, B都有无穷多个元素时，A, B的元素无法一一列举，此时求并集、交集就需借助于数轴，将问题直观化、形象化，便于理解.但是应当注意端点值的取舍，我们可以把 端点值代入题目中进行验证.用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集 合中元素的前提下，再着手进行集合的运算.否则，就会无从下手或出现错误.例如，集合A= x|2x+2>4,集合B= y|y23y =0,往往错认为集合 A中的元素是x,而集合B中的元 素是V,则集合A和B没有公共元素，所以 2B=0 .出错的原因是没有准确把握集合A, B中元素的一般符号的意义：仅仅代表该集合中的元素，也

11、可以换成其他符号.就像人的名字 一样，仅仅表示这个人，也可以换成其他名字来代替.其实，集合A是不等式2x+ 2>4的解集，则集合 A=x|x>1,集合B是方程y23y=0的解集，则有 B= 0,3,所以有A B= x|x>1 fl0,3 =3.（2）集合的混合运算解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求（uA）nB时，先求出Cua,再求交集；求ALB）时，先求出A-B,再求补集.注意以下规律：MAQBXduAduB），如图 a；/AjB） = （uA nduE）,如图 b. AJ（B|JQ=（AUB）UC An（BUQ=（AnB）U（AC。. Aj（BnO=（AUB

12、）n（A-C）.【例 41】已知全集 IU= 1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A= 3,4,5 , B= 4,7,8，求：卒 B,At ,B,（On（uE）, Ac（uE）, （OjjB.分析：.通法飞分别求出力门一M 丹一题多解卜战访&*nQ阴二判十/8）（图东法h利用Venn图直接求解解法一：AB= 4 , A-B= 3,4,5,7,8. uA= 1,2,6,7,8, uB= 1,2,3,5,6,. .（O 口（旧=1,2,6 , Aq（CuB） = 3,5 ,（CuA）uB= 1,2,4,6,7,8解法二：AcB, A_B, Ac （uB）求法同解法一.（：uA）n（uB）

13、=u（AE）= 1,2,6,（ua）UB= L（AC（uB） =1,2,4,6,7,8.解法三：画出 Venn图，如图所示，可得Ap B= 4 , A B= 3,4,5,7,8,1,2,6（O）（uB）= 1,2,6,A（ fuB） = 3,5 , （ua） JB= 1,2,4,6,7,8 i广人 3 f3-x>0, 1【例42】已知全集U= R,集合A = <x4八B= m|i3>2mH 1,3x+6>0j求：（1） AB, AB;（2） u（AQB）.分析：（1）集合A是不等式组13-X>0,的解集，集合B是不等式3>2m- 1的解集，先3x 6 0确定

14、集合 A和B的元素，再根据交展和并集的定义，借助于数轴写出；（2）利用（1）的结论，根据补集的定义写出.有f3-x>0,、解：(1) = x -2vxv3,3x+6>0jB= m|3 > 2m- 1 = m|i m< 2.X用数轴表示集合A, B,如图.A B= x| -2<x<2, A(J B= x|xv3.Y(2)由知Af|B= x| -2<x<2,如图所示.因此4AE)=x|x>2,或 xw二22.【例 43】已知集合 A= x|x-2>3, B= x|2 x-3> 3x-a,求 A B.解：A= x|x>5, B=

15、 x|xva 3.(1)当a-3<5,即a<8时，如图所示，AJ B= x| x<a 3,或 x>5.a-350 5 a-31图。AL B= x| x = R.图（2）当a-3>5,即a>8时，如图所示,点技巧 求不等式解集的并集的方法（1）用数轴表示不等式的解集.（2）若不等式解集端点含有参数，需根据端点大小进行讨论.（3）取解集的所有部分形成并集.5.利用集合运算的结果求参数的值（1）对于已知两个有限集（元素个数有限）的运算结果求参数值的问题，一般先用观察法得 到不同集合中元素之间的关系，再列出方程 （组）求解.在处理有关含参数的集合问题时，要 注意对求

16、得的结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性.（2）对于已知不等式表示的集合的运算结果求参数值的问题，要结合数轴，通过观察尝试 找出不等式集合的端点所处的位置，然后列出不等式（组），进而求得参数的值或范围.（3）要准确理解和应用集合运算的结果.这些运算结果实质上是给出了集合间的关系或元 素与集合间的关系.一般地，有：若 AU B= A,则 B土 A；若A B= B,则B- A;若 ua= B,则 A= uB;若A（jB= C,则A=C, B=C,也就是说：若 xC,则*三八或*乞8;若A'|B= D,则DZA,且D二B,也就是说：若 x-D,则x-A,且x B.例如：

17、集合 A= x| -1<x< 1, B= x|xva.(1)若A" B= 0 ,求a的取值范围；(2)若A-B=x| x<1,求a的取值范围.解：(1)如图所示，A= x| - 1 <x< 1, B= x|x<a, ,. Af"'B=0,数轴上点a在一1的左侧(含点一1). aw 1.1C3'(>11-? / -I 01?1 V(2)如图所不，A= x|1vxv1, B= x|xva,. Aj B= x| x< 1,二数轴上点a在一1和1之间(含点1,但不含点一1).-1 < a< 1.16co&#

18、39;1 2【例 51】设全集 U= 2,3 , a2 + 2a3,集合 A=|2 a1|,2 , uA= 5,求实数 a 的分析：本题是考查补集的有关问题，解题的关键是利用uA= 5这一条件.uA= 5包含了三层含义：即 5. U,5.A,且A U.解：(uA=5,wU,5 正 A,且空 U.1.a2 + 2a- 3=5,解得 a= 2 或 a= 4.当 a=2 时，|2a-1| =35；当a=4时，|2 a1| =95,但是 9皂U.故a的值为2.辨误区求解含参数的集合问题应注意检验在求出参数的值后一定要注意检验，例如本题，当a= 4时，A=9,2,9 不是全集U中的元素，而实际上集合 A

19、中的所有元素都应该 属于全集U,故a= 4不适合题意，应舍去.【例 52】设集合 A= x|x2=4x, B= x|x2+2(a1)x+a21 = 0.(1)若AB= B,求a的取值范围；(2)若A- B= B,求a的值.分析：可以利用条件" A"" B= Bu B三A及" % B= B= A=B”求解.解：(1)A= x| x2=4x=0,4，又.ACB= B, .BIA.若 B= 0 ,则 A = 4( a-1) 2- 4( a2-1) < 0,解得 a> 1.因此当a>1时，B= 01A.若0WB,则0为方程x2+2(a1)x +

20、 a21=0的一个根.即 a2 -1 = 0,解得 a= ± 1.当 a= 1 时，B= x| x2= 0 = 0三 A；当 a= - 1 时，B= x| x2 4x = 0 = A.若 4W B,则 4 为方程 x2 + 2(a- 1)x+ a2- 1 = 0 的一个根，即 a2+ 8a+ 7= 0,解得 a=21或a=7.由知当a= 1时八=B符合题意，当 a= 7时，B= x|x -16x + 48=0 = 4,12 /A.综上可知：a>1,或a= 1.(2) AjB= B,，AJB.又- A= 0,4,而 B 中最多有 2 个元素，. . A= B,即 0,4 为方程

21、x2+2( a1)x+a21= 0 的两个根.-2(a -1) =4,. J /，解得 a=-1.a2 -1 =0,【例 53】已知集合 P= x| -2<x<5, Q= x| k+1W xW2k1,求当 P Q= 0 时， 实数k的取值范围.一 .1错解： pc Q= 0 ,k+1>5 或 2k1V2,即 k>4或 kv21故实数k的取值范围是k>4或kv .2错因分析：错误有二处：(1) P，Q= 0 ,集合Q可能是0 ; (2)如果Q不是0 ,则需满足 k+1<2 k-1这一隐含条件.正解：(1)当Q是。时，有k+1>2k1,即k<2,符合

22、题意；k 1<2k-1,_ k 1<2k-1,_H(2)当Q不是。时，则有i'或'解之得k> 4.k 1 5, 2k -1<-2,综上，实数k的取值范围是k<2或k>4.辨误区求解有关集合的空集问题应注意两点(1)若两集合的交集为空集，应注意这两个集合是否存在空集的情况；(2)若集合是不等式表示的，并且不等式的端点含有参数，应注意参数的隐含条件.6 .存在性问题求解存在性问题是今后我们会经常遇到的一种题型，它的一般求解方法是：先假设存在， 然后根据题设条件进行求解，若求解中出现矛盾式子或无解，则不存在；若有解，并检验， 若满足所有条件(包括隐

23、含条件)，则称其为存在.要注意检验，这是极易忽视的地方.我的笔记【例 6】已知集合 A=x|x2ax+ a219 = 0, B= x| x25x+6= 0,是否存在 a 使 A, B同时满足下列三个条件：(1) Aw B; (2) A- B= B; (3)。些(A0B).若存在，求出a的值； 若不存在，请说明理由.解：假设存在a使得A, B满足条件，由题已知得 B= 2,3. AjB= B, . A三 B,即 A= B 或 AB.由条件(1) Aw B,可知A B.又。与(AplB) ,，Aw。,即 A= 2或3.当 A= 2时，代入得 a2-2a-15=0,即 a= 3 或 a= 5.经检验

24、：a= 3时，A= 2 , 5,与A= 2矛盾，舍去；a = 5时，A= 2,3,与八=2矛盾，舍去.当八=3时，代入得a2-3a-10=0.即a= 5或a= 2.经检验：a=2时，A= 3 , 5,与A= 3矛盾，舍去；a = 5 时，A= 2,3,与 A= 3矛盾，舍去.综上所述，不存在实数 a使得A B满足条件.思维拓展创新应用U EITIAfiVYJ.NR ¥(JiVf J7 . Venn图的应用8 1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决.利用 Venn图将本 来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性.在使用Venn图时，可将全

25、集分成四部分，如图所示.I, n,m，IV这四部分的含义如下：I ： Aq(CUE) ；n： A| |B；n： ( uA) b；w： (uA) n(uBK 或CAjB).(2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，Venn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的.利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解.【例7 1】已知全集U=x| x是不大于30的质数 ,A,B是U的两个子集，且满足Ac (uB)= 5,13,23 , Be (“A) =11,19,29

26、, ( uA)( uB) =3,7,求集合 A, B.解：U= 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,又 Ac (juE)= 5,13,23 , Bq (juA) =11,19,29 , ( uA)( uB) = 3,7,用Venn图表示如图所示，由图易知元素2,17应在集合AB中.故八=2,5,13,17,23, B= 2,11,17,19,29.【例7-2】某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有 27人，其中参加数学、物理两科的有 10人，参加 物理、化学两科的有 7人，参加数学、化学两科的有 11人，而参加

27、数、理、化三科的有 4人, 求全班人数.解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A, B, C,由题意可知集合A,B,C中的元素个数分别为27,25,27 ,集合AB,B C,AC,ABC中的元素个数分别为10,7,11,4 .画出Venn图如图所示,由图可知全班人数为 10+ 13+12+ 6+4+7+3=55(人).析规律 有限集中元素的个数的求法我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用card来表示有限集的元素个数，即 card( A表示有限集 A的元素个数，则有：card(廿= card( A) + card( B) card( Al b);card( A J B(J

28、C) = card( A) + card( B) + card( C) card( A B) card( AQ C) card( B C) + card( Ap| B C) .8.补集思想的应用对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问 题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为 易、化隐为显的作用，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的 间接化原则的体现.这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U,求子集A,若直接求A困难，可先求uA,再由卜O) =A求A.补集作为一种思想方法，为我们研究问

29、题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用， 在正向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”.从这个意义上讲补集思想具有转换 研究对象的功能，这是转化思想的又一体现.例8已知集合 A=x|2m- 1vxv3m 2, B= x| x< - 2,或x>5,是否存在实数 m使ABw 0 ?若存在，求实数 m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：若A。B= 0 ,分A= 0和Aw 0讨论：(1)若 A= 0 ,则 2mi-1 >3 mW 2,解得 mic - 3,此时 A” B= 0 .(2)若Aw。，要使AB= 0 ,则应有2m-1 ： 3m 2,2m-1 - -2,3m 2 <5,m > 3,-1 1 1即m2一一,所以一一 < m W1.所以一一 w